Урок на тему "Применение первообразной и интеграла"
методическая разработка по теме

ГОСУДАРСТВЕННОЕ  АВТОНОМНОЕ  ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ  

«АПАСТОВСКИЙ АГРАРНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

ТВОРЧЕСКИЙ ПРОЕКТ

Тема урока: «Применение первообразной и интеграла»

                                        Выполнила: Сиразиева Рамзия Хайрулловна,                            

                                         преподаватель математики ГАПОУ

                                         «Апастовский аграрный колледж»

2015 год

Тема урока: «Применение первообразной и интеграла»

Продолжительность занятия: 90 мин

Место проведения занятия: учебная аудитория

Тип занятия: Урок применения знаний, умений и навыков на практике

Форма организации учебного занятия: деловая игра.

Цель занятия: формирование предметных компетенций по применению первообразной и интеграла на практике; формирование общих компетенций:

ОК 1. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество;

ОК 2. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность;

ОК 3. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития;

ОК 4. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями;

ОК 5. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

По окончанию занятия студент

Должен знать:

  о широком применение первообразной и интеграла на практике;

  технологию применения интеграла для вычисления площади фигуры;

  технологию применения интеграла для вычисления объема тела вращения;

  Должен уметь:

  находить необходимую информацию для вычисления площади  фигуры, объема    

  и   массы тела;

  применять интеграл для решения практических задач;

  организовывать работу коллектива для решения поставленной задачи.

Задачи:

Образовательные:

  выявить незаменимую роль первообразной и интеграла в решении многих задач науки и практики;

  формировать знания и умения  студентов  в области применения первообразной и интеграла;

  способствовать формированию умения составлять математические модели реальных ситуаций.

Воспитательные:

  способствовать воспитанию творческой активности студентов;

  формировать ответственное и добросовестное  отношение к порученным обязанностям;

  формировать умения работать в коллективе, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

  воспитать культуру делового общения;

  формировать картину целостного восприятия общей картины мира.

Развивающие:

  способствовать развитию познавательных интересов студентов;

  развивать навыки коллективной и самостоятельной работы;

 содействовать развитию мышления, творческих способностей,  

 самостоятельности, наблюдательности.

Методическая цель: продемонстрировать возможности использования на занятии информационно-коммуникативных технологий, педагогики сотрудничества, интерактивных технологий.

Принципы занятия:

- взаимосвязь изучаемого материала и личного опыта учащихся;

- системный подход к изучению материала;

- обучение через деятельность;

- опора на мыслительные операции обучающихся (выделение существенных признаков, аналогии, сравнение, обобщение)

Предварительная подготовка:

1.      Разбивка студентов на  четыре подгруппы. Выбор «Декана  кафедры». «Кафедры» садятся за свои «круглые столы». На столе каждой «кафедры» лежит «Лист учета знаний», где глава «кафедры» напротив каждой фамилии ставит (в случае правильного ответа) знак «+».  По итогам подсчитываются знаки «+» и в строке «Всего» ставится их количество на «кафедру». В строке напротив фамилии суммируются знаки «+» и можно выставить оценку каждому за работу на уроке.

Лист учета званий

2.      Объяснение каждой подгруппе коллективного задания, распределение ролей.

Задания группам:

А) Подобрать примеры применения интеграла.

Б) Домашнее задание: разобрать решение задачи на применение интеграла по разным областям науки. 

Оснащение занятия:

  Презентация, выполненная в редакторе   PowerPoint; компьютер; демонстрационный проектор, экран,  карточки с заданиями, листы учета знаний.

Структура и методический инструментарий занятия

Сценарий занятия

Нет ни одной области математики,

 как бы абстрактна она ни была, которая

когда-нибудь не окажется применимой

к явлениям действительного мира.

Н. И. Лобачевский

 I. Организационный момент:

    Преподаватель: Здравствуйте студенты!  Сегодня у нас занятие по математике, и пройдет оно в форме деловой  игры, а именно в форме  ученого совета. Сегодня  вы не просто студенты, а  преподаватели кафедр: «Математика», «Физика», «Геометрия» и  «Физическая культура»   нашего колледжа. А теперь давайте повторим изученный материал.

II.Актуализация опорных знаний:

Устная работа на повторение определений и свойств:

1. Что называется криволинейной трапецией?
2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х2.
3. В чем заключается признак постоянства функции?
4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на хI?
5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.
6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?
7. В чем заключается основное свойство первообразной?
8. Чему равна первообразная для функции f(х)=.
9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их первообразных»?
10. Что называется неопределенным интегралом?

11.Что называется определенным интегралом?
12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии, физике, биологии и экономике.

Ответы
1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.
2. F(x)=x3/3+С.
3. Если F`(x0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.
4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).
5. F(x)= - cosx+C.
6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.
7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С – произвольная постоянная.
8. F(x)=2+C.
9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.
10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).

11. Разность значений первообразной функции в точках  b  и a для функции у = f (x) на промежутке  [a; b]  называется определенным  интегралом функции f(x) на промежутке [a; b]  .

12.Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.

Преподаватель:  давайте вспомним   Правила вычисления первообразных:

Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.

Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).

      Преподаватель:  По какой формуле найдем площадь криволинейной трапеции?  Что  называется  интегралом?  Формула Ньютона-Лейбница.

III . Самостоятельная работа:

Преподаватель: Прежде чем мы перейдем к исследованию, где чаще  используется применение интеграла и первообразной, разберем  какой физической величине соответствует расчет через интеграл.

Тест: указать, какие величины выражаются приведенными в таблице формулами: I(t)- сила тока, P(x)- плотность,   F(x) - сила,   V(t)- скорость,  a(t)   - ускорение, x(t)– координата точки,    t- время.

Ответ:

 IV. Основная часть урока:

 Преподаватель:  Итак, позвольте представить главную ученую коллегию (Декан кафедры «Математика»   профессор: его величество Интеграл, декан кафедры «Физика» профессор: его величество Работа, декан кафедры «Геометрия» профессор: его величество Объем и декан кафедры «Физическая культура» профессор: его величество Скорость).

     Тема нашего  расследования  «Применение первообразной и интеграла».

     Преподаватель:  Попросим уважаемого профессора его величество Скорость выйти и доказать нам важность применения интеграла в вычислении скорости или пути.

У доски решается задача:

   «Скорость прямолинейного движения тела изменяется по закону v(t) = 3t² + 4 (м/c). Найти закон движения тела, если за t=2с. Тело прошло 20 м».

   Преподаватель: Попросим уважаемого профессора его величество Интеграл выйти и доказать нам важность применения интеграла в составлении уравнения кривой.

У доски решается задача:

«Составить уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной равен у/х».

Преподаватель:  Попросим уважаемого профессора его величество Работа выйти и доказать нам важность применения интеграла в вычислении максимальной высоты подъема брошенного тела вверх.

У доски решается задача:

Какую работу надо затратить, чтобы сжать на 0.04 м. пружину, если сила в 10 н  сжимает эту пружину на  0,01 м ?

Преподаватель: Попросим уважаемого профессора его величество Объем выйти и доказать нам важность применения интеграла в вычислении объема тела вращения.

У доски решается задача:

Фигура, заштрихованная на рисунке, вращается вокруг оси ОХ. Найти объем полученного тела

V. Закрепление знаний на практике:

Преподаватель:  А теперь разберем задачи. Разбираются 8  задач с решениями.

Предлагаются следующие задачи:

Задача 1:  

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2,  у=0.

Задача 2:

Тело движется  с ускорением а(t)=   4sin t( м/с²).  Найти как изменится скорость за время от 0 до п/3сек.

Задача 3:

Определить массу стержня длины L=10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону р(х) =6+0,3x кг/м, где х-расстояние от одного из концов стержня.

Задача 4:

Сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящей через точку с абсциссой Х, является квадратом, сторона  которого равна дроби 1/Х .

Найти объём этого тела.

Задача 5:

Найти уравнение кривой, проходящей  через точку А(0;1), у которой касательная имеет угловой коэффициент, равный ординате точки касания.

Задача 6:

По цепи идет переменный ток  I= 6t -t²(А) . Найти величину заряда прошедшего по цепи за первые  6  сек.

Задача 7:

Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)= 16t – 4t² (м/с). Найти длину пути, пройденного телом от начала движения до его остановки.

Задача 8:

Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной равен  2х.

VI. Подведение итогов:

Преподаватель: Мы увидели, что примеров применения интеграла достаточно много, поэтому советуем студентам учиться и еще раз учиться. И всем студентам хотим напомнить слова великого ученого Лобачевского:

«Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира». 

Преподаватель: Пришло время подвести итоги.

Просьба обменяться своими исследованиями друг с другом, проанализировать работу.

 «5» баллов за правильность подобранных задач;

«4» бала, если есть  2 расхождения в таблице;

По баллу дополнительно за каждую верно самостоятельно дополненную задачу.

Преподаватель: Время истекло, покажите, пожалуйста, что у вас получилось? По результатам на первое место с оценкой «5» вышли кафедры:  «___________________________», на второе место с оценкой «4» вышли кафедры: «________________________».  Поздравляем!

VII.  Домашнее  задание:  используя  интернет- средства  найти задачи на применение интеграла и  первообразной.

VII. Рефлексия:

1. На уроке я работал ________________

2. Своей работой на уроке я __________________

3. Урок для меня показался ___________________

4. За урок я ________________________________

5. Мое настроение _____________________________

6. Материал урока мне был ___________________________

7. Домашнее задание мне кажется ______________________________