Язык алгебры или искусство составлять уравнения.
презентация к уроку на тему

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Московской области

Краснозаводский химико-механический колледж

Инновационная разработка

Открытый урок по дисциплине «Математика»

Тема: «Искусство составлять уравнения»

Разработал

преподаватель математики

В.И. Морозова

г. Краснозаводск

2013

Содержание

План открытого урока  «искусство составлять уравнения».        

Учебно-воспитательные задачи        

Обеспечение занятия:        

Методические рекомендации:        

Программа урока        

План открытого урока «Искусство составлять уравнения».

Учебно-воспитательные задачи:

Дидактическая цель. Научить студентов составлять уравнения по заданному условию задачи. Укрепить  знания студентов в решении линейных, квадратных, дробно-линейных, иррациональных уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными, а так же в нахождении неизвестного члена пропорции и процентного соотношения величин.

Воспитательная цель. Кратко рассказать студентам об истории развития уравнений и истории развития алгебры.

 Основные знания и умения:

 Знать: определения линейного уравнения с одной переменной, квадратного уравнения, дробно-линейного уравнения, иррационального уравнения.

Уметь: решать задачи на составление вышеперечисленных уравнений и систем линейных уравнений.

Обеспечение занятия:

ТСО: компьютер, мультимедийный проектор проектор.

Оснащение ТСО: Слайдовая презентация «Язык алгебры» с историей создания алгебры, алгебраическими задачами и их решениями.

Методические рекомендации:

Вид занятия. Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков и применение их в решении практических задач.

Мотивация познавательной деятельности студентов. Указать о роли математики в решении самых различных практических задач. Отметить, что большинство задач, решаемых методами элементарной математики, приводятся к решению уравнений той или иной степени. Научиться решать уравнения основных типов – одна из важнейших задач изучения курса математики.

Программа урока

Историческая справка

Уже около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно второй степени. За 200 лет до нашей эры китайские ученые решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Основоположником алгебры является среднеазиатский ученый Мухаммед ибн Мусы аль - Хорезми, математик, астроном и географ, который в 9 веке написал первый алгебраический труд «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала», переведенный  на латинский язык в 12 веке, от которого произошел термин «Алгебра».  «Ал - джабр» перенесение членов из одной части в другую, «ал - мукабала» - приведение подобных.  В сочинении аль – Хорезми неизвестные величины, так же как и все сопутствующие выкладки и преобразования уравнений, выражались словесно. Такой стиль изложения, характерный для раннего этапа развития алгебры, историки науки называют риторическим (риторика – искусство красноречия). В этом же труде были приведены им правила нахождения неизвестного члена пропорции, вычисление площадей различных многоугольников, приближенная формула для вычисления площади круга и формула для вычисления объема усеченной пирамиды. Большой вклад  в развитие алгебры внесли среднеазиатский философ и астроном и математик аль – Бируни (973-1048), классик иранской и таджикской поэзии, выдающийся ученый Омар Хайям (1048-1131), позднее итальянские математики дель Ферро (1465-1526) и Н.Тарталья (1500-1557), Дж.Кардано (1501-1576), Л.Феррари (1522-1565). Сложность правил для решения уравнений привела к усовершенствованию уравнений. Новый великий прорыв в алгебре связан с именем великого французского ученого Франсуа Виета. В конце 16 века французский математик Ф.Виет (1540-1603) ввел буквенные обозначения, а в середине 17 века алгебраическая символика приобретает вид, близкий к современному, благодаря выдающемуся французскому ученому Рене Декарту (1596-1650), который предложил обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита ( x, y, z).

Презентация:  «Язык алгебры»

• Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего, поэтому,  самый верный путь для математических изысканий».
• Язык алгебры – уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», писал великий Ньютон  в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика».
• Искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический», но язык алгебры весьма немногословен; поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот родной речи. Переводы попадаются различные по трудности, в чем мы можем сейчас убедиться на примерах.

• Вот первый  из них: это несложная старинная задача, легко переводимая с родного языка на язык алгебры: « Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу.  «Чего ты жалуешься? – отвечал ей верблюд,  если я возьму у тебя один мешок, то ноша моя станет вдвое тяжелее твоей, а вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, то твоя поклажа стала бы одинакова с моей».    Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь,  и сколько мешков  нес верблюд?
• Второй пример: Каждый из нас, несомненно,  встречался с «фокусами»  по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумай число, прибавь 2, умножь на три и т.д. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число. Секрет фокуса, разумеется, очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения. Пусть, например, фокусник предложил вам выполнить программу действий, указанную в левой колонке следующей таблицы: «Искусство отгадывания чисел».
• Третий пример:    Если вы сомневаетесь в том, что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите следующую задачу: «Уравнение думает за нас».  Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет старше сына в 10 раз? «Через минус 2 года» означает «2 года назад», Когда мы составляли уравнение, мы не думали о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз превосходящим возраста сына – такое соотношение могло быть только в прошлом. Уравнение оказалось предусмотрительнее нас и напомнило о сделанном упущении.
• Четвертый пример:  Теперь решим  задачу на процентное соотношение величин. «Посещаемость»: Вчера число студентов, присутствующих на занятиях, было в 8 раз больше, числа отсутствовавших. Сегодня не пришли еще два человека, и оказалось, что число отсутствующих составляет 20% от числа присутствующих.   Сколько всего студентов в группе?
• Пятый пример:  Как именно, выполняется перевод с родного языка на алгебраический, показывал и Исаак Ньютон. Например, задача про первоначальный капитал купца.  «Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он вновь истратил 100 фунтов. После того, как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
• Шестой пример:   История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно нам о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи. Давайте расшифруем эту надпись:  «Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие, он был осчастливлен рождением сына, коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?»  Составив уравнение и, решив,  его мы узнаем основные вехи  биографии Диофанта.
• Седьмой пример:   В следующей задаче мы узнаем финансовое состояние кошельков четырех братьев. У четырех братьев было 45тыс. рублей. Если деньги первого увеличить на 2 тыс., деньги второго уменьшить на 2 тыс. рублей, деньги третьего увеличить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько денег было у каждого? Переведем задачу на алгебраический язык и составим систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными, решив эту систему, получим ответы на вопрос.
• Восьмой пример:  У одного арабского математика Х1 века находим следующую задачу:  На обоих берегах реки растет по пальме, одна  против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей; расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? Чтобы составить уравнение, нужно сначала нарисовать графическую модель этой задачи, затем, используя теорему Пифагора, составим уравнение и решим его.

• Девятый пример: «При изучении наук задачи полезнее правил», - писал Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» и сопровождал теоретические указания рядом примеров. В числе этих упражнений находим задачу о быках, пасущихся на лугу, - родоначальницу особого типа своеобразных задач на подобие следующей: Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву в 96 дней?   Задача эта послужила сюжетом для юмористического рассказа, напоминающего чеховский «Репетитор». Двое взрослых, родственники школьника, которому эту задачу задали для решения, безуспешно трудятся над нею и недоумевают: «Выходит что-то странное, - говорит один из решающих: - если в 24 дня 70 коров поедают всю траву луга,  то,  сколько коров съедят ее в 96 дней? Конечно, ¼ от 70, т.е. 17,5 коров…  Первая нелепость! А вторая: 30 коров поедают траву в 60 дней; сколько коров съедят ее в 96 дней? Получается еще хуже: 18 и ¾ коровы. Кроме того: если 70 коров поедают траву в 24 дня, то 30 коров употребляют на это 56 дней, а вовсе не 60, как утверждает задача.  Дело в том, что трава непрерывно растет, и если этого не учитывать, то не только нельзя решить задачи, но и само условие ее будет казаться противоречивым. Как же решается эта задача? Дело в том, что трава на лугу непрерывно растет, и если этого не учитывать, то не только нельзя решить задачи, но и само условие будет казаться противоречивым. Здесь необходимо ввести вспомогательное неизвестное, которое будет обозначать суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу.
• Десятый пример:  Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской?  Оказывается, что такие случаи бывают: Как составить 12-ти процентный раствор перекиси водорода, если имеется 3-процентный и 30-процентные растворы?
• Одиннадцатый пример: В древней Индии был распространен своеобразный вид спорта – публичное соревнование в решении головоломных задач. Индусские математические руководства имели отчасти целью служить пособием для подобных состязаний на первенство в умственном спорте. «По изложенным здесь правилам, - пишет составитель одного из таких учебников, - мудрый может придумать тысячу других задач. Как солнце блеском своим затмевает звезды, так и ученый человек затмит славу другого человека в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». В подлиннике это высказано поэтичнее, так как вся книга написана стихами. Задачи тоже облекались в форму стихотворений. Приведем одну из них в прозаической передаче. Пчелы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя 8/9 роя.  И только одна пчелка из того же роя кружится возле лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню сладко пахнувшего цветка. Сколько всего было пчел в рое?
• Двенадцатый пример: А вот  следующая индийская задача  приводится в стихотворной форме, так, как ее перевел автор превосходной книги «Кто изобрел алгебру?» В.И. Лебедев.

      На две партии разбившись,

       Забавлялись обезьяны.

       Часть восьмая их в квадрате, в роще весело резвилась;

        Криком радостным двенадцать

        Воздух свежий оглашали.

      Вместе сколько, ты мне скажешь,

                 Обезьян там было в роще?

• Тринадцатый пример: Стендаль в «Автобиографии» рассказывает следующее о годах своего учения: « Я нашел у него (учителя математики) Эйлера и его задачу о числе яиц, которые крестьянка несла на рынок.  Это было для меня открытием. Я понял, что значит пользоваться орудием, называемым алгеброй. Но, черт возьми, никто мне об этом не говорил…» Вот эта задача из «Введения в алгебру» Эйлера, произведшая на ум молодого Стендаля столь сильное впечатление: Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 целых и еще 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?  Сначала решим задачу с помощью уравнения, приняв количество яиц у первой крестьянки за Х, тогда у второй будет (100 – Х) яиц и т.д.  Задача может быть решена другим, более кратким способом. Этот способ гораздо остроумнее, но зато и отыскать его значительно труднее. Предположим, что вторая крестьянка имела в к раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в к раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в к раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в к раз дороже. Это значит, что она выручила бы в к2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: , теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка имела 40, а вторая 60 яиц.

• Ну, вот и закончилось наше путешествие в мир алгебры и я надеюсь, что алгебраический язык станет для вас понятнее и ближе. Поистине « математика – это искусство давать различным вещам одно и то же название». Этот остроумный и глубокий афоризм принадлежит Анри Пуанкаре, создателю многих современных областей математики. В работе «Наука и метод» Пуанкаре особо выделял способность ученого не просто видеть голые факты, а заглядывать гораздо глубже – познавать душу фактов, производить обобщения: «Простым примером является алгебраическая формула, которая дает нам решение всех численных задач определенного типа, так что достаточно лишь заменит буквы числами. Благодаря такой формуле алгебраическое вычисление, однажды выполненное, избавит нас от необходимости повторять без конца все новые и новые численные выкладки». Слова Пуанкаре необычайно актуальны в наш век компьютерной техники. Компьютеры научились понимать язык алгебраических формул и способны перерабатывать (т.е. вычислять по этим формулам) огромные массивы числовых данных. Нужно только подбирать и вводить исходные числа, чтобы получить готовые ответы.  И завершим экскурсию в мир алгебры словами выдающего русского математика Николая Григорьевича Чебышева, который впервые применил для решения уравнений высших степеней вспомогательные уравнения, называемые резольвентами:
• «Историческая задача алгебры заключается в том, что она служила и служит колыбелью для вновь возникающих идей и методов, которые впоследствии проникают в другие отделы математики и нередко начинают играть в них доминирующую роль»

Данное мероприятие может быть проведено как открытый урок, или как командный  конкурс по математике, или как личное первенство  по решению алгебраических задач.

Дополнительно, в качестве разминки или в качестве конкурса для болельщиков можно предложить несколько числовых головоломок.

Например:  

• Какое число лишнее?   (1417, 1605, 1533, 1722, 1812, 1902)
• Чему равны Х и У?      (64  7  32  14  16  28  8  56  х  у)
• Чему равен Х?        (4   9   Х   25)
• Какое из чисел – 14,15 или 27 будет последним в ряду, приведенном  ниже:         ( 9  8  10  18  21  16) ?
•   Если предположить, что:      

        12 х 3 = 35

        13 х 3 = 40

        15 х3 =46

        16 х 3 = 47,

    то сколько будет 17 х 3?