Урок-конкурс "Зачем надо изучать математику"
методическая разработка на тему

Урок -конкурс проектных работ «Зачем надо изучать математику»

«Мысль выражать числа десятью знаками настолько простая, что трудно понять, насколько она удивительна».

 Цели:   

• Развивать и укреплять интерес  к математике, истории ее развития, мотивировать познавательную и  творческую деятельность, развивать сообразительность, любознательность,  логическое и творческое мышление.
• Расширять математический кругозор учащихся.
• Прививать навыки самостоятельного поиска новых знаний.
• Содействовать развитию культуры коллективного труда,  формированию доброжелательных и дружеских отношений.

Преподаватель:

Математика со времени её зарождения как науки и много раньше была тесно связана не только с цивилизацией, с практикой, но и со всей общечеловеческой культурой – со всем миром. И математические теории, и методы открывались, создавались конкретными личностями, математиками. Поэтому математика неотделима от исторической эпохи, в которую они творили.

«Математика выявляет порядок, симметрию и определённость,
а это – важнейшие виды прекрасного»  

Что же такое математика? Математика это красота, вдохновение творцов, восхищение тех, кто способен оценить их достижение. Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие ученые видели ее задачу в содействии объяснению законов природы. Галилею принадлежат замечательные слова «Великая книга Природы написана языком математики».

Современная математика сформировалась примерно 400 лет тому назад в трудах Галилея, Кеплера, Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, одним из основных стимулов для которых было постичь законы движения тел. Они говорили, что математика – это часть физики. Математика так же служит базой для инженерных наук. Все крупные технические достижения – от строительства зданий, мостов до раскрепощения атомной энергии, сверхзвуковой авиации и космических полетов – были невозможны без математики. потребность решать эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров, и на наших глазах происходит новая техническая и информационная революция. Наше время – период невиданного расцвета математики. достижения ХХ века по меньшей мере сопоставимы с результатами предшествующего периода ее развития – от Фалеса до начала ХХI столетия. А число ее не раскрытых тайн неисчерпаемо.

На сегодняшний день уже не осталось ни одной области человеческой деятельности, куда в той или иной степени не проникла бы математика.

     Математика – «наука наук». Математика – удобный (если не сказать универсальный) инструмент описания мира. А прикладная математика, т.е. математика практическая, ориентированная на конкретные актуальные цели и нужды, является не только средством познания, но также и средством воздействия на окружающий мир.   Главная миссия математики в том, чтобы решать. Если возникает проблема (не важно, в какой области) – математика ищет её решение: анализирует проблему и пытается предложить методы её устранения или смягчения. Если появляется какая-то необходимость, ставится какая-то задача (не важно, где: в экономике или в оборонной сфере, в социологии или в компьютерной графике, в медицине или в конструкторском деле, в международных переговорах или в освоении космоса) – то математика, опять же, берётся за решение данной задачи: как получить то, что требуется.

      И именно специалисты по математике, оказываются порой единственными, кому под силу ту или иную задачу решить. История знает немало примеров, когда решения задач биологических, астрономических, экономических, технических – находились именно математиками, а не биологами, астрономами, экономистами или технарями. Именно математический аппарат позволил совершить революционные открытия в физике. Именно развитая математическая теория обеспечила проектирование всех потрясающих творений современной техники.

     Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку. Не правда ли, нам приходится в жизни считать (например, деньги), мы постоянно используем (часто не замечая этого) знания о величинах, характеризующих протяжённости, площади, объёмы, промежутки времени, скорости и многое другое. Всё это пришло к нам на уроках арифметики и геометрии и сгодилось для ориентации в окружающем мире.

На сегодняшнем уроке ребята, которые участвуют в конкурсе проектных работ, покажут нам, что математика безгранична.

А начнем сегодня урок с задачи: 

В некотором сказочном государстве жили-были три друга: попугай, удав и мартышка. Решили они побывать на спортивных соревнованиях, но лететь, ползти и прыгать было далеко. Подумав они решили купить вертолет в игрушечном магазине. Он стоил сто бананов. Послали за покупкой попугая. Пока он летел, цена вертолета увеличилась на 10%. Попугай вернулся без него и сказал, что скоро будут цены снижены. Вскоре они узнали, что новая цена вертолета снизилась на 10%. Теперь попугай прилетел с новеньким вертолетом, и еще в клюве торчал не до конца съеденный банан.

-Чего это ты облизываешься? -спросила подозрительно мартышка.

-Банан доедаю, -ответил довольный попугай.

-Как это банан доедаешь?

-Да я и сам не понимаю, как это произошло. Была цена 100 бананов, потом повысилась на 10%, а затем понизилась на 10%.

Решение задачи вы расскажите в конце урока, а сейчас предоставим слово Беловой Насте с темой проекта «Зачем надо изучать математику»

Белова Настя

Проектная работа: «Зачем надо изучать математику»

Запомните все, что без точного счета

Не сдвинется с места любая работа.

Без счета не будет на улице света.
Без счета не может подняться ракета

Без счета письмо не найдет адресата
И в прятки сыграть не сумеют ребята.

Математика! Мир без нее был бы неинтересен.

   Не было бы научных открытий. Люди не могли бы исследовать моря, океаны, атом не служил бы нам.

   Без математики мы не знали бы Ломоносова. Первой книгой, оказавшейся в его руках, была "Арифметика" Леонтия Магницкого. Которую потом великий Ломоносов назовет вратами своей учености.

   Не будь математики, мир не знал бы Юрия Гагарина, совершившего 12 апреля 1961 года полет в космос на корабле "Восток”.

   А телевидение! Сплошная математика. Рекламы, бесконечные телесериалы, научные программы. Все то, что так привлекает наше внимание.

Несколько десятков лет назад была объявлена большая премия за сочинение на тему "Как человек без математики жил". Премия так и осталась не выданной, ибо, по-видимому, не нашлось ни одного сочинителя, который сумел бы описать жизнь человека, лишенного математических представлений. И действительно, с математикой мы встречаемся везде, на каждом шагу, с утра и до вечера. Просыпаясь, мы смотрим на часы; в трамвае или троллейбусе нужно рассчитаться за проезд; чтобы сделать покупку в магазине, нужно снова выполнить денежные расчеты и т. д. Без математики нельзя было бы изучить ни физику, ни географию, ни черчение.

Мысль о том, что в физическом мире властвуют гармония и порядок, которые могут быть выражены математически, уходит в античную Грецию. В Европе в эпоху Ренессанса Галилей говорил, что книга вселенной написана на языке математики. Ученые, жившие после него, также выражали изумление перед тем, что все законы вселенной поддавались переложению на математический язык.

Математика! Это мир чисел, формул, новых машин.

Разве построили бы воздушные лайнеры наши замечательные конструкторы С.В. Ильюшин и  А.Н. Туполев без математических формул и вычислений?

А как мог бы прославиться Анатолий Карпов, не зная математики?

Математика помогала навигаторам определять положение судна в море

землемерам — измерять земельные участки,

астрономам — составлять календари.

Математики, развивая свою науку, не всегда сообразуются с применимостью или неприменимостью результатов выполняемого ими труда. Только лишь ученые, приходящие после них, рассматривая эти труды, прилагают их к другим наукам. Например, математики развили систему смешанных чисел, а много позднее выяснилось, какую широкую сферу применения эта система нашла в физике.

А кто из вас не мечтает теперь стать квалифицированным рабочим в различных областях нашей промышленности, строителем, металлургом, слесарем, токарем, торговым работником и т. д.? Но все эти профессии требуют хорошего знания математики. И поэтому, если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.

Пусть математика сложна,

Её до края не познать.

Откроет двери всем она,

В них только надо постучать.

Настя нам рассказала, что действительно, математику до конца понять невозможно, но это тот предмет без которого не обходится ни одна наука. А что говорили великие люди о математике и сами математики и как они ее воспринимали, нам расскажут учащиеся группы 191 Смирнова Вика и Зубкова Мария.

 Тема проекта: «Великие люди о математике»

Математика,  жизни нужный всем предмет
Без неё не состоится,  на луну полёт ракет
Без неё нельзя учиться, без неё нельзя считать.
Без неё нельзя трудиться и планеты открывать

Основополагающий вопрос

В чем единство истории математики и великих математиков?

Цель проекта:

Познакомится с   великими математиками и их отношением к математике

Задачи:

Поиск информации об истории математики

Рассмотреть, откуда появилась математика

Выяснить важность математики для великих математиков

Учиться  считать люди начали в незапамятные времена

Учителем у них была сама жизнь

Никто не знает,  когда впервые появились счёт и число.

 Но уже несколько десятков тысяч лет назад  люди собирали плоды и ягоды

Охотились на диких животных

Делали каменные ножи и топоры,  наконечники

Исторически составные части математики – арифметика и геометрия – выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии, сбора налогов, отдача долгов и т.д.

При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук стали важными элементами различные обобщения и абстракции, исходящие из этих практических задач, поэтому особенности математического знания были всегда предметом пристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов.

Одними из первых таких  математиков были: АРХИМЕД,  Пифагор, Герон Александрийский,  Кеплер

Архимед был одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не

заботился о себе. Работы Архимеда относились почти ко всем областям

математики того времени: ему принадлежат замечательные

исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Лучшим своим

достижением он считал определение поверхности и объёма шара — задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.Огромное значение для развития

 математики имело вычисленное Архимедом отношение длины

окружности к диаметру.

АРХИМЕД

Нет, не всегда смешон и узок
Мудрец, глухой к делам земли:
Уже на рейде в Сиракузах
Стояли римлян корабли.

Над математиком курчавым
Солдат занес короткий нож,
А он на отмели песчаной
Окружность вписывал в чертеж.

Ах, если б смерть — лихую гостью —
Мне так же встретить повезло,
Как Архимед, чертивший тростью
В минуту гибели — число!

Дмитрий Кедрин

В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности. Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат

гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована)

и на стихотворных строках

«В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,

Славную он за него жертву быками воздвиг.»

Герон Александрийский Древнегреческий ученый, математик, физик, механик, изобретатель.

Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. В лучшей из них- "Метрике" - даны правила и формулы для точного и приближенного вычисления площадей правильных многоугольников, объемов усеченных конуса и пирамиды, приводится формула Герона для определения площади треугольника по трем сторонам, даются правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратного и кубического корней. (читать со слайда)

Кеплер нашёл способ определения объёмов разнообразных тел вращения,

который описал в книге «Новая стереометрия винных бочек». Кеплер очень подробно проанализировал симметрию снежинок.В ходе астрономических исследований Кеплер внёс вклад в теорию конических сечений. Он составил одну из первых таблиц логарифмов.У Кеплера впервые встречается термин «среднее арифметическое». Кеплер впервые ввёл важнейшее понятие бесконечно удалённой точки. Он же ввёл понятие фокуса конического сечения и рассмотрел проективные преобразования конических сечений, в том числе меняющие их тип —

например, переводящие эллипс в гиперболу.

А вот что говорят великие  математике о математике

Галилей                                       Гаусс                                   Паскаль

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.

Говорил   Михаил Васильевич  Ломоносов

ЛОМОНОСОВ Михаил Васильевич (1711-65), первый русский ученый-естествоиспытатель мирового значения, поэт, художник, историк, поборник развития отечественного просвещения, науки и

А вот говорил        ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович
Математика – это язык, на котором говорят все точные науки.        

        ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792-1856)российский математик, создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского).

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.        Слова

ЖУКОВСКОГО  Николая Егоровича (1847-1921), российсого ученого, основоположника современной аэродинамик. Труды по теории авиации, многие исследования по механике твердого тела, астрономии, математике и др.

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.                        А.Н.Крылов

КРЫЛОВ Алексей Николаевич (1863-1945), российский кораблестроитель, механик и математик, академик АН СССР

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.        М.И.Калинин

КАЛИНИН Михаил Иванович (1875-1946), советский политический деятель.
С 1919 председатель ВЦИК,
с 1922 председатель ЦИК СССР, с 1938 председатель Президиума ВС СССР.

Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни одной.        А.Эйнштейн

ЭЙНШТЕЙН (Einstein) Альберт (1879-1955), физик-теоретик, один из основателей современной физики.

Тема проекта: «Математика и космос»

Основополагающий вопрос «В чем единство математики и космоса?»

Проблемный вопрос: «Возможно ли изучить космос без математики»

Задачи :

Поиск информации о космосе

Рассмотреть основные направления развития математики и космоса

Выяснить важность математики в космосе

Математика всегда помогала развитию других наук и сама развивалась под их воздействием.  Так в астрономии математика помогла сделать многие открытия. Новые алгоритмы, разработанные математиками, переходили на службу астрономам.

 Так , например,Ньютон вычислял форму земного шара и показал, что Земля имеет форму шара, расширенного у экватора и сплюснутого у полюсов. Ньютон установил "сплющенность" Земли, не выходя за дверь. Это открытие было сделано "на кончике пера" средствами математики. 

Ньютон смог рассчитать орбиты спутников Юпитера и Сатурна и, используя эти данные, определить, с какой силой Земля притягивает Луну. Эти данные почти через 250 лет использовались при подготовке первых околоземных космических полётов.

Ученый объяснил совместное действие Луны и Солнца на приливы и отливы морей и океанов Земли. Пользуясь расчетами Ньютона, Э. Галлей предсказал, выполнив расчеты, появление огромной кометы, которая наблюдалась на небе в 1759 году. Она была названа кометой Галлея. 

На уроках географии, вы узнали, что Земля является одной из 9 планет солнечной системы. Две последние планеты  Нептун и Плутон были открыты  в 1783г.

Плутон был открыт совсем недавно, 13 марта 1930 года. История утверждает, что Плутон, как и Нептун, был предварительно "вычислен"

В наши дни с помощью математики предсказываются многие астрономические явления. Например, с помощью математики рассчитали, что в 1982 году состоится 4 солнечных затмения...   Какие сложные вычисления для этих предсказаний приходится провести ученым!

Возникновение авиации и космонавтики неразрывно связано с применением математики для анализа основных проблем полета, конструирования и расчета самолетов и ракет. Первый вопрос, остро обсуждавшийся на заре авиации в конце XIX – начале XX в., могут ли летать аппараты тяжелее воздуха, был теоретически решен великим русским ученым, теоретиком авиации Н. Е. Жуковским. Пользуясь аппаратом чистой математики (теорией функций комплексного переменного), Н. Е. Жуковский вывел математическую формулу для подъемной силы, действующей на единицу длины крыла. Со времен Н. Е. Жуковского в теоретической авиации применяется самый современный математический аппарат, причем задачи, возникшие при анализе практических проблем авиации, послужили основой для создания новых направлений математики.

Решение ряда ключевых проблем авиации связано с именами известных математиков и механиков нашей страны. Возьмем, например, проблему флаттера. Это явление было обнаружено в 30-х годах, когда стали строиться цельнометаллические самолеты со скоростью полета 50 – 80 м/с (200 – 300 км/ч). Решить проблему флаттера удалось советскому математику и механику М. В. Келдышу, который математически показал, что флаттер имеет резонансную природу, т. е. аналогичен эффекту резонанса, наблюдаемому при колебаниях упругой пружины с прикрепленной массой m и коэффициентом упругости k.

При возникновении и развитии космонавтики математика сыграла еще более важную роль, чем при рождении и развитии авиации. Основоположник теоретической космонавтики К. Э. Циолковский в своих доказательствах возможности полета к другим планетам и в проектах космических поездов постоянно использовал математику, благодаря чему его космические проекты конструктивны и убедительны. Первой формулой космонавтики стала формула Циолковского, позволяющая рассчитывать конечную скорость ракеты v с начальной массой М, конечной массой m и скоростью истечения реактивной струи u : v = uln(М/m).

Однако, помимо теоретического обоснования и расчета конструкции ракеты-носителя, математика необходима практически в каждую секунду космического полета, и здесь мы обязаны великому французскому математику XVI в. Р. Декарту. В самом деле, когда мы слышим по радио или телевидению очередное сообщение о запуске искусственного спутника Земли или космического корабля, как правило оно часто заканчивается фразой: «Координационно-вычислительный центр ведет обработку поступающей информации».

Почему так велика роль координационно-вычислительного центра и где здесь заслуга Р. Декарта?

Дело в том, что при выводе космического аппарата на траекторию полета и во время его свободного полета необходимо точно знать, где он находится в данное мгновение. А как определить положение космического аппарата, в каком виде хранить и анализировать эту информацию? И вот здесь не обойтись без открытия Р. Декарта. Он показал, что положение материальной точки в нашем физическом пространстве можно охарактеризовать тремя числами – декартовыми координатами точки. А именно нужно зафиксировать три воображаемые взаимно перпендикулярные прямые, и проекции точки на эти прямые дадут декартовы координаты точки.

Во многих случаях при движении космического аппарата важна его ориентация в пространстве. Тогда, чтобы задать полностью положение тела, нужно знать еще три угла, задающие ориентацию относительно Земли. Таким образом, для определения положения тела в пространстве требуется знать шесть чисел. Возможность однозначного определения положения тела в пространстве с помощью конечного набора ччисел позволяет все операции по управлению полетом и предсказанию положения космического аппарата в пространстве сводить к математическим действиям. Иначе говоря, математика становится основным инструментом управления полетом космических аппаратов.

Вывод математика становится основным инструментом управления полетом космических аппаратов.

Природа формулирует свои законы языком математики, говорил Галилей. Следующий проект «Математика в природе» представят учащиеся группы 141 Гаджиев Руслан и Тархнишвили Николай

 Тема проекта:

Математика в природе

Основополагающий вопрос

В чем единство математики, искусства и красоты природы?

Проблемный вопрос:

Возможен ли мир без симметрии?

Цель проекта:

Познакомится с понятием симметрии

Задачи:

Поиск информации о симметрии

Рассмотреть основные понятия

Изучить виды симметрии

Выяснить важность симметрии для нас

О, симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою дружен и тюльпан и роза

 И снежный рой – творение мороза

Вот так восславил неизвестный поэт  симметрию

В древности слово «симметрия» Употреблялось в значении «гармония» и «красота». Действительно, в переводе с греческого это слово обозначает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». В Обычной жизни нам часто приходиться говорить о симметрии. Только при этом мы чаще используем слово «симметричный».

"Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.” (Г. Вейль)

Природа – удивительный творец и мастер. Все мы с приходом весны и до глубокой осени любуемся  растениями, деревьями, их цветами, жучками, паучками, бабочками на лугу, поздней осенью узорами на замерших лужах, а зимой снежинками и узорами на окнах... и не думаем о том, что перед нами проявление законов симметрии.

        Посмотрим на изящное строение природы  листочек клена. Кленовый лист симметричен. Если перегнуть его посередине,  то получившиеся части листа совпадут друг с другом.  Можно провести опыт с зеркалом; отражение в зеркале дополнит половину кленового листа до целого.

        Если присмотреться внимательнее к прожилкам на двух половинках кленового листа, то можно заметить некоторую разницу между ними. Поэтому говорят, что симметрия кленового листа не математически точна. Но эта разница так мала, что не вносит беспорядка. Этот вид симметрии — зеркальный, характерный для листьев большинства растений.

    На примере деревьев  хорошо видна симметрия конуса . Ствол — ось симметрии. Для дерева  неприемлемы понятия левой или правой, задней или передней сторон.

Ярко выраженной центральной симметрией обладают цветы и плоды растений.  К примеру, киви в разрезе  представляет собой окружность, а окружность имеет центр симметрии.               Центральную симметрию можно наблюдать на изображении    следующих цветов: одуванчика,  кувшинки,  мать –мачехи

Животный мир и симметрия.

        Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах и форме, а также расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. На плоскости существует два вида симметрии: осевая и центральная.

 Все — и дети, и взрослые — удивляются, разглядывая бабочек. Если бабочка сложит свои крылья, то они совпадут, так как крылышки у нее одинаковые. Но одинаковость эта не простая! Если на тельце бабочки провести вертикальную линию и поставить вдоль этой прямой линии зеркало, то одна половинка  бабочки спрячется за зеркало. Но зато другая — отразится в зеркале и перед нами опять появится такая -  же бабочка.

        Зеркальная симметрия внешнего вида характерна для всех представителей животного мира.

 Теперь рассмотрим центральную симметрию. Как выяснилось, центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих    подводный образ жизни. Для этих животных характерна и поворотная симметрия, она служит не только для красоты; она прежде всего связана с приспособлением их к окружающему миру.

Но большинство животных представляют собой трехмерные объекты. Поэтому на их примере можно рассмотреть виды пространственной симметрии: винтовую и спиральную.         Винтовая симметрия есть симметрия относительно двух преобразований — поворота и переноса вдоль оси поворота, перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта. Встречаются левые и правые винты. Примерами природных винтов являются : бивень нарвала — левый винт; раковина улитки — правый винт; рога  памирского  барана — один рог закручен по левой, а другой по правой спирали.

Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина моллюсков сужается и расширяется на конце, как рога барана.         

Горизонтальная симметрия в природе.

        Зеркальная симметрия насекомых, животных и растений является вертикальной. А вот с горизонтальной зеркальной  симметрией мы встречаемся редко.

Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность. Отражение в воде - единственный пример горизонтальной симметрии в природе.

Поверхность озера играет роль зеркала и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии.

Симметрия кристаллов.

Посмотрим на другое создание природы — снежинки. Они - самый яркий пример красоты форм осевой симметрии. Любая снежинка имеет поворотную ось симметрии и, кроме того, каждая снежинка зеркально симметрична. Природные снежинки бывают только шестиугольными.

        Снежинка — это кристалл замершей воды. Все твердые тела в природе состоят из кристаллов. В большинстве случаев отдельные кристаллы очень малы (меньше песчинки); однако в некоторых случаях кристаллы вырастают до внушительных размеров.

        Хорошо видно, что кристаллы — это многогранники достаточно правильной формы с плоскими гранями и прямыми ребрами. Кристалл каменной соли, например имеет   форму куба.         Мир кристаллов это особый мир симметрии, с    которым связаны великие открытия и в области  математики, и в области кристаллографии. В этих  высоких научных теориях без специальной подготовки,  конечно, не разобраться.

Симметрия человеческого тела.

        Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии (мы говорим о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия - основа нашего эстетического восхищения хорошо сложенным телом. Наша собственная зеркальная симметрия очень удобна для нас, она позволяет нам двигаться прямолинейно и с одинаковой лёгкостью поворачиваться вправо и влево.

        Человек по природе своей обречён стремиться к симметрии, поскольку у него многие части тела представлены парами – от пальцев на ногах до полушарий головного мозга.

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела. Рисунок Леонардо да Винчи сам по себе часто используется как неявный символ симметрии и гармонии человеческого тела.

 Выводы

►В любом растении  можно  найти  какую-то его часть,  обладающую осевой, центральной, поворотной или винтовой  симметрией. Это могут  быть  листья,  цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина  цветка,  пестик, тычинки и другие.

►Нет ни одного живого существа на планете, которое не являлось бы симметричным.  Большинство видов обладает осевой симметрией, некоторые подводные обитатели обладают центральной.

А теперь , скажите ребята, кто из вас не играет в компьютерные игры? А знаете ли вы, что все игры основаны на линейной алгебре? Сейчас вам об этом расскажут учащиеся группы 171 Евтух Алина и Никитин Глеб

Алгебра в компьютерных    играх

Основополагающий вопрос «В чем единство математики и компьютерных игр?»

Проблемный вопрос: «Возможна ли компьюторная игра без алгебры?»

Цель проекта: «Познакомиться с направлением алгебры в компьютерных играх»

Задачи:

Поиск информации

Рассмотреть основные направления алгебры в играх

Выяснить важность алгебры для  игр

Зачем нам линейная алгебра?

Одним из направлений в линейной алгебре является изучение векторов. Если в вашей игре применяется позиционирование экранных кнопок, работа с камерой и её направлением, скоростями объектов, то вам придётся иметь дело с векторами. Чем лучше вы понимаете линейную алгебру, тем больший контроль вы получаете над поведением векторов и, следовательно, над вашей игрой.

Что такое вектор?

В играх вектора используются для хранения местоположений, направлений и скоростей. Ниже приведён пример двухмерного вектора:

      Вектор местоположения (также называемый «радиус-вектором»)  показывает, что человек стоит в двух метрах восточнее и в одном метре   к северу от исходной точки. Вектор скорости показывает, что за единицу времени самолёт перемещается на три километра вверх и на два — влево. Вектор направления говорит нам о том, что пистолет направлен вправо.

Допустим у нас есть вектор V (3,5,2). Это мало что говорит нам. Три чего, пять чего? В нашей игре Overgrowth расстояния указываются в метрах, а скорости в метрах в секунду. Первое число в этом векторе — это направление на восток, второе — направление вверх, третье — направление на север. Отрицательные числа обозначают противоположные направления, на запад, вниз и на юг. Местоположение, определяемое вектором V (3,5,2), находится в трёх метрах к востоку, в пяти метрах вверху и в двух метрах к северу, как показано на картинке ниже.

Сложение векторов

Зачем нам нужно складывать вектора? Наиболее часто сложение векторов в играх применяется для физического интегрирования. Любой   физический объект будет иметь  вектора для местоположения, скорости и ускорения. Для каждого кадра (обычно это одна шестидесятая часть секунды), мы должны интегрировать два вектора: добавить скорость к местоположению и ускорение к скорости.

Давайте рассмотрим пример с прыжками Марио. Он начинает с позиции (0, 0). В момент начала прыжка его скорость (1, 3), он быстро двигается вверх и вправо. Его ускорение равно (0, -1), так как гравитация тянет его вниз. На картинке показано, как выглядит его прыжок, разбитый на семь кадров. Чёрным текстом показана его скорость в каждом фрейме.

Вычитание векторов

Вычитание рассчитывается по тому-же принципу что и сложение — вычитаем соответствующие компоненты векторов. Вычитание векторов удобно для получения вектора, который показывает из одного местоположения на другое. Например, пусть игрок находится по координатам (1, 2) с лазерным ружьём, а вражеский робот находится по координатам (4, 3). Чтобы определить вектор движения лазерного луча, который поразит робота, нам надо вычесть местоположение игрока из местоположения робота.

Расстояние

Если игрок P находится в точке (3, 3), а взрыв произошёл в точке E по координатам (1, 2), нам надо определить расстояние между игроком и взрывом, чтобы рассчитать степень ущерба, нанесённого игроку. Это легко сделать, комбинируя две вышеописанных операции: вычитание векторов и их длину.
Мы вычитаем P — E, чтобы получить вектор между ними. А затем определяем длину этого вектора, что и даёт нам искомое расстояние. Порядок следования операндов тут не имеет значения, |E — P| даст тот-же самый результат.

Расстояние = |P — E| = |(3, 3) — (1, 2)| = |(2, 1)| = sqrt(22+12) = sqrt(5) = 2.23

Допустим у нас есть стражник, расположенный в G(1, 3) смотрящий в направлении D(1,1), с углом обзора 180 градусов. Главный герой игры подсматривает за ним с позиции H(3, 2). Как определить, находится - ли главный герой в поле зрения стражника или нет? Сделаем это путём скалярного произведения векторов G и V (вектора, направленного от стражника к главному герою). Мы получим следующее:

V = H — G = (3, 2) — (1, 3) = (3-1, 2-3) = (2, -1)
D•V = (1, 1) • (2, -1) = 1*2 + 1*-1 = 2-1 = 1

Так как единица больше нуля, то главный герой находится в поле зрения стражника.

Объём~

А что если мы хотим рассчитать это всё для трехмерной графики? Рассмотрим пример с кораблём.

В играх основное выражение освещённости записывается как N • L, где N — это нормаль к освещаемой поверхности, а L — это нормализованный вектор направления света. В результате поверхность выглядит яркой, когда на неё прямо падает свет, и тёмной, когда этого не происходит.

Теперь перейдем к рассмотрению такого важного для разработчиков игр понятия, как «матрица преобразований» (transformation matrix).

Базисный вектор

Допустим мы пишем игру Asteroids на очень старом «железе» и нам нужен простой двухмерный космический корабль, который может свободно вращаться в своей плоскости. Модель корабля выглядит так:

Как нам рисовать корабль, когда игрок поворачивает его на произвольный градус, скажем 49 градусов против часовой стрелки. Используя тригонометрию, мы можем написать функцию двухмерного поворота, которая принимает координаты точки и угол поворота, и возвращает координаты смещённой точки:

Пусть теперь наш корабль выглядит вот так:

Теперь старый подход будет слишком медленным, так как надо будет поворачивать довольно большое количество точек. Одно из элегантных решений данной проблемы будет звучать так — «Что если вместо поворота каждой точки модели корабля, мы повернём координатную решётку нашей модели?»

Мы показали, как координаты корабля отображаются в другой координатной сетке с повернутыми осями (или «базисными векторами»). Это удобно в нашем случае, так как избавляет нас от необходимости применять тригонометрические преобразования к каждой из точек модели корабля

Матрица вращение в двухмерном пространстве

Применим эту матрицу к Сюзанне, мартышке из графического пакета Blender. Угол поворота Θ равен 45 градусов по часовой стрелке.

Трёхмерное вращение

Это в свою очередь порождает известный «эффект фантика» (candy wrapper effect), при применении скелетной анимации. Ниже показана демонстрация этого эффекта на примере кролика из нашей игры Overgrowth

Кроме вычисления размеров персонажа(обстановки), так  же добавляют спецэффекты- для реализма игры (плавные движения и т.д)

Итак мы просмотрели проекты по математике и какой можно сделать вывод:

Без математики не существовала бы природа

Математика становится основным инструментом управления полетом космических аппаратов.

Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни одной

Математика тот предмет, без которого не обходится ни одна наука

Домашнее задание: написать сочинение "Как человек без математики жил".