Задания VIII математической олимпиады МГГТК АГУ, г.Майкоп.
олимпиадные задания на тему

Задания на 1 тур (отбор)

VIII математической олимпиады

МГГТК АГУ, г.Майкоп.

Часть І. Каждое задание оценивается в 1 балл.

(Краткий ответ, решение не прилагается)

Задание 1.  Сколько существует трехзначных чисел?

Задание 2.  Расставьте числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9 в кружках, чтобы сумма чисел на каждой стороне равнялась 20.

Задание 3. В забеге участвовали 3 скакуна: Сатурн, Уран и Юпитер. Сатурн  не занял второго места, Уран  не занял ни первого, ни второго места. Какое место заняла Сатурн? Уран? Юпитер?

Задание 4. Квадрат АВСД разбит на прямоугольники и квадраты. Найдите периметр квадрата АВСД, если сторона закрашенного квадрата 2 см.

Часть ІІ. Каждое задание оценивается в 3 балла.

(Ответ и  решение).

Задание 5.  В трех вазах стоят 27 тюльпанов. Когда из первой вазы переставили 5 тюльпанов во вторую, а из второй в третью- 3 тюльпана, то во всех вазах стало тюльпанов поровну. Сколько тюльпанов было первоначально в каждой вазе?

Задание 6.  Вдоль забора растут восемь кустов малины. Число ягод на соседних кустах      отличаются на единицу. Может ли на всех кустах быть вместе 225 ягод?

Задание 7.  Турист проходит из А в В и обратно за 3 ч 41 мин. Дорога из А в В идет сначала в  гору, потом по ровному месту, затем с горы. На каком протяжении дорога тянется по ровному месту, если скорость движения туриста с горы – 6 км/ч, в гору – 4 км/ч, а по ровному месту – 5 км/ч, и все расстояние равно 9 км?

Задание 8.   При каких значениях 𝒶 уравнение     𝒶 𝕩=9 имеет положительный корень?

Задание 9.   Постройте график уравнения  (х-2)(у+3)=0.

Часть ІІІ. Каждое задание оценивается в 7 баллов.

(Ответ и развернутое решение).

Задание 10. Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет.   По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.

                    - Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста,- сказал рулевой.

                    - А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста,- заметил боцман.- Кроме того, я на 4 года старше матроса.

                    - Средний возраст команды – 28 лет,- дал справку капитан.

                      Сколько лет капитану?

Задание 11. При каком целом значении k неравенство х2+2(4k–1)x+15k2–2k–7>0 верно при любом действительном значении х?

Задание 12. Поля, Даша, Света, Юля были на математической олимпиаде. В ответ на вопрос «Кто из вас решил последнюю задачу?» каждая девочка высказала два утверждения:

Поля: « Даша не решила задачу. Я тоже ее не решила».

Даша: «Юля решила задачу. А вот Света – нет».

Света: « Да, задачу решила Юля. А вот я не смогла».

Юля: « Поля решила задачу. Света – тоже».

Кто мог решить задачу, если каждая девочка один раз сказала правду, а один раз ошиблась? Перечислите все возможные случаи: задачу могли решить и несколько девочек.

Задания на финал        I лига

VIII математической олимпиады МГГТК АГУ, г.Майкоп.

Часть 1 (записать только ответ)

В1. Как разрезать клетчатый квадрат 6×6 клеток на 8 клетчатых прямоугольников, никакие два из которых не являются равными? (Квадрат тоже является прямоугольником)

В2. Бутылка самого чистого в мире кефира стоит 10 долларов, причем кефир на 9 долларов дороже бутылки. Сколько стоит бутылка?

В3. Правильный треугольник ACD поворачивают против часовой стрелки вокруг точки А. На какой угол необходимо его повернуть, чтобы он совместился с треугольником ABC?

В4. В ящике лежат 5 красных, 7 синих и 1 зеленый шар. Сколько шаров необходимо достать из ящика не глядя, чтобы среди них обязательно нашлось два красных шара?

В5. Поезд за четверть минуты проходит мимо столба, а мост длиной 700 метров поезд проходит за 50 секунд. Какова длина поезда?

Часть 2 (описать решение, записать ответ)

С1. На улице, стоя по кругу, беседуют 4 девушки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девушка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девушкой в голубом платье и Надей. Девушка в белом платье стоит между девушкой в розовом платье и Валей. Какое платье на каждой девушке?

С2. Коля и Миша разрезали два одинаковых прямоугольника (каждый свой). У Коли получилось два прямоугольника, каждый периметром 40 см, а у Миши два прямоугольника, каждый периметром 50 см. Какой периметр имели первоначальные прямоугольники?

Задания на финал    II лига

VIII математической олимпиады МГГТК АГУ, г.Майкоп.

Часть 1 (выбрать правильный вариант ответа)

А1. Дима сложил квадратный листок бумаги пополам, потом еще раз пополам и еще раз. В центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул лист. Сколько дырок он увидел?  

(A) 2                        (B) 3                        (C) 4                        (D) 6                        (E) 8

А2. Наши предки называли число, равное миллиону миллионов, словом «легион». Что получится, если разделить миллион легионов на легион миллионов?

(A) легион                        (B) миллион        (C) миллион миллионов

(D) легион легионов         (E) 1

А3. На каждой кочке в маленьком болотце сидят не меньше, чем по 3лягушки, а всего лягушек – 145. Каким числом не может быть количество кочек в этом болотце?

(A) 1                        (B) 23                (C) 31                (D) 44                (E) 55

А4. Чему равен угол ADC четырехугольника ABCD,

если BC = AD:

(A) 30º                        (B) 50º                 (C) 55º                 

(D) 65º                 (E) 70º

А5. Студенты, участвующие в олимпиаде, решали две задачи. Проверив работы, комиссия составила четыре списка:

A: список студентов, решивших первую задачу

B: список студентов, решивших ровно одну задачу

C: список студентов, решивших хотя бы одну задачу

D: список студентов, решивших обе задачи

Оказалось, что все эти списки различны по длине. Какой из списков самый длинный?

(A) A                (B) B                (C) C                (D) D                (E) невозможно определить

А6. Если число 2005 умножить само на себя 2005 раз, какими будут две последние цифры произведения?

(A) 05                (B) 15                (C) 25                (D) 45                (E) 75

Часть 2 (записать только ответ)

В1. Сколько десятизначных чисел, кратных 9, имеют в своей записи только цифры 0 и 1?

В2. При каких значениях a уравнение  имеет два различных корня?

Задания на финал   Высшая лига

VIII математической олимпиады МГГТК АГУ, г.Майкоп.

Выполните задания с полными развернутыми решениями.

1. Необходимо расставить в клетки доски 5×5 цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждом блоке все цифры встречались по одному разу.

2. Парабола  имеет вершину в первой четверти и содержит точки всех четырех четвертей. Необходимо определить знаки a, b и с.

3. Четверо студентов обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: «Это число 9». Рома: «Это простое число». Катя: «Это четное число». Наташа ответила: «Это число 15». Каков правильный ответ к задаче, если и юноши и девушки ошиблись ровно по одному разу?

4. Решить уравнение, если в записи содержится 199 пар скобок:

5. Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз пассажира за одну минуту. Если пассажир будет шагать по эскалатору в два раза быстрее, то он спустится за 45 секунд. Сколько времени спускается пассажир, стоящий на эскалаторе?