Открытый урок по теме "Тела вращения. Цилиндр, конус, шар и сфера."
презентация урока для интерактивной доски по теме

Понарьина Евгения Валентиновна

ГОБУ СПО ВО «ВАТ имени В.П.Чкалова» г.Воронеж

Развернутый конспект открытого урока

Тема урока: «Тела вращения. Конус, цилиндр, шар и сфера».

Цели урока:

1. Обучающая: Изучение свойств геометрических тел в пространстве.
2. Развивающие: Развитие пространственных представлений учащихся, способов вычисления геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления.
3. Воспитательные: Воспитать сознательное отношение к учебе, усидчивость, аккуратность, эстетическое восприятие.

Студенты должны:

Знать:

• основные понятия стереометрии и планиметрии;
• взаимное расположение плоскостей;
• признаки подобия фигур.

Уметь:

• изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях задач и выделять известные тела на чертежах и моделях;
• решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на полученные теоретические сведения;
• вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), применяя изученные в курсах планиметрии и стереометрии формулы и теоремы;
• применять аппарат алгебры, начал анализа и тригонометрии в ходе решения геометрических задач.

Тип урока: комбинированный урок.

Оборудование:

учебник, конспект, пространственные фигуры, компьютер, мультимедийная доска, линейка, карандаш, резинка, циркуль.

Межпредметные связи: планиметрия, тригонометрия, программирование.

Ход урока

Тела вращения

Тела вращения— объёмные тела, возникающие при вращении замкнутой линии вокруг оси, лежащей в той же плоскости, что и вращающееся тело.

Примеры тел вращения

• Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.
• Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.
• Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.
• Тор — образован кругом, вращающимся вокруг прямой, не пересекающей его.

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Цилиндр.

Правильный круглый цилиндр

Цили́ндр (греч. kýlindros, валик, каток) — геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, - образующими цилиндра.

Примеры тел, имеющих форму цилиндра:

Сквозное отверстие в стене, сделанное дрелью, является цилиндром: его основание – круг с диаметром, равным диаметру сверла, высота – толщина стены.

Ваши примеры:

Связанные определения.

• Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
• Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
• Высотой цилиндра называется расстояние между его плоскостями.
• Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центр оснований. Она параллельна образующим.
• Осевое сечение – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Свойства

• Основания цилиндра равны.

• У цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

• У цилиндра образующие параллельны и равны.
• Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

Основные формулы

V = πr2h - объём прямого кругового цилиндра

S = 2πrh - Площадь боковой поверхности цилиндра

(где r — радиус основания, h — высота).

Площадь полной поверхности цилиндра  складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:

S = 2πrh + 2πr2.

Задачи по теме «Цилиндр»

1.Радиус основания цилиндра 2 см, высота 3 см. Найдите диагональ осевого сечения.

Дано: цилиндр,

r = 2 см,

h =3 см,

Найти: d – диагональ осевого сечения

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота цилиндра и диаметр основания, а гипотенузой – диагональ осевого сечения. По теореме Пифагора получим:

см

 Ответ: 5 см.

2 Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая – 9 см. Найдите площадь осевого сечения.

Дано: цилиндр,

ABCD – осевое сечение,

AO =5 см,

AB=9см.

Найти:

Решение. Данное осевое сечение есть прямоугольник ABCD. Сторона прямоугольника AD=2*5 =10 (см). Поэтому площадь сечения

.

 Ответ: 90 .

3.Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Дано:  

ABCD – прямоугольник,

AВ = 6 см,

BС = 4см,

ВC – ось вращения.

Найти:

Решение. Данное тело вращения – прямой круговой цилиндр с высотой BC = 4 см и радиусом основания АВ = 6 см.

Площадь боковой поверхности

Площадь основания

Площадь полной поверхности

 Ответ:  .

4. Длина окружности основания прямого цилиндра С = 10 м, длина образующей l = 7 м. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?

Дано:  цилиндр,

C = 10 м,

l = 7 м.

Найти:

Решение. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания н высоту: S = CH. Высота цилиндра равна его образующей:

H = 10 м. Поэтому

 Ответ: 70.

Вопросы по теме «Цилиндр»

1. Что такое цилиндр?
2. Что такое высота цилиндра?
3. Какой цилиндр называется прямым?
4. Осевое сечение цилиндр – квадрат, площадь которого Q. Чему равна площадь основания цилиндра?

Конус

Прямой круговой конус

Ко́нус — тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Примеры тел, имеющих форму конуса:

1. Чум и яранга у северных народов, вигвам у индейцев Северной Америки имеют форму, близкую к форме конуса.

Ваши примеры из жизни и техники:

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Свойства

• Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.
• Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, отсекает от него конус, подобный данному.
• Площадь полной поверхности конуса равна

• Площадь боковой поверхности конуса равна

S = πRl

где R — радиус основания, l — длина образующей.

• Объем кругового конуса равен

Задачи по теме «Конус»

1. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую l.

Дано: конус,

r = 3 м,

h =4 м,

Найти: l – образующая конуса

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса и радиус основания, а гипотенузой – образующая конуса. По теореме Пифагора получим:

м

 Ответ: 5 м.

2.Радиус основания конуса R.. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Дано: конус,

R – радиус основания,

∆ABC – осевое сечение конуса,

Найти:

Решение. Так как этот прямоугольный треугольник является еще и равнобедренным, то высота в нем, проведенная к основанию, является и медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть, радиусу, так как гипотенуза равна диаметру.

 Ответ: .

3. В равностороннем конусе (осевое сечение – правильный треугольник) радиус  основания R .Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен α.

Дано: конус,

R – радиус основания,

∆ABC – осевое сечение конуса,

MC, KC – образующие конуса,

Найти:

Решение. Так как в осевом сечении ∆ABC – правильный, то образующая AC = AB = 2R. Площадь ∆MCK найдем по формуле

 Ответ: .

4. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H.

Дано: конус,

α – плоскость,

R – радиус основания,

СD = H,

С – вершина конуса,

СК = d

Найти:

Решение.

Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии (гомотетия – преобразование подобия, то есть, преобразование фигуры F в фигуру , при котором расстояние между точками изменяются в одно и то же число раз) относительно вершины конуса с коэффициентом гомотетии . Поэтому  и . Следовательно, площадь сечения

.

 Ответ: .

5. Высота конуса H. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Дано: конус,

α – плоскость,

H - высота,

Найти: h

Решение.

Проведенная плоскость отсекает подобный конус. В подобных фигурах отношение линейных размеров равно коэффициенту подобия, а отношение соответствующих площадей – квадрату коэффициента подобия. Значит, . Отсюда  .  Тогда  и

 Ответ: .

Вопросы к теме «Конус»

1. Что такое конус?
2. Какой конус называется круговым?
3. Что такое образующая конуса?

Шар и сфера

шар

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а его оба конца — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Примеры тел, имеющих форму шара или сферы:

1. Купол здания может иметь форму части сферы, отсеченной плоскостью.
2. Земля имеет форму, близкую к шару.
3. Мячи для игры в футбол, теннис имеют форму шара.

Ваши примеры:

Связанные определения

1. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами
2. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности (сферы), называется радиусом.
3. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром.
4.  Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
5. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
6. Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Свойства

1. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
2. Любя диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шар является его центром симметрии.
3. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.
4. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Основные формулы

1. Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Задачи по теме «Шар и сфера»

1.Радиус сферы увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится площадь сферы?

Дано: r – радиус исходной сферы,

R – радиус новой сферы,

R = 3r

Найти:

Решение.         

 Ответ:  в 9 раз.

2. Шар, радиуса 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра

Найдите площадь сечения.

Дано: шар,

R = 41 дм,

ОА = 9 дм,

О – центр щара.

Найти:

Решение.

Из прямоугольного треугольника АВС:  дм.

Площадь сечения

 Ответ:  16 .

3.Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Дано: шар,

R – радиус шара,

α – плоскость,

ОА = 1/2R,

О – центр щара.

Найти:

Решение.         Из прямоугольного треугольника АOВ:  .

 Ответ: .

4. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 600  к нему. Найти площадь сечения.

Дано: шар,

R – радиус шара,

,

О – центр щара.

Найти:

Решение.        Из прямоугольного треугольника АОВ:  .

Площадь сечения

 Ответ:  

5. Город N находится на 600 северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч. Вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.

Дано: шар,

R = 6000 км,

,

О – центр щара.

Найти: S- путь

Решение.

В прямоугольном треугольнике АОN: (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и OK). Тогда  . За один час город N опишет дугу, равную 1/24 части длины окружности с радиусом AN. Значит,

 Ответ:  785 км.

Вопросы по теме «Шар и сфера»

1. Что такое шар?
2. Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными?
3. Что такое большой круг шара?

Контрольно – обобщающая таблица

В каждой строке таблицы необходимо поставить один или несколько знаков «+», указывающих, какие из видов тел вращения обладают описанными свойствами.

1. цилиндр
2. конус
3. шар

Математический диктант

1. Верно ли, что образующая конуса больше его высоты?
2. Может ли площадь боковой поверхности цилиндра равняться площади его осевого сечения?
3. Назовите плоскую фигуру, при вращении которой вокруг одной из сторон образуются два равных конуса с общим основанием.
4. Верно ли, что среди всех сечений цилиндра, проходящих через его образующую, наибольшую площадь имеет осевое сечение?
5. Может ли площадь боковой поверхности конуса равняться площади его основания?
6. Верно ли, что любое сечение сферы плоскостью является окружностью?
7. Может ли плоскость касаться сферы в двух точках?
8. Плоскость удалена от центра сферы радиуса R на расстояние d. Сравните R и d, если сфера и плоскость не имеют общих точек.
9. Верно ли, что расстояние между любыми двумя точками сферы не больше ее диаметра?
10. Верно ли, что сфера и прямая могут иметь не более двух общих точек?

Критерии оценок:

 0 ошибок – «5»;

1-2 ошибки – «4»;

3 – 6 ошибок – «3»;

7 – и более – «2».

Ответы:

1. да
2. нет
3. равнобедренный треугольник
4. да
5. нет
6. да
7. нет
8. d>R
9. да
10. да

Задачи по теме «Цилиндр»

1.Радиус основания цилиндра 2 см, высота 3 см. Найдите диагональ осевого

сечения.

2 Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая – 9 см. Найдите

площадь осевого сечения. 

3.Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей

стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

4.Длина окружности основания прямого цилиндра С = 10 м, длина образующей l = 7 м. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?

Задачи по теме «Конус»

1.Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую l.

2.Радиус основания конуса R.. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

3.В равностороннем конусе (осевое сечение – правильный треугольник) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен α.

4.Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H.

5.Высота конуса H. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?

Задачи по теме «Шар и сфера»

1.Радиус сферы увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится площадь сферы?

2.Шар, радиуса 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

3. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

4.Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 600 к нему. Найти площадь сечения.

5.Город N находится на 600 северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч. вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.

Обобщающий опрос

1. Дайте определение цилиндра. Нарисуйте цилиндр, укажите его образующие и осевое сечение.
2. Дайте определение конуса, Нарисуйте конус, укажите его образующую и осевое сечение.
3. Назовите формулы площадей боковой и полной поверхностей конуса, цилиндра.
4. Дайте определение сферы и шара.
5. Верно ли, что все точки шара удалены от центра на расстояние, равное радиусу шара?
6. Может ли осевое сечение цилиндра быть трапецией?
7. Как относятся диаметр d и высота h цилиндра, если осевое сечение цилиндра квадрат?

Самоанализ открытого урока

преподавателя математических дисциплин Понарьиной Е.В.

по теме: «Геометрические тела и поверхности».

Тема урока: «Тела вращения. Конус, цилиндр, шар и сфера».

На данную тему «Геометрические тела и поверхности» выделено 18 часов. Данный урок №55 в этой теме.

Урок проводился с группой № 087 специальности 080110 «Экономика и бухгалтерский учет». (В группе 31 человек, студенты первого года обучения, группа эмоционально уравновешенная, уровень восприятия материала высокий).

С учетом возможностей восприятия учебного материала определены следующие цели урока:

Обучающая – изучение свойств геометрических тел в пространстве на примере конуса, цилиндра, шара и сферы.

Развивающая – развитие пространственных представлений учащихся, усвоение способов вычисления геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления.

Воспитывающая – воспитать сознательное отношение к учебе,

усидчивость, аккуратность, эстетическое восприятие окружающего мира.

Исходя из психолого-педагогической характеристики группы, для реализации учебной цели использовались следующие формы и методы работы на уроке

 при актуализации опорных знаний:

• фронтально повторили вопросы, связанные с понятием основных фигур на плоскости, вычислением значений геометрических величин.

при формировании умений и навыков:

• в процессе изучения нового материала происходило многократное закрепление – это проявилось в решении нескольких типичных задач, проведении математического диктанта, заполнении контрольно – обобщающей таблицы, и фронтального опроса по изученной теме;

• на этом этапе занятия реализовывалась обучающая цель – изучение свойств геометрических тел в пространстве;

• для реализации взаимоконтроля студентов был разработан слайд с вопросами (математический диктант) и для организации самоконтроля предложена контрольно – обобщающая таблица. Кроме того, студенты были разбиты на три группы, каждой из которых было поручено подготовить доклад и презентацию по одной из пространственных фигур, каждому учащемуся было предложено попытаться сделать эти фигуры из подручных материалов или принести предметы, имеющие форму тел вращения.

для усиления практической направленности:

• предлагалось самостоятельно сделать чертеж фигуры по условию задачи;

• для наглядного представления использовались фигуры, изображающие реальные предметы из жизни.

Считаю, что учебная цель реализована. Группой было закреплено умение вычислять значения геометрических величин и изображать пространственные фигуры.

Неоднократное повторение основных моментов новой темы способствовало лучшему запоминанию и усвоению материала, а тем самым развитию мышления.

Отклонения от плана урока не было.

Считаю, что урок удался.