Методические рекомендации к практическим работам
методическая разработка на тему

Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждения колледж городской инфраструктуры и строительства №1

Методические рекомендации к практической работе №1

«Вычисление пределов функций»

по дисциплине «Математика»

Автор-составитель: Пархоменко Е.А.

Практическая работа № 1.

Тема: Вычисление пределов функций.

Цель: Проверка усвоения знаний по вычислению пределов функций с помощью раскрытия неопределённостей. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал, примеры вычисления пределов.

Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a, если для каждого положительного числа можно указать такое положительной число , что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<, имеет место неравенство |f(x)-b|<

Обозначение предела. Если b есть предел функции f(x) при x стремящемся к a, то записывают это так:

Определение непрерывной функции. Функция f(x) непрерывна в точке a, если

Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.

 ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ПРЕДЕЛОВ

Пример 1.

Комментарий. Здесь была использована теорема о пределе суммы.

Пример 2.

Комментарий. На первом шаге была применена теорема о пределе частного, так как предел знаменателя не равен нулю. На втором шаге использовалась теорема о пределе суммы для числителя и знаменателя дроби. После была применена теорема о пределе произведения.

Пример 3. Найти предел

Знаменатель и числитель дроби при x стремящемся к 2 стремятся к нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь неприменима. В таких случаях нужно попытаться упростить дробь. Имеем

Это преобразование справедливо при всех значениях x, отличных от 2, поэтому в соответствии с определением предела можем написать 

 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ПЕРВОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ ПРЕДЕЛЕ

Пример 1.

        Пример.. Найти пределы:

а)   б) ,  

в)

Решение.

а)  

б),  

в) .

Следует отметить, что формулы (1.5) и (1.6) справедливы не только для многочленов целой степени, но и для многочленов дробной степени, так как  для любого a>0.

        Пример .  Найти пределы.

а) ,          

б) ,  

в) ,  

Решение:

а) В числителе три слагаемых соответственно степени:  Следовательно, степень числителя равна , а главный член в числителе равен . Аналогично, главный член в знаменателе  Имеем по формулам (1.5) и (1.6):

а)

б)  

в)  

т.к.  

Здесь также можно было использовать идею, что главный член это старший член. Имеем:

Пример 1.4. (Неопределенности )

а) ,  б)  

        Решение. Для избавления от неопределенности  здесь следует избавиться от иррациональности в числителе, умножив и разделив данное выражение на соответствующее сопряженное выражение.

а) Используем формулу

Для данного примера

Имеем:

а)

б) Напоминаем, что  и при  .

Имеем:

=.

Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждения колледж городской инфраструктуры и строительства №1

Методические рекомендации к практической работе №1

«Определение непрерывности функции, точек разрыва функции»

по дисциплине «Математика»

Автор-составитель: Пархоменко Е.А.

Практическая работа №2.

Тема: Определение непрерывности функции, точек разрыва функции.

Цель: Развивать и совершенствовать умение определять непрерывность функции, находить точки разрыва функции, закрепить навык  вычисления пределов с помощью формул первого и второго замечательных пределов.

                 Обеспечение практической работы:

                  Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

                 Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

                 Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал, примеры на определение непрерывности функции,

Определение непрерывности функции

        Определение    Пусть функция определена на некотором интервале , для которого  -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть функция определена на некотором полуинтервале , для которого  -- левый конец. Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть, наконец, функция определена на некотором полуинтервале , для которого  -- правый конец. Функция называется непрерывной слева в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

        Предложение :   Функция тогда и только тогда непрерывна в точке , когда она непрерывна в точке справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

1) функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки;

2) существует предел значений функции слева: ;

3) существует предел значений функции справа: ;

4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке : .     

Рис.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с

Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции ; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

        Пример 1   Пусть и . Тогда и . Эти значения совпадают, значит, функция непрерывна в точке .

(Функция  -- элементарная функция;  -- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить любой элементарной функцией, а  -- любой внутренней точкой области , и вывод остался бы тем же.)     

        Пример 2   Рассмотрим функцию и точку . При функция задаётся формулой , при этом имеем (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при : . Итак, , что означает непрервыность функции при .     

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

        Определение точек разрыва

Дадим теперь определение точек разрыва функции.

        Определение Точка называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева ;

2) не существует предела справа ;

3) пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу: ;

4) пределы слева и справа существуют и равны друг другу: , но не совпадают со значением функции в точке : , или функция не определена в точке .

Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки называется разрывом первого рода в точке ; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.

Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки -- разрывом второго рода в точке .     

Итак, если функция имеет разрыв первого рода в точке , то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": и , но точка не является точкой непрерывности.

. -- точка разрыва первого рода 

Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , положив , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

. -- точка устранимого разрыва 

Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки , где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.

. -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты 

        Пример 3   Рассмотрим функцию , для которой

Функция имеет разрывы при и при . Нетрудно видеть, что при В точках и функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке имеем:

(значения на краях разыва существуют, но не совпадают); в точке  --

(снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают).     

График функции

        Пример 4   Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при .     

Рис.3.6.График функции

        Пример 5   Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при .     

Рис. График функции

Первый замечательный предел равен

    Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

  Второй замечательный предел существует. Его значение  -- число, лежащее между 2 и .    

Более подробное изучение числа показывает, что  -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

 Пример 6.  Найдём предел .

Здесь основание степени имеет предел

а показатель степени . Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину . Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно , где (см.  теорему 2.4). Значит,

Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:

Поэтому

(Мы воспользовались тем, что если и , то . Это следует из непрерывности показательной и логарифмической функций, если учесть, что ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ О ВТОРОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ ПРЕДЕЛЕ

.

.

.

.

.

Практическая работа № 3.

Тема: Нахождение производной сложной функции, обратных функций.

Цель: Проверить на практике знание  понятия  производной функции, умение находить производные элементарных функций, сложных функций, обратных функций , пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, понятием сложная и обратная функция.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры нахождения производной сложной функции,

обратных функций.

Определение: Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции 

Теперь можно установить важное в практических приложениях правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих ее функций.

Теорема 7.3.1. Пусть задана сложная функция ;
функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке .
Тогда функция имеет производную в точке и 

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то

где при . Если положить , то функция непрерывна в точке .

Придадим переменной в точке малое приращение ; оно влечет приращение зависимой переменной : . Итак,

Разделив на , получим

Так как существует , то функция непрерывна в точке и, следовательно, при    и так как , то функция непрерывна в точке . Отсюда сложная функция, как суперпозиция непрерывных функций , непрерывна в точке .

Теперь, переходя к пределу в (7.3.1) при , получим

Пример. 

Тогда

Пример.  Найдем дифференциал функции :

 Производная обратной функции.

Теорема 7.4.1. Пусть функция определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки , и пусть в этой точке производная . Тогда и обратная функция имеет производную в точке , причем 

Пример

1) ,

2) ,

3) ,

Примеры.

1. Найти значение производной функции

Решение.

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ:.

Примеры.

1. Если , то

2. y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y '(–1).

y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.

3. y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x. 
4. 

Практическая работа № 4.

Тема: Вычисление производных высших порядков.

Цель: Проверить на практике знание  понятия  производной функции, умение находить производные элементарных функций, сложной функции, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования. Закрепить навык нахождения производной высшего порядка.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры нахождения производных функций высших порядков.

Определение: Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Производные высших порядков

Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, -й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной :

         если эта производная существует. -я производная называется также производной -го порядка, а её номер называется порядком производной.

          При первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: или ; при прочих  -- числом в скобках в верхнем индексе: или .

        Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная задаёт мгновенную скорость изменения значений в момент времени , то вторая производная, то есть производная от , задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений . Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, ).

        Пример 1.   Найдём вторую производную функции . Первая производная равна

далее находим

        Пример 2.   Пусть . Тогда

   При все производные оказываются равными исходной функции:     

        Пример 3.   Рассмотрим функцию . Тогда

Поскольку четвёртая производная совпала с исходной функцией , то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при получаем

Заметим также, что

Легко видеть, что имеет место общая формула:

Дифференциалы высших порядков.

Напомним, что дифференциал функции (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой

Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении аргумента ) как функцию переменного и найдём её дифференциал :

Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции , или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой

Вообще, -й дифференциал , или дифференциал -го порядка, определяется как дифференциал от -го дифференциала (при постоянном приращении ); для него имеет место формула:

Практическая работа № 5.

Тема: Нахождение точек перегиба и направления выпуклости, асимптот графика функции.

Цель: Проверить на практике знания   понятия  производной функции, умение применять их для решения задач, умение находить производные функций, умение находить точки перегиба и направление выпуклости функции с помощью второй производной, умение находить асимптоты функции.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры нахождения точек перегиба, направление выпуклости и асимптот функции.

Возрастание и убывание функции.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что ; невозрастающей на интервале , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что .

Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций

Очевидно, что функция возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Графики функций и

        Теорема.   Пусть функция дифференцируема на интервале и при всех . Тогда возрастает на . Если же при всех , то не убывает на .

Аналогично, если при всех , то убывает на , а если при всех , то не возрастает на .

        Пример 1.   Рассмотрим функцию . Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси : из следует, что . Однако неверно, что при всех : действительно, производная обращается в 0 при .     

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) -- это нестрогое неравенство .

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции , надо решить относительно неравенство , а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство .

        Пример 2.   Рассмотрим функцию . Её производная такова:

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции , так что нужно решать неравенство . Отсюда . Таким образом, функция возрастает на интервале . Нетрудно видеть, что при выполняется обратное неравенство , так что на этом интервале функция убывает.     

                                                                            График функции

Если два интервала возрастания функции примыкают друг к другу, то есть имеют вид и , и функция непрерывна в точке , то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на . То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Экстремум функции и необходимое условие экстремума.

Напомним определение локального экстремума функции.

        Определение.   Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

        Теорема : Если точка  -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо
1) , либо
2) производная не существует.

Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

        Пример 3.    Рассмотрим функцию . Её производная существует при всех и равна . Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением . Это уравнение можно записать в виде ; оно имеет единственный корень : это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде , легко увидеть, что в стационарной точке функция имеет минимум, равный .     

        Пример 4.   Рассмотрим функцию . Как и в предыдущем примере, производная существует при всех ; она равна . Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: .

Записав функцию в виде , легко увидеть, что в точках функция имеет минимум, так как в этих точках выражение обращается в 0, и

Если же мы запишем функцию в виде , то убедимся, что точка  -- точка локального максимума, поскольку при малых выражение положительно, и

Выпуклость функции.

        Определение.  Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды -- как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой.

То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что

при всех .

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что

при всех .     

Графики выпуклой и вогнутой функций

Легко видеть, что функция вогнута на интервале в том и только том случае, когда функция выпукла на .

        Пример 5.  Рассмотрим функцию . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале , то и , и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.     

        Пример 6.   Рассмотрим функцию ; её график -- парабола .

Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале .

        Теорема :  Пусть на интервале функция имеет вторую производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда при всех , и вогнута тогда и только тогда, когда при всех .

          Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.

на интервалах выпуклости и на интервалах вогнутости

        Пример 7.    Рассмотрим функцию , то есть

Для этой функции

(проверьте отдельно, что производная при существует и равна 0) и

то есть . (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, при всех ; отсюда следует, что функция выпукла на всей оси.     

Функция выпукла на всей оси

        Пример 8.   Рассмотрим функцию . Её производная равна ; вторая производная . Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство , то есть . Решением является объединение лучей: . Значит, на интервалах и функция выпукла.

Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство , то есть . Решением является отрезок . Значит, на интервале функция вогнута.     

Интервалы выпуклости и вогнутости функции

Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.

Асимптоты графика функции.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение. Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .     

        Пример 8. Рассмотрим функцию . График имеет вертикальную асимптоту , поскольку при выполняется условие , а также при выполняется условие .     

Вертикальная асимптота функции

     Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.

        Определение.   Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия:
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если

или

соответственно.

        Пример 9. Рассмотрим функцию . График этой функции имеет наклонную асимптоту при . Действительно,

при

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида , так что её график не может иметь асимптоты при .     

Наклонная асимптота функции

        Пример 10.  График функции имеет горизонтальную асимптоту как при , так и при , поскольку, очевидно, при . Можно сказать также, что асимптота при у этого графика совпадает с асимптотой при .     

Горизонтальная асимптота функции

        Теорема : Прямая служит наклонной асимптотой для графика при (или при ) в том и только том случае, когда

и

(соответственно, если

и

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится ) асимптоты достаточно найти два указанных предела и, затем, . Прямая будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.

        Пример 11.    Найдём наклонные асимптоты графика .

Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при , и при .

Итак, и при , и при имеем и , так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение , то есть, фактически, асимптота только одна.     

График и его наклонная асимптота

        Пример 12.   Рассмотрим функцию . Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.

Сначала найдём асимптоту при . Согласно доказанной теореме, имеем:

Таким образом, при наклонной асимптотой служит прямая .

Теперь найдём асимптоту при . Имеем:

Поскольку , мы можем считать, что в допредельном выражении . В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число . Тогда под корнем нужно будет поделить на , и получится:

Вычисление проведите сами в качестве упражнения. При этом получается , так что наклонная асимптота при имеет уравнение .     

Рис.7.13.График и его две наклонных асимптоты

        Замечание 7.3   Если график имеет асимптоту (например, при ) и существует предел производной:

то . Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17.

Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная не имеет никакого предела при . Дело в том, что значения могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.     

Практическая работа № 6.

Тема: Исследование функции по общей схеме.

Цель: Проверить на практике знание  понятия  производной функции, понимание  геометрического смысла  производной, умение применять их для решения задач, умение находить производные функций, умение находить промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы, промежутки выпуклости, точки перегиба, асимптоты функции, применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры применения производной к исследованию функции.

Общая схема исследования функции и построения её графика.

После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Пусть дана функция . Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Поясним сказанное примером:

        Пример 1.   Пусть Эта функция определена на всей числовой оси, однако 0 является точкой разрыва функции: при функция стремится к . Значит, вертикальная прямая служит вертикальной асимптотой функции, хотя функция и определена в точке .     

4). Если область определения включает в себя лучи вида или , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при или соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью (если ). Для этого нужно вычислить значение . Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней19 помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной .

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Обсудим теперь подробнее некоторые из этих пунктов.

1). Область определения функции. В некоторых примерах область определения задаётся в самом условии задачи, например: "Построить график функции, заданной при ". Однако часто функция задаётся некоторой формулой, выражающей как элементарную функцию, вроде:

В таком случае принято считать, что областью определения служит максимально широкое множество значений , при которых правая часть формулы имеет смысл.

Из этого соглашения по умолчанию есть одно исключение. Если функция имеет вид или содержит выражения такого рода, то принято считать, что выражение должно быть положительно, если принимает значения любого знака, или неотрицательно, если положительно. При этом игнорируется тот факт, что выражение может иметь смысл и при некоторых других (исключительных) значениях и , например, когда и принимает целое значение.

        Пример 2.   Для функции считаем, что , хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных .     

        Замечание 7.14   При исследовании некоторых функций подробное исследование области определения мы вынуждены будем пропустить или ограничиться общими рассуждениями, ввиду сложности точного решения вопроса.

Например, область определения функции задаётся как решение неравенства . Однако решить это неравенство "точно", то есть найти выражения через радикалы от известных чисел для точек, задающих левые и правые концы интервалов (или интервала?) области определения, по-видимому, невозможно. Можно лишь сказать, что решение будет заведомо содержать целиком луч вида при некотором ; кроме того, непосредственная проверка показывает, что точки и 0, например, принадлежат , а точка  -- нет. Более точно можно описать , найдя корни уравнения приближённо, с достаточно малой погрешностью, и исследовав знак функции между этими корнями.

Способы приближённого отыскания корней алгебраических уравнений мы обсудим ниже, в главе 9.     

2). Особые свойства функции. Не любая функция обладает такими свойствами, как чётность либо нечётность. Функция заведомо не является ни чётной, ни нечётной, если её область определения несимметрична относительно точки 0 на оси . Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

Так что если, например, при рассмотрении предыдущего пункта выяснилось, что область определения не обладает свойством симметричности либо периодичности, то заниматься исследованием соответствующих особых свойств функции нет нужды.

3). Вертикальные асимптоты. Если функция  -- элементарная, то на всех интервалах области определения функция непрерывна. Значит, вертикальные асимптоты могут появиться только на границах интервалов, составляющих .

Однако не на каждой из границ этих интервалов непременно возникает вертикальная асимптота: например, функция имеет область определения , и единственной точкой границы служит . Однако вертикальная прямая не является вертикальной асимптотой функции, так как .

4). Наклонные и горизонтальные асимптоты. При их поиске, как и при поиске других асимптотических линий (не обязательно прямых) полезно выделить более просто, чем , устроенную главную часть функции, то есть такую функцию , что разность  -- бесконечно малая при или . Тогда график главной части и есть искомая асимптотическая линия. Если ясно, что асимптотическая линия не имеет наклонной либо горизонтальной асимптоты, то её не имеет и исходный график . Заметим, что все многочлены (при и ) не имеют асимптотических линий вида (докажите это!). Следовательно, искать в виде прямолинейные наклонные либо горизонтальные асимптоты у тех графиков, которые имеют асимптотические линии в виде графиков многочленов, в том числе у самих многочленов степени , -- дело бессмысленное: этих прямолинейных асимптот всё равно нет!

        Пример 3.    Рассмотрим функцию Эта функция имеет главную часть , так как разность , очевидно, стремится к 0 при . Поэтому парабола  -- это асимптотическая линия для графика ; следовательно, прямолинейных наклонных и горизонтальных асимптот график этой функции не имеет.     

5). Нахождение точки пересечения графика с осью состоит в простом вычислении значения функции при . Нахождение же точек пересечения с осью может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. О приближённом нахождении корней уравнений см. ниже, в гл. 9. Отыскав корни функции и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов, знакомый из школьной программы.

6). Нахождение промежутков монотонности. Для этого находят производную и решают неравенство . На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство , функция убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) и примыкают друг к другу в точке и функция непрерывна в этой точке , то возрастает на интервале .

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума (пользуясь теоремой 7.10 и не прибегая к теореме 7.11): там, где возрастание сменяется убыванием20, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы.

7). Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости ведётся с помощью второй производной. Найдя , мы решаем неравенство . На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство , мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута).

Заодно определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

8). Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. Этот пункт не носит столь уж обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции точки на осях координат и на графике полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять вид графика. При этом дальнейшие исследования функции имеют характер уточнений полученного ранее.

Примеры исследования функций и построения графиков.

        Пример 1.   Построим график функции .

1). Функция  -- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: .

2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного , и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени . Для функции это не так, значит, не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от ; в нашем случае это не так, поэтому  -- не периодическая функция.

3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)

4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

5). Пересечение с осью найдём, вычислив значение при : имеем . Для нахождения пересечений графика с осью следует решить уравнение . Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень , лежащий на интервале , причём ближе к точке , чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что . Заметим, что меняет знак с на при переходе через точку .

6). Производная данной функции равна . Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство . Корни квадратного трёхчлена -- это , значит, решением неравенства служит объединение интервалов и . На каждом из этих интервалов функция возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством , то есть . Его решением служит интервал . На этом интервале функция убывает.

В точке возрастание функции сменяется убыванием, значит,  -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

В точке убывание функции сменяется возрастанием, значит,  -- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от до и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.

7). Вторая производная функции равна . Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство , то есть , откуда . Значит, функция выпукла на интервале . Обратное неравенство даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это . В точке направление выпуклости меняется, следовательно,  -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно .

8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции .

График функции

        Пример 2.    Исследуем функцию и построим её график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции -- вся ось .

2). Функция  -- нечётная, поскольку при смене знака числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда . Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

Периодической функция не является.

3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем:

Таким образом, асимптотой как при , так и при служит прямая .

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: , причём  -- единственное решение уравнения . Значит, график пересекает сразу и ось , и ось в начале координат.

Очевидно, что при и при .

6). Найдём производную:

Очевидно, что при всех ; единственная точка, в которой  -- это . Значит, функция возрастает на всей оси , а в стационарной точке имеет горизонтальную касательную.

7). Найдём вторую производную:

Знаменатель этой дроби положителен при всех . Числитель имеет корни и , при этом на интервалах и  -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство , здесь функция вогнута. Все три точки, в которых , то есть точки , являются точками перегиба.

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

График функции

Практическая работа № 7.

Тема: Вычисление неопределённых интегралов методом интегрирования по частям.

Цель: Проверить на практике знание  понятия  неопределённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять неопределённый интеграл методом интегрирования по частям.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры вычисления неопределённого интеграла методом интегрирования по частям.

Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

        Определение   Пусть  -- функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для называется неопределённым интегралом от и обозначается . Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.     

Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции состоит из функций вида , где  -- какая-либо фиксированная первообразная для , а  -- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция . Поэтому можно написать такую формулу:

(Точнее было бы , но фигурные скобки, обозначающие множество всех функций вида , писать в данной ситуации не принято.)

Итак, для того чтобы доказать равенство , достаточно проверить, что  -- первообразная для , то есть что .

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv =  v’∙dx , du =  u’∙dx):

.

Примеры:
. .
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде : .

Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
 Интегралы вида , , , где Pn(x) - многочлен n-ой степени. Так, для имеем , , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
Интегралы , где - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = Pn(x)dx, для того, чтобы в интеграле участвовала не f(x), а её производная. Пример: .

 Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Найти (это интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки ).

.
В результате для искомого интеграла мы получили уравнение ,
решая которое, получаем (константа С появилась вследствие того, что интегралы в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и (константа переобозначена через С).
Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и (). Например,
. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .
При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = eax dx или u = eax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).

 Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением. Примеры:
. Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям:

.
Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;

и т.д.
 

Практическая работа № 8.

Тема: Вычисление неопределённых интегралов методом введения новой переменной.

Цель: Проверить на практике знание  понятия  неопределённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять неопределённый интеграл методом введения новой переменной.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры вычисления неопределённого интеграла методом введения новой переменной.

Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

        Определение   Пусть  -- функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для называется неопределённым интегралом от и обозначается . Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.     

Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции состоит из функций вида , где  -- какая-либо фиксированная первообразная для , а  -- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция . Поэтому можно написать такую формулу:

(Точнее было бы , но фигурные скобки, обозначающие множество всех функций вида , писать в данной ситуации не принято.)

Итак, для того чтобы доказать равенство , достаточно проверить, что  -- первообразная для , то есть что .

Замена переменной в неопределённом интеграле
(интегрирование подстановкой).

Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.
При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.
1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз: (самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg4 x2) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x2 и x2 по своим аргументам)

.

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате (возвращаемся к исходной переменной) . Другие примеры:
. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись: = . Рассмотрим (интеграл №19 из табл.). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или , ): . Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие и через косинус двойного угла: . Поэтому
.
Примеры: 1.

.

2.

.

Практическая работа № 9.

Тема: Приближённые методы вычисления определённых интегралов.

Цель: Проверить на практике знание  понятия  определённого интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, знание приближённых методов вычисления определённого интеграла.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры вычисления определённого интеграла.

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов.

 Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница.зщ

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница =, здесь символ  означает, что из значения при верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a , — первообразная функция для . Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то есть неопределенного интеграла.

ПРИМЕР .  Вычисление определенного интеграла.

Методы вычисления определенного интеграла.

Если — непрерывно дифференцируемая на отрезке функция, , и , когда изменяется на , то, положив , получим формулу замены переменной в определенном интеграле  .

Пусть - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям  . Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.

Формула замены переменного в определённом интеграле. 

        Теорема.   Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция имеет непрерывную производную на отрезке , причём все значения при принадлежат отрезку , в том числе и . Тогда имеет место равенство

        Замечание.   Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

        Пример 1.  Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену , откуда . Кроме того, при имеем , а при имеем . Получаем:

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. 

        Теорема . Пусть функции и имеют на отрезке непрерывные производные и . Тогда имеет место формула

        Замечание. Заметим, что эту формулу можно записать в виде

где выражение

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения и , мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:

        Пример 2.    Вычислим интеграл

Выгодно взять и , так что получаем:

При этом возникший по дороге внеинтегральный член мы вычислили так:

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

        Пример 3.  Вычислим интеграл

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов и , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.     

ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Вычисление определенных интегралов вида основано на замене подынтегральной функции интерполяционным полиномом Pn(x) по некоторой системе узлов и вычислении интеграла от интерполянта

Получаемые таким образом формулы численного интегрирования называются квадратурными и имею вид

где xi - узлы квадратурных формул xiО [a,b],i=0,1,2,...n;

Ci - коэффициенты

Конкретные квадратурные формулы различаются выбором узлов и значениями коэффициентов.

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Эти формулы получены путем кусочно-многочленной интерполяции по равноотстоящим узлам. При интерполировании полиномом нулевого порядка, совпадающим с функцией в одной точке получим формулы прямоугольников

где

xi=a+iЧ h формула левых прямоугольников;

xi=a+(i+1)h формула правых прямоугольников;

xi=a+(i+0.5)h формула средних прямоугольников;

При интерполировании по двум узлам a и b полиномом первого порядка получим формулу трапеций

при произвольном числе узлов интерполирования n получим

xi=a+iЧ h, i=0,1,2,...n, fi=f(xi).

Формулы прямоугольников и трапеций имеют следующую геометрическую интерпретацию. Вычисляемый интеграл это площадь под кривой f(x). При вычислении по формуле прямоугольников эта площадь вычисляется как сумма площадей прямоугольников шириной h высота которых равна значению функции справа, слева или в середине рассматриваемого интервала. При вычислении по формуле трапеций площадь фигуры заменяется суммой площадей прямоугольных трапеций высотой h с основаниями равными значениям функции в узлах.

Квадратичная интерполяция позволяет получить формулу Симпсона (парабол)

для произвольного четного числа узлов n=2m получим составную формулу

Используя кубическую интерполяцию по четырем точкам можно получить формулу Ньютона (или трех восьмых)

Составную формулу трех восьмых можно получить при числе узлов кратном трем, т.е. n=3m

Методическая погрешность формул численного интегрирования определяется интегралом от погрешности интерполирования и для приведенных формул оценивается соотношениями:

для формулы прямоугольников

для формулы трапеций

для формулы парабол

для формулы трех восьмых

где f"max, f"'max, f""max максимальные значения производных на интервале интегрирования [a,b].

При практическом использовании формул численного интегрирования следует учитывать, что к методической погрешности, которая убывает с уменьшением шага, прибавляется еще и погрешность вычислений , которая увеличивается при увеличении числа шагов, поэтому для уменьшения общей погрешности следует выбирать некоторый оптимальный шаг. Обычно для выбора шага используют двойной пересчет. Вначале вычисляют интеграл In с некоторым шагом h, а затем шаг уменьшают вдвое и получают значение интеграла I2n . Если разница удовлетворяет требованиям точности |In-I2n|Ј e , то вычисления прекращают, в противном случае продолжают дробить шаг. Общую погрешность вычислений в этом случае можно оценить соотношениями

D » |In-I2n|/3 для метода трапеций;

D » |In-I2n|/15 для метода парабол.

Аналогично можно получить формулы Ньютона-Котеса высших порядков, однако, при увеличении степени интерполирования в формулах будут встречаться как положительные, так и отрицательные коэффициенты, превосходящие по абсолютной величине сколь угодно большое число, что приведет к большим вычислительным погрешностям. Поэтому формулы Ньютона-Котеса со степенью более трех на практике не используются.

Квадратурные формулы типа Гаусса. Если по условиям задачи имеется право выбора узлов квадратурной формулы, то для вычисления интеграла применяют квадратурные формулы типа Гаусса (формулы наивысшей алгебраической точности). Эти формулы имеют вид

Коэффициенты Ai и узлы xi квадратурных формул выбираются так, чтобы приближенное равенство (2) было бы точным для всех многочленов наивысшей возможной степени. Квадратурные формулы типа Гаусса степени n будут точными для всех полиномов степени не выше 2n-1, тогда как формулы Ньютона-Котеса точны только для полиномов степени не выше n.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Квадратурная формула Гаусса

получена с весовой функцией равной единице p(x)є 1 и узлами xi, являющимися корнями полиномов Лежандра

Коэффициенты Ai легко вычисляются по формулам

i=0,1,2,...n.

Значения узлов и коэффициентов для n=2,3,4,5 приведены в таблице

При необходимости вычислить интеграл с другими пределами

следует сделать замену переменных тогда формула примет вид

Квадратурная формула с весовой функцией имеет вид

и называется формулой Мелера. Ее особенность в том, что все коэффициенты равны p /(n-1) , а в качестве узлов xi используются корни многочленов Чебышева

При вычислении несобственных интегралов используют специальные приемы. Например, несобственный интеграл подынтегральной функцией стремящейся к бесконечности в точке принадлежащей интервалу интегрирования f(x)® Ґ при x® c, cО [a,b],

можно приближенно вычислить вырезав из него некоторый участок с особенностью

Значение d должно быть таким, чтобы обеспечивалось неравенство

где e требуемая точность, а интегралы в формуле (3) должны вычисляться с точностью e /4 каждый.

Другим приемом, позволяющим вычислить несобственный интеграл, является использование квадратурных формул с такой весовой функцией , чтобы особенность содержалась в весовой функции. Например, при вычислении интеграла

имеются особенности в точках x=1, x=-1. Для вычисления этого интеграла удобно использовать формулу Мелера

так, как в правой части равенства присутствует функция ex не имеющая особенностей.

При вычислении несобственных интегралов с бесконечным пределом выполняют его усечение

параметр b выбирают так, чтобы выполнялось неравенство

а интеграл в формуле (4) должен быть вычислен с точностью e /2.

Для кратных интегралов используют повторное применение квадратурных формул. Например, для двойного интеграла

можно записать

где

т.е. вычисление такого интеграла сводится к двукратному интегрированию

где Ci,CJ коэффициенты квадратурных формул, применяемых для интегрирования по x и по y. Заметим, что такой подход возможен, если область интегрирования имеет форму прямоугольника.

В случае когда область интегрирования G имеет произвольную форму можно использовать метод Монте-Карло основанный на применении случайных чисел.

Пусть необходимо вычислить интеграл по области G

и пусть известна некоторая оценка подынтегральной функции

0<f(x,y)<B при x,yО G.

Искомый интеграл равен объему тела ограниченного снизу плоскостью z=0, сверху поверхностью z=f(x,y), и с боков цилиндром (x,y) О Г(G), где Г(G)- граница области G. Заключим область G в прямоугольник aЈ xЈ b , cЈ yЈ d , тогда тело будет содержаться внутри параллелепипеда aЈ xЈ b , cЈ yЈ d, 0Ј zЈ B. Возьмем три независимых последовательности равномерно распределенных случайных чисел

и составим последовательность случайных точек Все эти n точек будут принадлежать параллелепипеду, а некоторое их число m будут принадлежать объему искомого тела, это те точки, для которых выполняются неравенства

при условии, что

При достаточно большом n можно считать, что объем искомого тела относится к объему параллелепипеда как m/n и интеграл можно вычислить по формуле

Практическая работа № 11.

Тема: Операции над векторами.

Цель: Проверить на практике знание  понятия  вектор, закрепить умение и навык вычислять сумму векторов, разность векторов, произведение вектора на число, находить угол между векторами, скалярное произведение векторов, определять перпендикулярность векторов.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Учебник Филимонова Е.В. «Математика». – Ростов- на -Дону: Феникс, 2008.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры решения задач по теме «Векторы в пространстве, операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B.

Нулевым вектором называется вектор , у которого начало и конец совпадают, т.е. A=B . Вектор не имеет направления.
  Модулем вектора называется его длина. Два вектора называются равными , если их направления совпадают, а длины равны.
  Углом между двумя векторами называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из векторов до совпадения с направлением второго.
  Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной или в параллельных плоскостях .
  Линейные операции над векторами.

Сложение векторов.

Суммой векторов и называется вектор который получается при совмещении конца вектора с началом вектора . Тогда началом вектора будет начало вектора , а концом вектора - конец вектора .

а) Сложение векторов по правилу треугольника:

б) Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Свойства суммы векторов:

1) Свойство коммутативности:

2) Свойство ассоциативности:

3)

4) где - вектор противоположный .

Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число λ называется вектор , такой, что ,
а его направление совпадает с направлением вектора , если λ>0 и противоположно ему, если λ<0.

Проекция вектора.

Проекцией вектора на ось l называется число

где α- угол между направлениями оси l и вектора .

Свойства проекций:
1)
2) , где λ-произвольное число.

Координаты вектора.

Рассмотрим прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве OXYZ. Вектору в данном пространстве соответствует тройка чисел (x,y,z), являющихся проекциями вектора на оси Ox, Oy, Oz. Эти числа называются координатами вектора .

Числа получаются как разность соответствующих координат точек A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1):

x= x1-x0 , y= y1-y0 , z= z1-z0

а модуль вектора , равный его длине, вычисляется по теореме Пифагора:

.

Разложение вектора по координатным осям.

Пусть вектор задан своими проекциями на оси координат Ox, Oy, Oz.
Выберем на оси Ox вектор = (1,0,0), на оси Oy - вектор = (0,1,0), на оси Oz - вектор = (0,0,1) .
Они взаимно-перпендикулярны и имеют единичную длину . Векторы , и называют ортами координатных осей .

Вектор лежит на оси Ox и его длина равна x , поэтому Аналогично Сумма этих векторов дает вектор :

Это выражение называется формулой разложения вектора по ортам координатных осей.
Используя эту формулу , нетрудно получить :

Пример 1.

Радиусами-векторами вершин треугольника АВС являются r1, r2, и r3, . Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника.

Решение. Имеем (D ― середина стороны ВС);

(M – точка пресечения медиан), поэтому Итак ,

Пример 2. Найти длину вектора и его направляющие конусы.

Решение.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть l – некоторая прямая, АВ – отрезок на l.
Точка С , принадлежащая отрезку AB , делит его в отношении λ , если

 .

Запишем это соотношение в координатном виде :

здесь(x2,y2,z2)  - координаты точки C ,(x0,y0,z0)- координаты точки A и (x1,y1,z1) - координаты точки B. Отсюда :

,,

Пример 3. 

Отрезок АВ, где А(3,-5,2), В(5,-3,1), точками С и D разделен на три равные части. Найти координаты точек С и D.

Решение. По условию АС:СВ=1:2, АD:DВ=2:1. Подставляя в формулы деления отрезка в данном отношении значения получим координаты точки С:

Аналогично находятся координаты точки D при λ=2:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Даны 3 вершины A(3,-4,7), В(-5,3,-2), С(1,2,-3) параллелограмма АВСD. Найти его вершину D.

2. Даны 2 смежные вершины параллелограмма А(-2,6), В(2,8) и точка пересечения его диагоналей М(2,2). Найти 2 его другие вершины.

3. На оси абсцисс найти тоску М, расстояние до которой от точки А(3,-3) равно 5.

4. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1,-4,7) и В(5,6,-5).

5. Даны вершины треугольника А(3,-1,5). В(4,2,-5), С(-4,0,3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

6. Треугольник задан координатами своих вершин А(3,-2,1), В(3,1,5), С(4,0,3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

7. Отрезок с концами в точках А(3,-2) и В(6,4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

8. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2,0,2) и D(5,-2,0) разделен на три равные части.

9. Даны точки А(1,-3,-2), В(8,0,-4), С(4,8,-3). Найти такую точку D, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом.

Практическая работа № 12.

Тема: Уравнение прямой на плоскости.

Цель: Проверить на практике знание  понятия  уравнения прямой: нормальное уравнение прямой, стандартное уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом, каноническое уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, параметрическое уравнение прямой. Проверить умения и закрепить навык нахождения различных уравнений прямой.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Учебник Филимонова Е.В. «Математика». – Ростов- на -Дону.: Феникс, 2008.

Учебное пособие Пахнющий А.А.  «Геометрия» –Ставрополь, институт образования, 1997.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры нахождения различных уравнений прямой.

Общие уравнения прямой.

Рассмотрим систему уравнений первой степени

Каждое из этих уравнений является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельны, то система определяет прямую линию, как линию пересечения двух плоскостей. Эти уравнения называют общими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой.

Пусть прямая L задана точкой M1(x1,y1,z1) и направляющим вектором Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный этой прямой или лежащей на ней.

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z,) на прямой L и радиусы-векторы .

Вектор где t- множитель, называемый параметром.

Уравнение  называется векторным уравнением прямой.

Перепишем это уравнение в векторной форме: так как

,
,
,

то отсюда получаем:

Полученные уравнение называются параметрическими уравнениями прямой.

Выразим из этих уравнений параметр t :

получим каноническое уравнение прямой:.

Уравнение прямой проходящее через две точки.

Пусть прямая L проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2). За направляющий вектор прямой L примем вектор :

Тогда канонические уравнения этой прямой запишутся так:

.

Угол между двумя прямыми.

Пусть две прямые в пространстве L1 и L2 заданы уравнениями:

(L1)
(L2)

За угол между двумя прямыми принимают один из смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из этих смежных углов равен углу φ между направляющими векторами данных прямых, так как

то условие параллельности и перпендикулярности двух прямых запишутся так:

,
.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор .

Тогда уравнение прямой в каноническом виде запишется так:
здесь

Отсюда получаем

Обозначим тогда
Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Вычисление угла между двумя прямыми.

Пусть две пересекающиеся в точке M прямые l1 и l2 заданы уравнениями:

.

         Пусть прямая l1 образует с осью OX угол α1 , а l2  угол α2

              Найдем угол φ. Из рисунка видно, что и

Так как то

Переход от общих уравнений прямой к каноническим.

Чтобы перейти от общих уравнений прямой к каноническим, нужно найти какую-либо точку M1(x1,y1,z1) на прямой.

Пусть прямая L задана общим уравнением

Координаты точки М1 находятся как решение системы уравнения, задав одной из координат произвольное значение. За направляющий вектор можно взять вектор произведения нормальных векторов.

Пример 1.
Написать уравнения прямой, проходящей через две несовпадающие точки M0(x0,y0,z0) и M1(x1,y1,z1).

Решение: За направляющий вектор прямой можно принять

Следовательно, имеем:

Пример 2.
Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M1(1, -2, 3) и параллельной вектору = (2, 4, -5). Найти точку Р прямой, которой соответствует значение t=2.

Решение. Воспользуемся формулами параметрического уравнения прямой. Так как в данном случае
 то параметрические уравнения прямой имеют вид
При t = 2 получаем 

На прямой фиксирована точка Р (5, 6, -7).

Пример 3.
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(5, -3, 8) перпендикулярно плоскости 4х + 7у - 8z -3 = 0.

Решение. Поскольку вектор =(4, 7, -8) перпендикулярен плоскости 4х + 7у -8z -3 = 0, то в силу условия, он будет параллелен искомой прямой. Возьмем на прямой текущую точку M(x,y,z). Тогда векторы и коллинеарны. Используя условие коллинеарности векторов, получаем искомое уравнение

Пример 4.
Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Решение. Запишем уравнение прямой в канонической форме:

Точку М1 на прямой найдем, положив в общих уравнениях прямой, например, z1=0:

Решив эту систему уравнений, получим Итак,
За направляющий вектор прямой возьмем векторное произведение векторов

Поэтому m = 3, n = -5, р = -9.
Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид

Пример 5.
Найти угол между двумя прямыми:

Решение. Первая прямая имеет направляющий вектор = (7, 2, -8) и = (11, -8, -7) -вторая. В соответствии с формулой (3.17) получаем

Следовательно, φ = 45°.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Составить параметрические уравнения прямых, проведенных через точку M1(5, -1. -4) в каждом из следующих случаев:

а) прямая параллельна прямой

2. Написать параметрические уравнения прямой, проведенной через начало координат перпендикулярно плоскости 4х - Зу + 5z -7 = 0.

3. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M1(5, -3, Ö2) и параллельной вектору, образующему с координатными ортами углы Лежат ли на этой прямой точки Р(1,-2,3) и Q(4, -4,0)?

4. Найти углы между координатными осями и прямой, проходящей через две точки

5. Найти углы между двумя прямыми :

Практическая работа № 13.

Тема: Решение   систем линейных неравенств с двумя переменными.

Цель: Закрепить умение решать системы линейных неравенств с двумя переменными графическим способом, навык изображения модели множества всех решений неравенства на плоскости с помощью математического моделирования.

     Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2006.

Учебник Филимонова Е.В. «Математика». – Ростов- на -Дону.: Феникс, 2008.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Теоретический материал и примеры решения систем линейных неравенств в двумя переменными.

Пусть дана система из m линейных неравенств с двумя переменными.

Решением каждого неравенства будет являться одна из полуплоскостей, на которые всю плоскость разбивает соответствующая прямая. Решением системы будет являться пересечение этих полуплоскостей. Данная задача может быть решена графически на плоскости х10х2.

Пример.

Решим каждое неравенство графически.

1.  построим соответствующую прямую.

Подставим координаты точки (0,0) в неравенство:  (истина).

2.

Подставим координаты точки (0,0) в неравенство:  (ложь).

3.

Подставим координаты точки (0,0) в неравенство:  (истина).

4.

 (0,0),  (истина).

5.

 (1,0),  (истина).

                        X2                        (3)                                

                                   (1)                                                

                                          (5)                                        

                (4)                B                C                                        

                          A                          D                                

                      0             F                         G                   X1                

                                                 E                                

                                                   (2)                                

ABCDE - область возможных решений (ОВР),

ABCDGF - область допустимых решений (ОДР).

Возможны другие конфигурации области возможных решений и области допустимых решений.

                                                        X2                        

Oбласть возможных решений неограничена,             Область возможных решений

ABCD - область допустимых решений.                    - пустое множество.

Пример

Известно, что уравнение прямой имеет вид: a1x1+a2x2=b. Построим прямую 2x1+x2=2. Перепишем это уравнение в виде:

При такой форме записи в знаменателе показаны отрезки, которые отсекает прямая на осях координат (Рис. 7.2). Если от исходного уравнения перейти к неравенству 2x1+x2≤2, то графически решение этого неравенства показано на рис. 7.3, т.е. решением линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость. На рис. 7.3 часть плоскости, которая не удовлетворяет неравенству расположена выше прямой, заштрихована. Координаты всех точек, принадлежащих не заштрихованной части плоскости, имеют такие значения х1 и х2, которые удовлетворяют заданному неравенству. Эта полуплоскость является областью допустимых решений (ОДР).

Рассмотрим систему неравенств:

Для удобства запишем ее в следующем виде:

Графическое решение этой системы показано на рис. 7.4
Решением этой системы являются координаты всех точек, принадлежащих ОДР, т.е. многоугольнику ABCDO.
Т.к. в ОДР бесчисленное множество точек, значит, рассматриваемая система имеет бесчисленное множество допустимых решений.
Если мы хотим найти оптимальное решение, то мы должны принять целевую функцию. Пусть мы хотим, чтобы решение было оптимальным в смысле максимизации целевой функции F=x1+x2→max

Эта зависимость на рис. 7.5 представлена в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом x2=F-x1, из которого видно, что tga= -1. При этом угол a=135°, а величина F равна отрезку, отсекаемому прямой на оси ординат. Если прямую перемещать параллельно самой себе в направлении, указанном стрелками, то величина F будет возрастать. Совместим теперь ОДР, изображенную на рис. 7.4, с линией целевой функции F, построенной на рис. 7.5, получим рис. 7.6.

Поскольку требуется найти оптимальное решение, при котором целевая функция F=x1+x2→max, т.е. стремится к максимуму, будем перемещать график целевой функции в направлении увеличения F. Очевидно, что оптимальным решением будут координаты точки С, равные х1* и х2*. При этом F=F*.

На основании рассмотренного можно сделать вывод: оптимальным решением являются координаты вершин ОДР.

На этом базируется аналитический метод решения задач линейного программирования, который заключается в следующем:

1. Найти вершины ОРД, как точки пересечения ограничений.
2. Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.
3. Вершина, в которой ЦФ приобретает оптимальное (максимальное или минимальное) значение, является оптимальной вершиной.
4. Координаты этой вершины и являются искомыми оптимальными значениями переменных.