Группа Ст 21, 15.12.21 г., 3 пара и тест по технической механике
методическая разработка

Момент силы относительно оси

1. Момент силы относительно центра как вектор

Для любой силы в пространстве, вращающий эффект характеризуется тремя элементами (рис. 3.1):

1.  величиной (модулем) момента, равным F∙h;
2.  плоскостью поворота ОАВ;
3.  направлением поворота в этой плоскости.

Рис. 3.1

Все эти три элемента характеризуются одним вектором , приложенным в центре О, равным по величине F∙h (произведению модуля силы на плечо), перпендикулярным плоскости поворота ОАВ и направленным в сторону, откуда поворот, совершаемый силой F, виден против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор момента , одновременно характеризует величину, плоскость и направление поворота силы  относительно центра О и определяется векторным произведением:

.                                                (3.1)

Момент силы  относительно центра О равен векторному произведению радиуса - вектора точки приложения силы  на вектор силы.

Уравнение (3.1) определяет все три элемента момента силы, в том числе его величину:

.                                        (3.2)

2. Момент силы относительно оси

Пусть сила , приложенная в точке А, стремится повернуть тело вокруг оси z (рис. 3.2). Определим ее вращательный эффект. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу  на составляющие:  параллельную оси z и в плоскости ху. Сила II z и не может повернуть тело относительно оси (она стремится сдвинуть его вдоль оси). Следовательно, весь вращающий эффект, создаваемый силой , будет определяться моментом ее составляющей . Из рис. 3.2 видно, что момент  относительно оси z равно моменту этой же силы относительно точки О (точки пересечения оси z с плоскостью ху). Момент же силы  на основании уравнения (2.1) равен . Тогда окончательно будем иметь:

.                                (3.3)

Рис. 3.2

Определение: Момент силы относительно оси - алгебраическая величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент считается положительным, если с положительного конца оси z поворот, который стремится совершить проекция силы, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу стрелки часов. На рис. 3.2 момент силы  относительно оси z - отрицательный.

Частные случаи:

1. Если сила  параллельна оси z, то ее момент равен нулю , т.к. .

2.  Если сила  пересекает ось z, то ее момент равен нулю , т.к. h=0.
3.  Если сила  перпендикулярна оси z, то ее момент равен произведению модуля силы на ее расстояние до оси .

Аналитические формулы для вычисления моментов силы относительно оси. Пусть сила , проекции которой на оси ,,, приложена к телу в точке  с координатами () (рис. 3.3). На основании уравнения (3.3)

По теореме Вариньона (уравнение 2.3):

.

Рис. 3.3                        Рис. 3.4

Из рис. 3.3 следует, что , а . С учётом этих значений . Аналогично вычисляются моменты относительно других осей. В результате имеем:

,

,                                     (3.4)

.

3. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси

Пусть на тело в точке А действует сила  (рис. 3.4). Проведём ось Z и возьмём на ней произвольно точку О. Момент силы  относительно центра О будет определяться вектором пл. ОАВ по величине (уравнения 3.1 и 3.2) плОАВ.

Через любую точку О ' проведём плоскость хуZ и найдём проекцию силы F на эту плоскость . Тогда на основании уравнений (3.3 и 2.2) =2плО'А'В'.

Так как О'А'В' является проекцией ОАВ на плоскость ху, то пл. О'А'В' = пл.OABcos, где γ - угол между плоскостями этих треугольников, равный углу между перпендикулярами к плоскостям. Умножая обе части последнего равенства на два, получим с учётом предыдущих уравнений:

.                        (3.5)

Определение:  Проекция вектора момента силы относительно центра на любую ось равна моменту данной силы относительно этой же оси.

Тесты по технической механике

1. Что изучает статика?

                     1) статика изучает силы, их действия, сложение, разложение и равновесие их;

                     2) статика изучает статистические движения тел;

                    3) статика изучает механическое движение тел.

2. На какие разделы делится теоретическая механика?

                      1) статика, кибернетика, механика.

                      2) статика, кинематика, динамика.

                      3) кинематика, механика, кибернетика.

3. Когда расстояние между двумя точками тела остается неизменным его называют

                      1) абсолютно твердым телом

                      2) прочным телом

                      3) материальным телом.

4. Векторная величина, представляющая собой меру механического воздействия одних тел на другие – это

                      1) механическое воздействие;

                      2) сила;

                      3) удар.

5. Материальной точкой называется

                     1) абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь, сосредоточив всю массу тела в точке.

                     2) точка, сосредоточенная в центре тела.

3) точка, лежащая в центре тяжести фигуры.

6. Действия системы сил на одно и то же твердое тело, производя одинаковые воздействия называются:

                       1) эквивалентными;

                       2) внутренними;

                       3) внешними.

7. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется

                        1) уравновешенной;

                         2) равнодействующей;

                         3) сосредоточенной.

8. На чем базируются все теоремы и уравнения статики?

                         1) на законах статики;

                         2)  на наблюдениях;

                        3) на аксиомах.

9. Назовите единицу измерения силы?

                              1) Паскаль.                  3) Ньютон.

                 2) Герц.                    4) Джоуль

10. Что называется моментом силы относительно точки (центра)?

1) Произведение модуля этой силы на время её действия.

2) Произведение силы на квадрат расстояния до точки (центра).

3) Произведение силы на кратчайшее расстояние до этой точки (центра).

  11. Когда момент силы считается положительным?

1) Когда под действием силы тело движется вперёд.

2) Когда под действием силы тело вращается по ходу часовой стрелки.

3) Когда под действием силы тело вращается против хода часовой стрелки

12. Трением скольжения называют:

                    1) сопротивление, возникающие при относительном перемещение одного тела по поверхности другого

                     2) сопротивление силе обратной коэффициенту трения.

13. Сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости скольжения

                                     1) это закон Кулона;

                                        2) это свойство пары сил;

                                        3) это закон статики.

   14. Раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил – это

                                       1) статика;

                                       2) динамика;

                                       3) кинематика.

     15. Основной закон динамики

 1) Устанавливает связь между ускорением и массой материальной точки и силой;

  2)  Масса является мерой инертности материальных тел в их поступательном движении;

  3) Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

16. Назовите единицу измерения силы?

                              1) Паскаль.                  3) Ньютон.

                 2) Герц.                    4) Джоуль

17. Что называется моментом силы относительно точки (центра)?

1) Произведение модуля этой силы на время её действия;

2) Отношение силы, действующей на тело, к промежутку времени, в течение которого эта сила действует;

3) Произведение силы на кратчайшее расстояние до этой точки (центра).

  18. Когда момент силы считается положительным?

1) Когда под действием силы тело вращается по ходу часовой стрелки;

2) Когда под действием силы тело движется назад;

3) Когда под действием силы тело вращается против хода часовой стрелки.

19. Трением скольжения называют:

                    1) сопротивление, возникающие при относительном перемещение одного тела по поверхности другого;

                     2) сопротивление силе обратной коэффициенту трения;

3) скольжение фигурных коньков.

20. Сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости скольжения

                                     1) это закон Кулона;

                                        2) это свойство пары сил;

                                        3) это закон статики.

   21. Раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил – это

                                       1) статика;

                                       2) динамика;

                                       3) кинематика.

     22. Основной закон динамики

 1) устанавливает связь между ускорением и массой материальной точки и силой;

                       2)  Масса является мерой инертности материальных тел в их поступательном движении;

                       3) Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

23.Мера механического взаимодействия тел есть:

1) сила;
2) скорость;
3) ускорение.

24. Если вектор силы параллелен оси, то проекция силы на ось равна
1) самой силе;
2) нулю;
3) произведению силы на косинус угла между линией действия силы и осью.

25. Произведение модуля силы на ее плечо называется
1) моментом пары;
2) равнодействующей силой;
3) моментом силы относительно точки.

26. Уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил имеют вид
1)∑Х = 0    2)∑Х = 0    3)∑МА = 0
   ∑У = 0        ∑У = 0       ∑МВ = 0
   ∑Z = 0                           ∑МС = 0

27. Система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке , называется
1) плоской системой сходящихся сил;
2) плоской системой произвольно расположенных сил;
3) пространственной системой сходящихся сил;

28. Центр тяжести прямоугольника находится на пересечении
1) диаметров;
2) диагоналей;
3) медиан.

29. Линия, вдоль которой движется тело, называется
1) траектория движения;
2) путь;
3) Перемещение.

30. Скорость при равномерном движении определяется как
1) V = S/t;
2)  V = ΔS/Δt ;
3)  V = S′.

31. Угловая скорость при вращательном движении равна
1) ω =ϕ′;
2) ε =ω′;
3) V = ωR;

32. Движение точки относительно неподвижной системы координат называется
1) сложное движение точки;
2) простейшее движением точки;

3) вращательное движение.

33. Если вектор силы перпендикулярен оси, то проекция силы на ось равна
1) самой силе;
2) нулю;
3) произведению силы на косинус угла между линией действия силы и осью.

34. Произведение модуля одной из сил, составляющих пару, на ее плечо называется
1) моментом пары;
2) равнодействующей силой;
3) моментом силы относительно точки.