Богаевская Галина Николаевна

Математика

МАТЕМАТИКА, Mathematĭca, τὰ μαθηματικά или μαθήματα, означает в известном смысле все вообще научные познания, в специальном же смысле такие, в которых форма науки впервые высказалась с наивозможною точностью, а именно математику. Первоначальное свое развитие и М. получила у греков, благодаря ионическим философам, а еще более благодаря пифагорейцам. Различного рода опыты, задачи и методы были заимствованы, конечно, с Востока, особенно от египтян, но научною обработкою М. обязана грекам. В арифметике особенно прославились Пифагор и после него Архит и Филолай; Пифагор же обогатил геометрию названною по его имени важною теоремою; ею же занимались Анаксагор и Гиппократ Хиосский (450 г. до Р. Х.), особенно последний, который нашел будто бы квадратуру круга (lunula) и старался решить пресловутую и занимавшую затем многих ученых древнего мира «Делосскую проблему» — найти способ к удвоению куба.

Уже Архит рассматривал в своих лекциях стереометрические отношения, именно первую кривую двоякой кривизны, а Платон ввел в геометрию аналитический метод, равно как и учение о конических сечениях и геометрических точках; этим он настолько расширил математическую науку, что его ученики говорили о трансцендентной геометрии в противоположность к низшей геометрии. Вместе с Платоном и Архитом одновременно почти процветали Евдокс Книдский, Аристей, Менэхм (Μέναιχμος) и его брат Дейнострат (Δεινόστρατος), которые развили еще более учение о конических сечениях, а так называемая quadratix Дейнострата, открытая жившим в то же время Гиппием (῾Ιππίας), стремится к решению задачи — разделить угол на три равные части и решить квадратуру круга. Эти подготовительные работы получают у Аристотеля дальнейшее развитие по отношению к объему и содержанию и разнообразному их применению к механике; наконец, благодаря трудам александрийских ученых, М. достигла той научной полноты, которой можно было достигнуть в древности. В частности, систематическая и методическая разработка арифметики удалась Евклиду; эту же часть М. обогатили своими исследованиями Архимед и Эратосфен.

Особенно же прославился вышеупомянутый Евклид в геометрии, где знаменитые «Основы» (στοιχει̃α) доставили ему название «отца геометрии». Кроме него, Архимед, Аполлоний из Перги и живший позднее Диофант были главными математиками древних. Архимед решил квадратуру параболы, нашел отношение между окружностью и диаметром круга, между объемом шара и описанного около него цилиндра, определил содержания сфероид и вообще значительно расширил геометрический анализ. Аполлоний исследовал свойства сечений косого конуса и довел теорию конических сечений до высокой степени совершенства. Труды этих двух математиков обозначают самую блестящую эпоху геометрии у древних. Геометрическим способом решили «Делосскую проблему» Менэхм и Аполлоний, и именно посредством конических сечений, позднее Никомед (может быть, ок. 150 г. до Р. Х.) посредством изобретенной им конхоиды (раковинообразной кривой линии), Диокл (вероятно, в VI в. от Р. Х.) посредством киссоиды (плющеобразной кривой).

Гиппарх, величайший астроном в древности, был основателем необходимой ему для его астрономических исчислений плоской и сферической тригонометрии, дальнейшему развитию которой содействовали Гемин, Феодосий (может быть, ок. 50 г. до Р. Х.) и астроном Менелай (может быть, ок. 100 г. от Р. Х.). Единственное изложение плоской и сферической тригонометрии у древних находим мы в сочинении μαθηματικὴ σύνταξις, принадлежащем великому астроному Клавдию Птолемею (ок. 150 г. от Р. Х.).

Из математиков позднейшего времени в древности следует упомянуть еще двух, Диофонта (между 160 и 360 гг. от Р. Х.), который занимался преимущественно так называемым неопределенным анализом, и Паппа, жившего в конце IV в., который в своем «математическом сборнике» (μαθηματικαὶ συναγωγαί), собрал важнейшие открытия прежних математиков. Механикой долгое время занимались только практически, пока Архимед после различных напрасных опытов других ученых не установил для нее твердых теоретических оснований; посредством законов простых машин (рычага, блока и т.д.) и центра тяжести он положил начало механике твердых тел, а изложением своей гидростатической теории основал механику жидкостей. Из других ученых следует в особенности упомянуть Герона Александрийского (ок. 250 г. до Р. Х.), который, между прочим, изобрел названные по его имени приборы: Геронов фонтан, Геронов шар, эолипилу. Не только в Александрии, но и на острове Родосе, в Пергаме и особенно в Сиракузах процветала механика в практическом применении. Меньше знаем мы об успехах в оптике, т.к. сочинения, касающиеся ее, частью сомнительны, частью утрачены. Акустика была сперва указана Пифагором, позднее ею занимался Аристотель. У римлян М. не развивалась: эмпирический навык при разделении земель и при означении места для лагеря казался для них достаточным. Некоторые сведения по этой отрасли мы имеем в сочинении Гигина; кроме того, Варрон, Витрувий и Юлий Фронтин также известны как писатели по этой части.

Алгебра

Алгебра.

Общие сведения

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А., отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. А. возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.

Задачи решения и исследования уравнений оказали большое влияние на развитие первоначального арифметического понятия числа. С введением в науку отрицательных, иррациональных, комплексных чисел общее исследование свойств этих различных числовых систем тоже отошло к А. При этом в А. сформировались характерные для неё буквенные обозначения, позволившие записать свойства действий над числами в сжатой форме, удобной для построения исчисления над буквенными выражениями. Буквенное исчисление тождественных преобразований, давшее возможность преобразовывать по определённым правилам (отражающим свойства действий) буквенную запись результата действий, составляет аппарат классической А. Тем самым А. отграничилась от арифметики: А. изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях (см. Чисел теория) — более тонкими индивидуальными свойствами чисел. Развитие А., её методов и символики оказало очень большое влияние на развитие более новых областей математики, подготовив, в частности, появление анализа математического. Запись простейших основных понятий анализа, таких, как переменная величина, функция, невозможна без буквенной символики, а в анализе, в частности в дифференциальном и интегральном исчислениях, полностью пользуются аппаратом классической А. Применение аппарата классической А. возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться при этом и не над числами, а над объектами самой различной природы. Наиболее известным примером такого расширенного применения алгебраических методов является векторная А. (см. Векторное исчисление). Векторы можно складывать, умножать на числа и множить друг на друга двумя различными способами. Свойства этих операций над векторами во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел, но в некоторых отношениях отличны. Например, векторное произведение двух векторов А и В не коммутативно, т. е. вектор С = [А,В]может не равняться вектору D = [В,А],наоборот, в векторном исчислении действует правило: [А,В] = — [В,А].

Следом за векторной А. возникла А. тензоров (см. Тензорное исчисление), ставших одним из основных вспомогательных средств современной физики. В пределах самой классической А. возникла А. матриц, а также многие другие алгебраические системы.

Таким образом, А. в более широком, современном понимании может быть определена как наука о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением и умножением чисел. Такие операции называются алгебраическими. А. классифицирует системы с заданными на них алгебраическими операциями по их свойствам и изучает различные задачи, естественно возникающие в этих системах, включая и задачу решения и исследования уравнений, которая в новых системах объектов получает новый смысл (решением уравнения может быть вектор, матрица, оператор и т. д.). Этот новый взгляд на А., вполне оформившийся лишь в 20 в., способствовал дальнейшему расширению области применения алгебраических методов, в том числе и за пределами математики, в частности в физике. Вместе с тем он укрепил связи А. с др. отделами математики и усилил влияние А. на их дальнейшее развитие.

Исторический очерк

Начальное развитие. Алгебре предшествовала арифметика, как собрание постепенно накопленных практических правил для решения повседневных житейских задач. Эти правила арифметики сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел, вначале только целых, а затем — постепенно и в очень медленном развитии — и дробных, Характерное отличие А. от арифметики заключается в том, что в А. вводится неизвестная величина; действия над ней, диктуемые условиями задачи, приводят к уравнению, из которого уже находится сама неизвестная. Намёк на такую трактовку арифметических задач есть уже в древнеегипетском папирусе Ахмеса (1700—2000 до н. э.), где искомая величина называется словом "куча" и обозначается соответствующим знаком — иероглифом (см. Папирусы математические). Древние египтяне решали и гораздо более сложные задачи (например, на арифметическую и геометрическую прогрессии). Как формулировка задачи, так и решение давались в словесной форме и только в виде конкретных численных примеров. И все же за этими примерами чувствуется наличие накопленных общих методов, если не по форме, то по существу равносильных решению уравнений 1-й и иногда 2-й степеней. Имеются и первые математические знаки (например, особый знак для дробей).

В начале 20 в. были расшифрованы многочисленные математические тексты (клинописи) и другой из древнейших культур — вавилонской (см. Клинописные математические тексты). Это открыло миру высоту математической культуры, существовавшей уже за 4000 лет до наших дней. Вавилоняне с помощью обширных специальных таблиц умели решать разнообразные задачи; некоторые из них равносильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнения 3-й степени. Среди учёных, разрабатывающих историю математики, возник спор о том, в какой мере математику вавилонян можно считать А. Нельзя, однако, забывать, что древняя математика едина. Разделение произошло гораздо позднее.

В Древней Греции была отчётливо выделена геометрия. У древнегреческих геометров впервые сознательно поставлено исследование, каждый шаг которого оправдан логическим доказательством. Мощь этого метода так велика, что и чисто арифметические или алгебраические вопросы переводились на язык геометрии: величины трактовались как длины, произведение двух величин — как площадь прямоугольника и т. д. И в современном математическом языке сохранилось, например, название "квадрат" для произведения величины на самоё себя. Характерное для более древних культур единство научных знаний и практических приложений было в древнегреческой математике разорвано: геометрию считали логической дисциплиной, необходимой школой для философского ума, а всякого рода исчисления, т. е. вопросы арифметики и А., идеалистическая философия Платона не считала достойным предметом науки. Несомненно, эти отрасли также продолжали развиваться (на основе вавилонских и египетских традиций), но до нашего времени дошёл только трактат Диофанта Александрийского "Арифметика" (вероятно, 3 в.), в котором он уже довольно свободно оперирует с уравнениями 1-й и 2-й степеней; в зачаточной форме у него можно найти и употребление отрицательных чисел.

Наследие древнегреческой науки восприняли учёные средневекового Востока — Средней Азии, Месопотамии, Северной Африки. Международным научным языком служил для них арабский язык (подобно тому как для учёных средневекового Запада таким языком был латинский), поэтому этот период в истории математики иногда называют "арабским". В действительности же одним из крупнейших научных центров этого времени (9—15 вв.) была Средняя Азия. Среди многих примеров достаточно назвать деятельность узбекского математика и астронома 9 в., уроженца Хорезма Мухаммеда аль-Хорезми и великого учёного-энциклопедиста Бируни, создание в 15 в. обсерватории Улугбека в Самарканде, Учёные средневекового Востока передали Европе математику греков и индийцев в оригинальной переработке, причём особенно много они занимались именно А. Само слово "алгебра" — арабское (аль-джебр) и является началом названия одного из сочинений Хорезми (аль-джебр означало один из приёмов преобразования уравнений). Со времени Хорезми А. можно рассматривать как отдельную отрасль математики.

Математики средневекового Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс А. стал возможным только после появления во всеобщем употреблении удобных символов для обозначения действий (см. Знаки математические). Этот процесс шёл медленно и зигзагами, Выше упоминалось о знаке дроби у древних египтян. У Диофанта буква i (начало слова isos, т. е. равный) применялась как знак равенства, были подобные сокращения и у индийцев (5—7 вв.), но затем эта зарождавшаяся символика снова терялась. Дальнейшее развитие А. принадлежит итальянцам, перенявшим в 12 в. математику средневекового Востока. Леонардо Пизанский (13 в.) — наиболее выдающийся математик этой эпохи, занимавшийся алгебраическими проблемами. Постепенно алгебраические методы проникают в вычислительную практику, в первое время ожесточённо конкурируя с арифметическими. Приспособляясь к практике, итальянские учёные вновь переходят к удобным сокращениям, например вместо слов "плюс" и "минус" стали употреблять латинские буквы p и t с особой чёрточкой сверху. В конце 15 в. в математических сочинениях появляются принятые теперь знаки + и —, причём есть указания, что эти знаки задолго до этого употреблялись в торговой практике для обозначения избытка и недостатка в весе.

Быстро следует введение и всеобщее признание остальных знаков (степени, корня, скобок и т. д.). К середине 17 в. полностью сложился аппарат символов современной А. — употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этой реформы, окончательно закрепленной Ф. Виетом (конец 16 в.), в А. и арифметике как бы нет общих правил и доказательств; рассматриваются исключительно численные примеры. Почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники этого времени очень трудны, т. к. дают десятки частных правил вместо одного общего, Виет первый начал писать свои задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными А, Е, I, ..., а известные — согласными В, С, D, .... Эти буквы он соединяет введёнными уже в то время знаками математических операций. Т. о. впервые возникают буквально формулы, столь характерные для современной А. Начиная с Р. Декарта (17 в.) для неизвестных употребляют преимущественно последние буквы алфавита (х, у, z).

Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими какие угодно конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого орудия — языка формул — были бы немыслимы блестящее развитие высшей математики начиная с 17 в., создание математического анализа, математического выражения законов механики и физики и т. д.

Содержание А. охватывало во время Диофанта уравнения 1-й и 2-й степеней. К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) древнегреческие математики пришли, по-видимому, геометрическим путём, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно, возникают при определении площадей и построении окружности по различным данным. Однако в одном, очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени (с точки зрения древних)не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэффициентов). Решающий шаг — применение отрицательных чисел — был сделан индийскими математиками (10 в.), но ученые средневекового Востока не пошли по этому пути. С отрицательными числами свыклись постепенно; этому особенно способствовали коммерческие вычисления, в которых отрицательные числа имеют наглядный смысл убытка, расхода, недостатка и т. д. Окончательно же отрицательные числа были приняты только в 17 в., после того как Декарт воспользовался их наглядным геометрическим представлением для построения аналитической геометрии.

Возникновение аналитической геометрии было вместе с тем и торжеством А. Если раньше, у древних греков, чисто алгебраические задачи облекались в геометрическую форму, то теперь, наоборот, алгебраические средства выражения оказались уже настолько удобными и наглядными, что геометрические задачи переводились на язык алгебраических формул. Подробнее о постепенном расширении области чисел, употребляемых в математике, о введении отрицательных, иррациональных, мнимых чисел см. в ст. Число. Здесь же надо отметить, что необходимость введения всех этих чисел особенно настоятельно ощущалась как раз в А.: так, например, квадратные иррациональности (корни) возникают при решении уравнений 2-й степени. Конечно, уже древнегреческие и среднеазиатские математики не могли пройти мимо извлечения корней и придумали остроумные способы приближенного вычисления их; но взгляд на иррациональность как на число установился значительно позже. Введение же комплексных или "мнимых" чисел относится к следующей эпохе (18 в.).

Итак, если оставить в стороне мнимые числа, то к 18 в. А. сложилась приблизительно в том объёме, который до наших дней преподаётся в средней школе. Эта А. охватывает действия сложения и умножения, с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень (частный случай умножения) и обратное ему — извлечение корня. Эти действия производились над числами или буквами, которые могли обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. Указанные действия употреблялись в решении задач, по существу сводившихся к уравнениям 1-й и 2-й степеней. Теперь А. в этом объёме владеет каждый образованный человек. Эта "элементарная" А. применяется повседневно в технике, физике и др. областях науки и практики. Но содержание науки А. и её приложений этим далеко не ограничивается. Трудны и медленны были только первые шаги. С 16 в. и особенно с 18 в. начинается быстрое развитие А., а в 20 в. она переживает новый расцвет.

На русском языке изложение элементарной А. в том виде, как она сложилась к началу 18 в., было впервые дано в знаменитой "Арифметике" Л. Ф. Магницкого, вышедшей в 1703.

Алгебра в 18—19 вв. В конце 17 — начале 18 вв. произошёл величайший перелом в истории математики и естествознания: был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления). Этот перелом был вызван развитием производительных сил, потребностями техники и естествознания того времени и подготовлен он был всем предшествующим развитием А. В частности, буквенные обозначения и действия над ними ещё в 16—17 вв. способствовали зарождению взгляда на математические величины как на переменные, что так характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой — её функции.

А. и анализ развивались в 17—18 вв. в тесной связи. В А. проникали функциональные представления, в этом направлении её обогатил И. Ньютон. С другой стороны, А. принесла анализу свой богатый набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в А. этого периода было появление курса алгебры Л. Эйлера, работавшего тогда в Петербургской академии наук. Этот курс вышел сначала на русском языке (1768—69), а затем неоднократно издавался на иностранных языках. Отличие А. от анализа в 18—19 вв. характеризуется тем, что А. имеет своим основным предметом прерывное, конечное. Эту особенность А. подчеркнул в 1-й половине 19 в. Н. И. Лобачевский, назвавший свою книгу "Алгебра, или Вычисление конечных" (1834). А. занимается основными операциями (сложение и умножение), производимыми конечное число раз.

Простейшим результатом умножения является одночлен, например 5a3bx2y. Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) называется многочленом. Если обратить внимание на одну из входящих в многочлен букв, например x, то можно придать ему вид: a0xn + a1xn-1 + ... + an, где коэффициенты ao, a1, ....,an уже не зависят от х. Это — многочлен n-й степени (другое наименование — полином, целая рациональная функция). А. 18—19 вв. и есть прежде всего А. многочленов.

Объём А., т. о., оказывается значительно уже, чем объём анализа, но зато простейшие операции и объекты, составляющие предмет А., изучаются с большей глубиной и подробностью; и именно потому, что они простейшие, их изучение имеет фундаментальное значение для математики в целом. Вместе с тем А. и анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Так, например, анализ перенял от А. её символику, без которой он не мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики проходит тенденция сводить изучение более сложных функций к многочленам или рядам многочленов: простейший пример — Тейлора ряд. С другой стороны, А. нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов стало господствующим в А. последнего времени, но уже в новом, специфическом виде (см. ниже — Современное состояние алгебры).

Если приравнять многочлен нулю (или вообще какому-либо определённому числу), мы получим алгебраическое уравнение. Исторически первой задачей А. было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней — тех значений неизвестной величины х, при которых многочлен равен нулю. С древних времён известно решение квадратного уравнения х2 + px + q =0 в виде формулы:



Алгебраическое решение уравнения 3-й и 4-й степеней было найдено в 16 в. Для уравнения вида x3+ px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) оно даётся формулой:



Эта формула называется формулой Кардано, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардано или же заимствована им у других математиков, нельзя считать вполне решенным. Метод решения алгебраических уравнений 4-й степени указал Л. Феррари. После этого начались настойчивые поиски формул, которые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом, т. с. сводили бы решение к извлечениям корней ("решение в радикалах"). Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в начале 19 в. Н. Абель и Э. Галуа доказали, что уравнения степеней выше 4-й в общем случае в радикалах не решаются: оказалось, что существуют неразрешимые в радикалах уравнения n-й степени для любого n, большего или равного 5. Таково, например, уравнение x5 - 4x - 2 = 0. Это открытие имело большое значение, т. к. оказалось, что корни алгебраических уравнений — предмет гораздо более сложный, чем радикалы. Галуа не ограничился этим, так сказать, отрицательным результатом, а положил начало более глубокой теории уравнений, связав с каждым уравнением группу подстановок его корней. Решение уравнения в радикалах равносильно сведению первоначального уравнения к цепи уравнений вида: ym = а, которое и выражает собой, что



Сведение к таким уравнениям оказалось в общем случае невозможным, но возник вопрос: к цепи каких более простых уравнений можно свести решение уравнения заданного? Например, через корни каких уравнений корни заданного уравнения выражаются рационально, т. е. при помощи четырёх действий — сложения, вычитания, умножения и деления. В таком более широком понимании Галуа теория продолжает развиваться вплоть до нашего времени.

С чисто практической стороны для вычисления корней уравнения по заданным коэффициентам не было особой необходимости в общих формулах решения для уравнений высших степеней, т. к. уже для уравнений 3-й и 4-й степеней такие формулы практически мало полезны. Численное решение уравнений пошло иным путём, путём приближённого вычисления, тем более уместным, что на практике (например, в астрономии и технике) и сами коэффициенты обычно являются результатом измерений, т. е. известны лишь приближённо, с той или иной точностью.

Приближённое вычисление корней алгебраических уравнений является важной задачей вычислительной математики, и к настоящему времени разработано огромное число приёмов её решения, в частности с использованием современной вычислительной техники. Но математика состоит не только из описания способов вычисления. Не менее важна — даже для приложений — другая сторона математики: уметь чисто теоретическим путём, без вычислений, дать ответ на поставленные вопросы. В области теории алгебраических уравнений таким является вопрос о числе корней и их характере. Ответ зависит от того, какие числа мы рассматриваем. Если допустить положительные и отрицательные числа, то уравнение 1-й степени всегда имеет решение и притом только одно. Но уже квадратное уравнение может и не иметь решений среди т. н. действительных чисел; например, уравнение x2+ 2 = 0 не может быть удовлетворено ни при каком положительном или отрицательном х, т. к. слева всегда окажется положительное число, а не нуль. Представление решения в виде



не имеет смысла, пока не будет разъяснено, что такое квадратный корень из отрицательного числа. Именно такого рода задачи и натолкнули математиков на т. н. мнимые числа. Ещё раньше отдельные смелые исследователи ими пользовались, но окончательно они были введены в науку только в 19 в. Эти числа оказались важнейшим орудием не только в А., но и почти во всех разделах математики и её приложений. По мере того как привыкали к мнимым числам, они теряли всякую таинственность и "мнимость", почему теперь их и называют чаще всего не мнимыми, а комплексными числами.

Если допускать и комплексные числа, то оказывается, что любое уравнение n-й степени имеет корни, причём это верно и для уравнений с любыми комплексными коэффициентами. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы А., была впервые высказана в 17 в. французским математиком А. Жираром, но первое строгое доказательство её было дано в самом конце 18 в. К. Гауссом, с тех пор были опубликованы десятки различных доказательств. Все эти доказательства должны были, в той или иной форме, прибегнуть к непрерывности; т. о., доказательство основной теоремы А. само выходило за пределы А., демонстрируя лишний раз неразрывность математической науки в целом.

Если xi — один из корней алгебраического уравнения

a0xn + a1xn-1 + ... + an = 0,

то легко доказать, что многочлен, стоящий в левой части уравнения, делится без остатка на х — xi. Из основной теоремы А. легко выводится, что всякий многочлен n-й степени распадается на n таких множителей 1-й степени, т. е. тождественно:

a0xn + a1xn-1 + ... +an = a0(x-x1)(x-x2) ... (x-xn),

причём многочлен допускает лишь одно единственное разложение на множители такого вида.

Таким образом, уравнение n-йстепени имеет n "корней". В частных случаях может оказаться, что некоторые из множителей равны, т. е. некоторые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число различных корней может быть и меньше n. Часто не так важно вычислить корни, как разобраться в том, каков характер этих корней. Как пример приведём найденное еще Декартом "правило знаков": уравнение имеет не больше положительных корней, чем число перемен знака в ряду его коэффициентов (а если меньше, то на чётное число). Например, в рассмотренном выше уравнении x5 - 4x - 2 = 0 одна перемена знака (первый коэффициент — положительный, остальные — отрицательные). Значит, не решая уравнения, можно утверждать, что оно имеет один и только один положительный корень. Общий вопрос о числе действительных корней в заданных пределах решается Штурма правилом. Очень важно, что y уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем а + bi корнем того же уравнения всегда будет и a - bi. Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движение устойчиво, если некоторое алгебраическое уравнение имеет только такие корни (хотя бы и комплексные), у которых действительная часть отрицательна, и это заставило искать условия, при которых корни уравнения обладают этим свойством (см. Рауса — Гурвица проблема).

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с n неизвестными:

a11x1+...+a1nxn = b1,

a21x1+...+a2nxn = b2,

...............................

am1x1+...+amnxn = bm.

Здесь x1..., xn — неизвестные, а коэффициенты записаны так, что значки при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем уравнений 1-й степени определяется не только тем, что они — простейшие. На практике (например, для отыскания поправок в астрономических вычислениях, при оценке погрешности в приближённых вычислениях н т. д.) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов aik и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить т. н. определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, т. к. обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений и теория матриц в настоящее время стали частями важной отрасли науки — линейной алгебры.

(По материалам статьи А.Г. Куроша и О. Ю. Шмидта из 2-го изд. БСЭ).

Современное состояние алгебры

Сфера приложений математики расширяется с течением времени, и темп этого расширения возрастает. Если в 18 в. математика стала основой механики и астрономии, то уже в 19 в. она стала необходимой для различных областей физики, а ныне математические методы проникают даже в такие, казалось бы далекие от математики области знания, как биология, лингвистика, социология и т.д. Каждая новая область приложений влечёт создание новых глав внутри самой математики. Эта тенденция привела к возникновению значительного числа отдельных математических дисциплин, различающихся по областям исследования (теория функций комплексного переменного, теория вероятностей, теория уравнений математической физики и т. д.; более новые — теория информации, теория автоматического управления и т. д.). Несмотря на такую дифференциацию, математика остаётся единой наукой. Это единство сохраняется благодаря развитию и совершенствованию ряда общих, объединяющих идей и точек зрения. Тенденция к объединению лежит в существе математики как науки, пользующейся методом абстракции и, кроме того, часто стимулируется тем, что при исследовании задач, возникающих в различных областях знания, приходится пользоваться одним и тем же математическим аппаратом,

Современная А., понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Эту роль А. разделяет с топологией, в которой изучаются наиболее общие свойства непрерывных протяжённостей. А. и топология оказались, несмотря на различие объектов исследования, настолько связанными, что между ними трудно провести чёткую границу. Для современной А. характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Попытаемся объяснить на простом примере, как это происходит. Всем известна формула (a+ b)2= а2 + 2аЬ + b2. Её выводом является цепочка равенств: (а + b)2= (a + b)(а + b) = (a + b)a + (а + b) b = (a2 + ba) + (ab + b2) = a2 + (ba+ab)+ b2 = a2 + 2ab + b2. Для обоснования мы дважды пользуемся законом дистрибутивности:. с(а + b) = ca + cb (роль с играет а + b) и (a + b) с = ac + bc (роль с играют а и b), закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец используется закон коммутативности: ba = ab. Что представляют собой объекты, закодированные буквами а и b, остаётся безразличным; важно, чтобы они принадлежали системе объектов, в которой определены две операции — сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Поэтому формула останется верной, если а и b обозначают векторы на плоскости или в пространстве, сложение принимается сперва как векторное сложение, потом как сложение чисел, умножение — как скалярное умножение векторов. Вместо а и b можно подставить коммутирующие матрицы (т. е. такие, что ab = ba, что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и т. д.

Свойства операций над математическими объектами в разных ситуациях иногда оказываются совершенно различными, иногда одинаковыми, несмотря на различие объектов. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, мы приходим к понятию множества, наделённого алгебраической структурой, или алгебраической системы. Потребности развития науки вызвали к жизни целый ряд содержательных алгебраических систем: группы, линейные пространства, поля, кольца и т.д. Предметом современной А. в основном является исследование сложившихся алгебраических систем, а также исследование свойств алгебраических систем вообще, на основе ещё более общих понятий (Q-алгебры, модели). Кроме этого направления, носящего название общей А., изучаются применения алгебраических методов к др. разделам математики за её пределами (топология, функциональный анализ, теория чисел, алгебраическая геометрия, вычислительная математика, теоретическая физика, кристаллография и т. д.).

Наиболее важными алгебраическими системами с одной операцией являются группы. Операция в группе ассоциативна [т. е. верно (a * b) * с = а * (b * с) при любых а, b, с из группы; звёздочкой * обозначена операция, которая в разных ситуациях может иметь разные названия] и однозначно обратима, т.е. для любых а и b из группы найдутся единственные х, у, такие, что а * х =b, у * а = b. Примерами групп могут служить: совокупность всех целых чисел относительно сложения, совокупность всех рациональных (целых и дробных) положительных чисел относительно умножения. В этих примерах операция (сложение в первом, умножение во втором) перестановочна. Такие группы называют абелевыми. Совокупности движений, совмещающих данную фигуру или тело с собой, образуют группу, если в качестве операции взять последовательное осуществление двух движений. Такие группы (группы симметрии фигуры) могут быть неабелевыми. Движения, совмещающие с собой атомную решётку кристалла, образуют т. н. федоровские группы, играющие основную роль в кристаллографии и через нее в физике твёрдого тела. Группы могут быть конечными (группы симметрии куба) и бесконечными (группы целых чисел по сложению), дискретными (тот же пример) и непрерывными (группа вращений сферы). Теория групп стала разветвленной, б&

О себе

Люблю решать задачи по математике

Мой взгляд на мир

1234

Моё портфолио

К публикации принимаются статьи,
ранее не издававшиеся и/или не принятые в другие издания.

Статью должны подписать все авторы. При публикации материалов многоцентровых исследований обязательно нужно указать фамилию, имя, отчество автора, с которым редакция будет вести переписку, его адрес электронной почты, телефон и факс. Направляя статью, автор соглашается с тем, что авторские права на нее переходят к издателю, в случае если она принимается к публикации, после получения положительной рецензии.

Авторские права включают эксклюзивные права на копирование, распространение (включая репринты, фотографии, микроформы или любые другие формы воспроизведения подобного характера), а также перевод статьи.

Присланные в редакцию статьи проходят анонимное рецензирование. Редакция оставляет за собой право выбора рецензента. Оригинальные статьи могут сопровождаются комментариями членов редколлегии, редакционного совета или авторитетных специалистов в данной области.
Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов публикуемых материалов.
При перепечатке ссылка на журнал обязательна.
Ответственность за достоверность рекламных публикаций несут рекламодатели.
Все статьи рецензируются
Требования к авторам:

К публикации принимаются:
Оригинальные стати, озоры литературы, дискуссии, краткие сообщения.

Статья сопровождается направлением учреждения, в котором выполненна работа.

Статью визирует руководитель учреждения и подписывают все авторы, указывая фамилию, имя, отчество, должность, научное звание, ученую степень, адрес (домашний и служебный), номера телефонов (домашнего и служебного), адрес электронной почты.

Статью присылать в двух экземплярах, объем ее – 7–8 с., коротких сообщений – 1–3 с. Текст печатать с одной стороны стандартного листа (формата А4 297  210 мм) 29–30 строк на странице и на электронных носителях (IBM совместимые РС) в форматах *.doc, *.rtf для Winword без OLE–объектов.
Оригинальная статья должна содержать следующие разделы:

реферат (объемом не более 150 слов для неструктурированного резюме и не более 250 слов для структурированного); ключевые слова; вступление, материалы и методы, результаты, обсуждение, выводы, список литературы.

Введение.
Ясно и подробно опишите, каким образом отбирались больные или лабораторные животные для наблюдений и экспериментов (в том числе и в контрольные группы); укажите их возраст, пол и другие важные характеристики. Опишите методы, аппаратуру (в скобках укажите ее производителя и его адрес - страну или город) и все процедуры в деталях, достаточных для того, чтобы другие исследователи могли воспроизвести результаты исследования. Приведите ссылки на общепринятые методы, включая статистические; дайте ссылки и краткое описание уже опубликованных, но еще недостаточно известных методов; опишите новые и существенно модифицированные методы, обоснуйте их использование и оцените их ограничения. Точно укажите все использованные лекарственные препараты и химические вещества, включая их международные названия, дозы и пути введения. Сообщения о проведении рандомизированных контролируемых исследований должны содержать информацию обо всех основных элементах исследования, включая протокол (изучаемая популяция, способы лечения или воздействия, исходы и обоснование статистического анализа), назначение лечения (методы рандомизации, способы сокрытия формирования групп лечения) и методы маскировки (обеспечения "слепого" контроля).
При описании структуры исследования и статистических методов ссылки должны приводиться по возможности на известные руководства учебники, и на статьи, в которых впервые встречается их описание. Укажите, какие компьютерные программы, доступные для широкого пользователя, применялись в Вашей работе.

Материалы и методы.

Результаты.
Представляйте свои результаты в тексте, таблицах и на рисунках в логической последовательности. Не повторяйте в тексте все данные из таблиц или рисунков; выделяйте или суммируйте только важные наблюдения.

Обсуждение.

Заключение.

Список литературы.
Оригинальная статья не должна содержать более 3000 слов, 4-8 рисунков и таблиц. Список литературы не должен содержать более 10 ссылок.

Краткое сообщение - небольшое оригинальное исследование или интересный случай из практики. Материал должен содержать не более 1500 слов, одну или две иллюстрации или таблицы и не более 5 ссылок.

Письма к редактору должны содержать комментарии и замечания по поводу ранее опубликованных материалов или содержать интересные исследования. Письмо не должно содержать более 500 слов, одной иллюстрации или таблицы и пяти ссылок.

Обзорные статьи. Просим Вас проконсультироваться с редактором перед тем, как направить статью. Обзор должен содержать не более 4000 слов, а список литературы - не более 45 ссылок. Авторы, представляющие обзоры литературы, должны включить в них раздел с описанием методов, используемых для поиска, отбора, получения информации и обобщения данных. Эти методы также должны быть приведены в резюме.
Технические требования

Печатайте все части рукописи через 2 интервала. Начинайте каждый раздел рукописи с новой страницы. Представляйте материалы в следующем порядке: титульная страница, резюме и ключевые слова, текст, выражения признательности, список литературы, таблицы (каждая на отдельной странице), подписи к рисункам. Рукопись должна содержать разрешение на воспроизведение ранее опубликованного материала и на использование иллюстраций, позволяющих опознать изображенных на них людей.

Титульная страница должна содержать:

Название статьи.

Фамилию и инициалы каждого автора с указанием высшей из имеющихся у него ученых степеней (званий).

Название отдела (отделения) и учреждения, в котором выполнялась данная работа.

Отказ от каких-либо прав, если таковые имеются.

Фамилию и адрес, контактный телефон, факс и адрес электронной почты автора, ответственного за ведение переписки, связанной со статьей.

Резюме и ключевые слова
Вторая страница должна содержать резюме. В резюме должны быть изложены цели исследования, основные процедуры (отбор объектов изучения или лабораторных животных, методы наблюдения или аналитические методы), основные результаты (по возможности конкретные данные и их статистическая значимость) и основные выводы. В нем должны быть выделены новые и важные аспекты исследования или наблюдений.

Под резюме помещается подзаголовок "Ключевые слова", а после него - от 3 до 10 ключевых слов или коротких фраз, которые будут способствовать правильному перекрестному индексированию статьи и могут быть опубликованы вместе с резюме.

Все обозначения мер, единицы физических величин, результаты клинических и лабораторных исследований следует приводить в соответствии с Международной системой единиц (СИ), термины – с Международной анатомической номенклатурой, названия болезней — с Международной классификацией болезней.

Иллюстрации к статье присылать в 2 экземплярах размерами 13  18 или 9  12 см, на обороте каждой иллюстрации указывать номер, фамилию авторов и отметки «верх», «низ», или на электронных носителях (IBM совместимые РС) в форматах *.tif, *.eps (не менее 300 dpi). Обозначение проставлять только на одном экземпляре. Фотографии должны быть контрастными, на тонкой глянцевой бумаге, рисунки – четкими, чертежи и диаграммы – выполнены тушью (диаграммы могут быть посланы на дискете в формате MS Graph for Office 97, 2000, XP). Ксерокопии рисунков не принимаются.

Во время редактирования статьи редакция сохраняет за собой право изменять стиль, но не содержание работы.

Статьи, оформленные без соблюдения приведенных правил, редакция не регистрирует. Отказ в публикации может не сопровождаться разъяснением его причин и не может считаться негативным выводом относительно научной и практической ценности работы. Не одобренные к печати статьи не возвращаются. В случае изменений, которые возникли после регистрации работы, необходимо известить редакцию отдельным письмом, подписанным всеми авторами.