2024 Научно – исследовательская работа по математике «История и применение теоремы Пифагора»

Научно-исследовательская работа

История и применение "Теоремы Пифагора"

                                                                    Выполнила:

                                   Ларионова Анастасия Максимовна,

                                 учащаяся  9  класса

МБОУ «СОШ №20», г. Ангарск ,

Иркутская область, Россия

Руководитель проекта:

                                                  Варенко Оксана Валентиновна,

учитель математики

МБОУ «СОШ №20», г. Ангарск ,

Иркутская область, Россия

Содержание:

1. ВВЕДЕНИЕ

        В нынешнем учебном году , при изучении предмета- геометрии, на уроках ученики нашего класса изучили одну из теорем, известной, как мы узнали на уроках, с очень древних времён и сформулированная очень давно: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».

         Очень часто, и открытие и сама формулировка этой теоремы приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э.). Но при изучении рукописей, написанных задолго до него, показало всем любителям математики, что это утверждение было узнаваемо задолго до того как родился сам Пифагор.

Я очень заинтересовались, почему же, эту теорему, в таком случае, все жители ставят в один ряд с именем Пифагора.

Актуальность: по мнению ученого-математика Иоганна Кеплера, «геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Сама теорема Пифагора – это, по моему мнению, одна из самых главных теорем в изучаемом , в школе, курсе геометрии. Её огромное значение в том, что из данной теоремы можно вывести большое количество других теорем в геометрии.

Американский математик, который более 20 лет искал и коллекционировал разные способы доказательства этой теоремы, имеет в своем арсенале более 300 самых разных доказательств. Это мнение подчеркивает то, что древнейшая  теорема очень актуальна и интересна всем людям на земле до сих пор.

Новизна: в школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора можно  решить только математические задачи. Но всегда перед нами возникает и ставится  вопрос о практическом применении теоремы Пифагора, не только в математике, но и в других смежных дисциплинах.

2.        Цели и задачи

Целью моего исследования было: узнать, кто же такой Пифагор- не только как великий математик , но и как человек; а также  какое же  отношение он имеет к этой формулировке и доказательству теоремы; очень интересно узнать  где и как применяется эта теорема в современной а также и повседневной жизни.

       Инструментами нашего исследования являются следующие аспекты:

а) объект исследования – теорема Пифагора;

б) субъект исследования – геометрическое пространство;

в) предмет исследования – применение теоремы Пифагора.

          Очень много времени прошло с тех пор, как Пифагор сделал своё величайшее открытие. Оно не кануло в Лету - теорему Пифагора люди использовали и в древности, и в средневековье, и продолжают использовать и в наше современное время.

В данном исследовании я хочу попытаться  объединить и систематизировать самые разные стороны применения теоремы Пифагора. Кроме того, я хочу рассмотреть личность самого  Пифагора; а также обратить свое  внимание на различные доказательства этой теоремы и решения множества задач по её практическому применению в различных сферах современной жизни.

Цель  моего проекта : это доказать, что «простота, красота и универсальность» теоремы Пифагора позволяет использовать её в различных сферах науки и жизни , в сегодняшнее время.

Задачи:

· рассмотреть имеющиеся гипотезы и доказательства теоремы Пифагора;

- изучить также исторические данные о Пифагоре и о его теореме;

· показать способы доказательства теоремы Пифагора (например, одно из доказательств «Пифагоровы штаны во все стороны равны»);

· выяснить области применения теоремы Пифагора и собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора в различных источниках и определить области применения теоремы;

-показать применение теоремы при решении геометрических задач.

Методика исследования:

Изучение теоретического материала.

Изучение методик исследования.

Практическое применение исследования.

Коммуникативный (метод измерения, анкетирование).

      Я представляю результат своей работы над данным проектом в виде электронной презентации. Практическое применение моей работы – это использование проекта для элективных курсов, профильной подготовки к экзаменам в 9-11 классах, а также на факультативных занятиях.

3. Из биографии Пифагора.

     Мы изучали, что Пифагор Самосский – один из величайших греческих учёных- математиков. Его имя знакомо , я уверена, не только школьнику, но и старшему поколению-родителям. Если мы попросим назвать одного древнего математика, то большинство людей, все таки назовут имя -Пифагора. Его популярность является популярностью самой  теоремы. Многим из нас уже знакомо, что эта теорема была известна и применялась не только в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, но и в Египте за 2000 лет до него. Там был всем знаком прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, но всё же  эту теорему большинство из нас по-старому называем по имени этого учёного.

Про саму жизнь Пифагора почти ничего не известно- достоверно, но с его именем связано некоторое число легенд математики.

        Пифагор родился в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх - резчик по драгоценным камням. Мнесарх был известен среди мастеров своим искусством создавать геммы», но имел славу, а не богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось в летописях .

В молодости Пифагор имел привлекательную внешность, носил длинную бороду, а его голову украшала золотая диадема.  Само имя -Пифагор – это, скорее всего, прозвище, которое философ получил за то, что всегда в разговоре с людьми,  говорил правдиво и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью").

Большому воображению молодого Пифагора было тесно на небольшом Самосее, и он направился в Мелет, где повстречался с другим выдающимся человеком - Фалесом. В 550 году до н.э. Пифагор после раздумий,  отплыл  в Египет. Там перед ним открывается неведомая страна и непознанная им культура. Многое было неизвестно и очень удивительно для  Пифагора в этой новой для него стране, и после многих дней жизни там Пифагор понял, что путь к знаниям, скрываемые кастой жрецов, лежит только через религию.

       Совместно с египетскими мальчиками сел за обучение.  Совсем скоро Пифагор быстро оставил позади своих соучеников. Но школа писцов стала для него только начальной ступенью в пути к знаниям.

После 11 лет обучения в Египте Пифагор решил вернулся домой на родину, но по пути назад попадает в Вавилонский плен. Там он сможет изучить и вавилонскую науку, которая  в то время была более продвинутая, чем египетская. Жители Вавилона умели решать не только линейные уравнения, но уже и решали квадратные и многие другие виды кубических уравнений. Они успешно применяли эти знания ещё за 1000 лет до самого Пифагора. Убежав из плена, он не смог долго остаться на родине из-за жестокости и тирании. И Пифагор к тому времени решается переселиться в Кротон.

      Там в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он создает нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.

4. Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: c2=a2+b2

Доказательство:

       Предлагается рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой. Докажем, что c2=a2+b2

          Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b.Площадь S этого квадрата равна(a+b)2. C другой стороны, этого квадрата составлена из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2ab, и квадрата со (a+b)2 =4(1/2ab)+c2 стороной c, поэтому S=4*1/2ab+c2 =2ab+c2 .

Таким образом, (a+b)2=2ab+c2, откуда a2+b2+2ab= 2ab+c2

Поэтому a2+b2= c2

Теорема доказана.

5. Применение теоремы Пифагора

Изучая геометрию в школе, мы  с использованием теоремы Пифагора можем решать не только математические задачи. Но, вопрос о применении теоремы Пифагора  в нашей практической жизни, мы не рассматриваем. Поэтому, целью моей работы было выяснить основные области применения теоремы Пифагора и его практическое применение. Одним из важнейших условий повышения эффективности производства является большое применение математических методов в технику и народное хозяйство, что сопровождает за собой создание  и применение новых, более прогрессивных методов исследования, которые помогают нам применять и решать многие задачи, которые ставит перед нами практика. В своей работе , я постараюсь рассмотреть примеры практического применения теоремы Пифагора в современном мире.

                6.Области применения теоремы:

1) Широкое применение имеет при решении большого количества геометрических задач. Именно с помощью этой теоремы, можно найти значения квадратных корней из целых чисел:

Для этого нам необходимо построить прямоугольный треугольник АОВ (угол А равен 90°) с катетами равными единице. Тогда гипотенуза этого треугольника будет равна √2. Мы потом сможем вычислить единичный отрезок ВС, который перпендикулярен ОВ, а также  длину гипотенузы ОС=√3 и т.д.

2) Задачи , применяемые на уроках физики в средней школе также  требуют знания теоремы Пифагора.

Это задачи, связанные со сложением скоростей.

Задача №1 из учебника физики 9 класса. Эту задачу можно переформулировать: под каким углом к течению реки должен двигаться катер, осуществляющий перевозку пассажиров между пристанями, чтобы прийти во время на исходную точку ?

Задача №2 : При стрельбе биатлонист стреляя по мишени, всегда корректирует «поправку на ветер». Когда ветер дует от него с права, а спортсмен стреляет по прямой, то пуля обязательно отклониться влево. Для точного  попадания в цель, биатлонист сдвигает прицел вправо на расстояние смещения пули. Для всех спортсменов составлены специальные таблицы.  Биатлонист знает, на какой угол необходимо смещать прицел при известной ему и заданной скорости ветра.

3)        Астрономия – также огромная область для применения теоремы. Это путь для движения светового луча. Какой путь проходит луч? Свет идет туда и обратно одинаковый путь. Чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l

Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Это ведь теорема Пифагора!

4)        Мобильная связь

       Мы все в своей жизни пользуемся сотовыми телефонами? Все мы очень заинтересованы в хорошей и качественной связи. А это качество в первую очередь всегда будет зависеть от высоты антенны мобильного оператора. Для того чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать хорошую и качественную передачу, мы также применяем теорему Пифагора. Какую максимальную высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+ABOB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.

5)Как рассчитать высоту шкафа-купе?

На первый взгляд ничего особенного: снять размеры высоты от пола до потолка в нескольких точках, отнять несколько сантиметров, чтобы шкаф не упирался в потолок. Поступив так, в процессе сборки мебели могут возникнуть трудности. Ведь сборка каркаса мебельщики выполняют, располагая шкаф в горизонтальном положении, а когда каркас собран, поднимают его в вертикальное положение. Рассмотрим боковую стенку шкафа. Высота шкафа должна быть на 10 см меньше расстояния от пола до потолка при условии, что это расстояние не превышает 2500 мм. А глубина шкафа – 700 мм. Почему на 10 см, а не на 5 см или на 7, и причем здесь теорема Пифагора?

Итак: боковая стенка 2500-100=2400(мм)- максимальная высота конструкции.

Боковая стенка в процессе подъема каркаса должна свободно пройти как по высоте, так и по диагонали. По теореме Пифагора

АС= √ АВ2 + ВС2

АС= √ 24002+ 7002 = 2500 (мм)

Что произойдет если высоту шкафа уменьшить на 50 мм?

АС= √ 24502+ 700 2= 2548 (мм)

Диагональ 2548 мм. Значит, шкаф не поставишь (можно испортить потолок).

7)  Решение задач из  ОГЭ  

Задача 1: Катеты прямоугольного треугольника равны 

 и 1. Найдите  синус наименьшего угла этого треугольника.

Решение. Пусть катеты имеют длины a и b, а гипотенуза — длину  Найдём

длину гипотенузы по теореме Пифагора:

Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны,  > 1, следовательно, наименьшая сторона равна 1, и синус наименьшего угла равен:

Ответ: 0,25.

Задача 2:  

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если 

Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол C - прямой. Тогда по теореме Пифагора найдем AC:

Ответ: 5.

Задача 3: От столба к дому натянут провод длиной 17 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рис.). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 15 м.

Решение. Проведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как показано на рисунке. Таким образом, задача сводится к нахождению катета прямоугольного треугольника. Обозначим искомую длину за  По теореме Пифагора:

тогда 

 Ответ: 12.

7.Тестирование

Я провела социологический опрос. В опросе приняли участие группа учеников 9 -11 Опрошены 55 человек

По данному опросу можно сделать вывод о том, что большое количество опрошенных знакомо с именем Пифагора, теоремой Пифагора и знают где можно применить в практической деятельности теорему. Это еще раз говорит об актуальности данной темы.

8.Заключение

           Я занималась поиском и сбором информации – изучала печатный материал, работала с материалом в интернете, обработкой собранных данных.

Моя работа создана, чтобы мы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

         Во-вторых, я хотела помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Я надеюсь, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

В результате исследования я выяснила некоторые области применения теоремы Пифагора. Мной собрано и обработано много материала из литературных источников и интернета по данной теме. Я изучила некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора нашла свое применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи, литературе.

      Изучение и анализ источников информации о теореме Пифагора

показал, что:

а) исключительное внимание о стороны математиков и любителей математики к теореме основано на ее простоте, красоте и значимости;

б) теорема Пифагора на протяжении многих веков служит толчком к интересным и важным математическим открытиям (теорема Ферма, теория относительности Эйнштейна);

в) теорема Пифагора – является воплощением универсального языка математики, справедливого во всем мире;

г) область применения теоремы достаточно обширная и вообще не может быть указана с достаточной полнотой;

д) тайны теоремы Пифагора продолжают волновать человечество и поэтому каждому из нас дают шанс быть причастным к их раскрытию.

9.Выводы

1.С помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи.

2. теорема применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания новых. Я считаю, что за теоремой Пифагора следует великое будущее многих открытий, которыми человечество потрясет весь мир.

3. значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора - фундамент, базис, основа всех математических вычислений, расчетов и многих изобретений. Творческая работа по изучению биографии Пифагора и математического наследия позволила в корне изменить все мои взгляды на этого великого и гениального ученого древности.

Список использованных источников

1. Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»,2002, с.383
2. Волошинов А.В. «Математика и искусство», М. «Просвещение», 2000, с.117-119, с.399
3. Волошинов А.В. «Пифагор», М. «Просвещение», 1993,с.223
4. Литцман В. «Теорема Пифагора»,М. «Государственное издательство физико-математической литературы», 1960, с.114

        5.   Погорелов А.В.«Геометрия 7-11», М.«Просвещение»1992, с.383  

            6.   Руденко В.Н. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»1992,с.383

            7.    http://encyklopedia.narod.ru/bios/nauka/pifagor/pifagor.html

            8.    http://moypifagor.narod.ru/use.htm

            9.    http://ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm