Научно-исследовательская работа по теме: "В чём волшебство магического квадрата?"

Опубликовано Аносова Светлана Ивановна вкл 08.11.2024 - 16:50

Автор:

Мамонтов Александр, ученик 4 "А" класса, МАОУ СОШ № 40 г. Улан-Удэ

"В чём волшебство магического квадрата?" Презентация

Скачать:

Вложение	Размер
"В чём волшебство магического квадрата"	141.78 КБ

Предварительный просмотр:

Введение

Меня зовут Мамонтов Александр. Я учусь в 4 «А» классе МАОУ СОШ № 40 г. Улан-Удэ.

Я люблю математику. Мне нравится решать сложные задачи и узнавать что-то новое в математике. Недавно мне в справочнике попалась интересная тема «Занимательные квадратные таблицы чисел».

Актуальность: Меня заинтересовало понятие «Магический квадрат», и я подумал откуда в математике магия? Ведь математика наука точная и в ней нет места волшебству, но я ошибался.

Предмет моего исследования: магический квадрат.

Цель исследования: выявить, в чём заключается «волшебство» магического квадрата.

Гипотеза исследования: влияет ли магический квадрат на развитие детей.

Объект исследования: сфера применения магических квадратов.

Задачи исследования:

- изучить понятие магических квадратов

- исследовать виды магических квадратов

- проанализировать практическое применение магических квадратов.

Понятие и разновидности магических квадратов

Магический, или волшебный квадрат — квадратная таблица n*n заполненная n2 различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до n2. Примеры магических квадратов.

n=3

2	7	6
9	5	1
4	3	8

n=4

4	15	14	1
9	6	7	12
5	10	11	8
16	3	2	13

Ло Шу Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37):

27	29	2	4	13	36
9	11	20	22	31	18
32	25	7	3	21	23
14	16	34	30	12	5
28	6	15	17	26	19
1	24	33	35	8	10

Сумма всех 36 чисел равна 666

666 : 6 = 111

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Данный квадрат является «Печатью Юпитера» (Sigillum Iouis), имеет параметры: 4, 16, 34, 136 (размер 4х4, 16 ячеек, сумма по направлениям — 34, сумма всех чисел равна 136).

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Магические квадраты Афанасия Кирхера

Квадрат Марса

Квадрат или печать Марса (Sigillum Martis) имеет параметры: 5, 25, 65, 325 (размер 5х5, 25 ячеек, сумма по направлениям — 65, сумма всех чисел равна 325).

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

325 : 5 = 65

Квадрат Солнца

Печать Солнца (Sigillum Solis) имеет параметры: 6, 36, 111, 666 (размер 6х6, 36 ячеек, сумма по направлениям — 111, сумма всех чисел равна 666).

6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

666 : 6 = 111

Квадрат Венеры

Печать Венеры (Sigillum Veneris) имеет параметры: 7, 49, 175, 1225 (размер 7х7, 49 ячеек, сумма по направлениям — 175, сумма всех чисел — 1225).

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

1225 : 7 = 175

Квадрат Меркурия

Печать Меркурия (Sigillum Mercurio) имеет параметры: 8, 64, 260, 2080 (размер 8х8, 64 ячейки, сумма по направлениям — 260, сумма всех чисел — 2080).

8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	57

2080 : 8 = 260

Квадрат Луны

Печать Луны (Sigillum Lune) имеет параметры: 9, 81, 369, 3321 (размер 9х9, 81 ячейка, сумма по направлениям — 369, сумма всех чисел — 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

3321 : 9 = 369

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

67	1	43
13	37	61
31	73	7
3	61	19	37
43	31	5	41
7	11	73	29
67	17	23	13

Есть еще несколько подобных примеров:

1	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	11	787	769	773	419	149	751

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Латинский квадрат

Лати́нский квадра́т — таблица размеров n × n элементов, расположенных на поле квадрата таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый элемент встречается в точности один раз. Примеры:

1	2	3	4	5
2	3	4	5	1
3	4	5	1	2
4	5	1	2	3
5	1	2	3	4

a	b	c	d
b	c	d	a
c	d	a	b
d	a	b	c

Практическое применение магических квадратов

Головоломка судоку является латинским квадратом 9-го порядка. Игровое поле представляет собой квадрат размером 9х9, разделённый на меньшие квадраты со стороной в 3 клетки. Таким образом, всё игровое поле состоит из 81 клетки. В них уже в начале игры стоят некоторые числа (от 1 до 9), называемые подсказками. От игрока требуется заполнить свободные клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом малом квадрате 3×3 каждая цифра встречалась бы только один раз. Сложность судоку зависит от количества изначально заполненных клеток и от методов, которые нужно применять для её решения. Самые простые решаются дедуктивно: всегда есть хотя бы одна клетка, куда подходит только одно число. Некоторые головоломки можно решить за несколько минут, на другие можно потратить часы. Правильно составленная головоломка имеет только одно решение. Тем не менее, на некоторых сайтах в интернете под видом усложнённых головоломок пользователю предлагаются варианты судоку с несколькими вариантами решения, а также с ветвлениями самого хода решения.

17	89	71
113	59	5
47	29	101

Сначала смотрят на ряды, столбцы и блоки 3×3 с наиболее заполненными квадратами: легче решить там, где вариантов меньше. При заполнении ячейки нужно проверить столбец, ряд и блок 3×3. Нужно проверить, что все другие 8 чисел не дублируются. Когда в судоку осталось несколько открытых ячеек в блоке 3×3 и только одна ячейка подходит для данного числа, то именно это число нужно записать в данную ячейку. Перед заполнением следует удостовериться, что вписываемое в ячейку число не будет встречаться в другой ячейке в том же столбце, строке или в блоке 3×3. По такому же принципу заполняются остальные пустые ячейки.

Не стоит думать, что детям будет неинтересно решать судоку. Конечно, сразу предлагать классический вариант с большим полем и цифрами не стоит, но судоку с полем 3*3 или 4*4 и картинками вместо цифр – почему нет?

Можно распечатать поле для судоку и отдельно картинки, тогда задание превратится в своеобразный пазл – с той только разницей, что ребёнку нужно будет подумать, перед тем, как поставить картинку в нужное место.

Выводы:

Подводя итог работы, могу сделать вывод, что цель, которую я ставил, достигнута. Гипотеза, которую я выдвигал в начале моей работы - подтвердилась. Я узнал, в чём заключается "волшебство" магических квадратов. Теперь я могу рекомендовать решать головоломки своим одноклассникам, т. к. развиваются очень важные процессы у детей - логика, внимания, мышления и усидчивость. А при необходимости, используя мои знания полученные в процессе исследования, я могу помочь ребятам.

Заключение

В заключении хочу сказать, что благодаря знакомству с магическими квадратами, узнав правила их составления, познакомившись с латинским квадратом я обнаружил, что это и есть головоломка Судоку. Но всё волшебство заключается не только в том, что в магическом квадрате сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова, но и в том, что головоломка судоку, как разновидность магического квадрата, направлена, в первую очередь на развитее логики, внимания и мышления, а это очень важные процессы в развитии детей. Чтобы правильно поставить цифру или картинку, необходимо проанализировать всё поле судоку, а это совсем не просто, особенно без навыка. При решении судоку развивается внимание и усидчивость. Одной из особенностей этой игры является необходимость сконцентрироваться на задании – без этого неизбежны ошибки.

И, наконец, судоку – одна из немногих логических игр в которой результат можно определить визуально: правильно решенная головоломка приносит не только моральное, но и эстетическое удовлетворение, ощущение «правильности» и упорядоченности.

Такие маленькие победы очень важны для детей и взрослых.

Содержание

Введение

I. Понятие магических квадратов и виды магических квадратов

1. Магический или волшебный квадрат

2. Латинский квадрат

II. Применение магических квадратов

III. Выводы и предложения.

IV. Заключение

Литература

Список литературы

1. Справочник «Альфа и Омега» 1991 г.

2. Энциклопедический словарь юного математика Москва «Педагогика» 1985 г.

3. Информация из интернета. https://ru.wikipedia.org/wiki

Министерство образования и науки РБ

МАОУ «СОШ № 40 г. Улан-Удэ»

Республиканская научно-практическая

конференция учащихся 3 - 4 -х классов

«Первые шаги»

Номинация: «Математика вокруг нас»

Тема: В чем заключается волшебство «Магического квадрата»?

Автор:

Мамонтов Александр

Ученик 4 класса

МАОУ «СОШ № 40 г. Улан-Удэ»

Телефон:

+79148400035

Руководитель:

Аносова Светлана Ивановна

Телефон:

89835323032

Улан-Удэ

2023 г.

Заяц, косач, медведь и весна

Рыжие листья

Яблоко

Просто так

Как нарисовать небо акварелью