Применение возможностей оригами для решения геометрических задач. Исследовательская работа.

МКОУ «Миндерлинская СШ»

Направление точных наук: математика

Применение возможностей оригами для решения

геометрических задач.

Исследовательская работа.

Выполнила:

Бляхирева Анастасия, ученица 7А класса

 Руководитель:

 Окунева Светлана Вячеславовна - учитель математики

2018 г.

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………… 3 -4 стр.

2. История появления оригами……………………………………………… 4-6 стр.

3. Исследовательская работа…………………………..................................... 6-7 стр.

3.1 Применение оригами к доказательству теорем геометрии……………. 7-9 стр.

3.2 Собственное решение задач из учебника «Геометрия 7» ………………10-11стр.

4.Применение оригами в науке и жизни……………………………………...11-12 стр.

5. Заключение…………………………………………………………………..12 стр.

6. Литература……………………………………………………………………13 стр.

Приложение

Введение

Оригами - это иностранное слово. Оригами – древнее искусство складывания бумажных фигурок. Появление оригами тесно связано с изобретением техники изготовления бумаги в Китае, но наибольшее распространение оригами получило в Японии и стало значимой частью культурного наследия этой страны. Постепенно оригами распространилось по всему свету и завоевало популярность во многих странах.

Наверняка каждый человек хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги — это кораблик или самолетик. А в те времена, когда в магазинах не было такого выбора соломенных шляп и панам, люди летом нередко сооружали себе «пилотку» из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу «оригами».

Первый раз я его услышала во 2 классе, а вот фигурки делала еще в детском саду, в возрасте 5-6 лет. Я понятия не имела, как воспитателям удавалось  делать  различные фигуры. Мне казалось, что фигурки рождаются  в руках воспитателей при помощи каких-то магических действий.  Мы просили еще и еще раз показать нам, как происходит чудо, пока  сами не научились превращать бумажный лист в фигурки. Все мы в детском саду складывали  самолеты и кораблики, позже в школе с огромным удовольствием учились складывать хлопушки,  пилотки, шапочки с козырьком, тюльпаны. На этом наше знакомство с оригами, как правило, заканчивалось. В седьмом классе у нас появился предмет – геометрия. Учитель математики предложила ближе познакомиться с оригамным методом. Складыванье самой простой фигуры оригами включает в себя решение простейших геометрических задач на построение, таких, как построение перпендикуляра к данной прямой, построение биссектрисы угла и т.д. Разверните фигурку оригами и посмотрите на складки – вы увидите обилие многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей. Все это меня очень заинтересовало.  Поэтому мне захотелось провести исследовательскую работу об этом интересном увлекательном и полезном искусстве. С помощью оригами есть возможность показать, что математика не сухая наука, а красота и гармония.

Актуальность состоит в том что, оригами не только искусство, хобби, развивающая игра, но и наглядный способ решения многих геометрических задач. Оригами увлекались как в древности, так увлекаются и до сих пор, она интересна и занимательна. Кроме эстетического влияния и философского смысла, которое вносят в оригами японцы, оригами может помочь при выполнении геометрических построений. Как правило решение геометрических задач процесс трудоёмкий и неинтересный, это связано с тем, что  плохо  развито объемное воображение. Решение задач методом перегибаний (оригами) проще и нагляднее.

Объект исследования – оригами.

Предмет исследования – математика.

Цель -  показать возможности решения задач по геометрии с помощью                                    оригами. Для этого были поставлены следующие задачи: 

‒ изучить литературу по технике оригами;

‒рассмотреть методы применения оригами для решения математических задач;

‒ найти среди школьных задач такие, которые можно решить при помощи оригами

‒ собрать материал по данной теме для применения на уроках математики.

 Методы исследования: поисковый, исследовательский, анализ, обработка полученной информации,  обобщение результатов и аналогия при решении задач.

Гипотеза - я считаю, что применение техники оригами, может визуально облегчить     решение многих задач, сделать занятия геометрией увлекательными и лучше усвоить учебный материал.

История появления оригами

Орига́ми (яп. 折り紙, букв.: «сложенная бумага») — вид декоративно-прикладного искусства; древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в Древний Китай, где и была изобретена бумага. В древности Китае бумагу использовали самым различным образом, в т.ч. и в религиозных обрядах. Например, изначально было принято на похоронах вместе с покойником сжигать и весь его домашний скарб — чтобы обеспечить ему дальнейший путь на небесах. Однако позже из бережливости реальные вещи умершего были заменены специальными полосками бумаги, на которых писались лишь их названия (подобные полоски бумаги с напечатанными пожеланиями процветания и счастья в наши дни можно купить в мелочных лавках Китая). Из бумаги же изготовлялись и разнообразные полезные в быту вещи, вроде знаменитых подвесных фонариков. При их изготовлении использовался и прием складывания. Однако складывание фигурок из квадратных листов бумаги не получило в Китае такого же мощного развития, как в Японии. Вероятно, это объясняется тем, что японцы использовали бумагу не только для письма, производства ширм, зонтиков, окон и даже одежды, но и для наглядной демонстрации некоторых мировоззренческих идей философии.  Оригами стало значительной частью японских церемоний уже к началу периода Хэйан. Самураи обменивались подарками, украшенными носи, своего рода символами удачи, сложенными из бумажных лент. Сложенные из бумаги бабочки использовались во время празднования свадеб синто и представляли жениха и невесту. Однако, независимые традиции складывания из бумаги, хоть и не столь развитые, как в Японии, существовали среди прочего в Корее, Германии и Испании.

Существует определённый набор условных знаков, необходимых для того, чтобы зарисовать схему складывания даже самого сложного изделия. Бо́льшая часть условных знаков была введена в практику в середине XX века известным японским мастером Акирой Ёсидзавой (1911—2005). Они могут отличатся в деталях в различных книгах оригами, от автора к автору, но, по сути, все стараются придерживаться стандартов для удобства разметки.

Классическое оригами предписывает использование одного листа бумаги без применения клея и ножниц.

Условные обозначения оригами

ﯦ

Исследовательская работа

Я просмотрела учебники математики 5-6 классов  и геометрию 7 класса на наличие упражнений, предусматривающих работу на перегибание бумаги в ходе процесса выполнения. Таких заданий в учебниках не было. И тогда я начала рассматривать задания, которые можно было бы выполнить оригамным методом.

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, трапецией и т.д., учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Американский педагог Ф. Фребель уже в середине XIX века заметил геометрическую особенность оригами и ввел его как учебный предмет в школе.

Оригами обладает мощным потенциалом в решении геометрических задач на построение. Вот некоторые из них, решаемые методами оригами:

1) построение биссектрисы угла;

 2) построение высоты треугольника;

3) построение медианы.

 При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

Рассмотрим несколько задач на построение отрезков, длины которых выражены через другие, известные отрезки и числа, с помощью оригами.

В традиционном курсе геометрии задачи на построение решаются при помощи циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести произвольную прямую, прямую, проходящую через данную точку, прямую, проходящую через две данные точки. При помощи циркуля можно отложить от данной точки отрезок на данной прямой или описать окружность. Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого разнообразия задач;

Исследования.

Применение метода оригами для построения отрезков.

Решение задачи с помощью методов оригами состоит из нескольких этапов: 1. Постановка задачи. 2. Решение задачи с помощью оригами. 3. Математическое доказательство того, что полученная фигура удовлетворяет условию задачи.

 Для того, чтобы решать задачи методами оригами, надо уметь выполнять самые простые построения: Рассмотрим сначала решение задач на построение отрезков с помощью оригами.

Задача 1. Дан квадратный лист бумаги со стороной а. Построить отрезки:

1);      2).

Решение.  

1. Совместить две противоположные стороны квадрата, перегнуть лист. Получаем сгиб 1. От точки касания сгиба 1 и стороны до угла квадрата расстояние равно (рис. 1)

Рис. 1

2. . Повторить пункт 1, совместить сгиб 1 с параллельной ему стороной, перегнуть лист. Получаем сгиб 2. От угла и до сгиба 2 и от сгиба 2 до сгиба 1 расстояние равно  (рис. 2).  

Рис. 2

Применение метода оригами для доказательства теорем.

Задача №1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Доказательство (с применением техники оригами)

1. Наметим середину стороны ВС квадрата АВСD.

Согнем по линии так, чтобы точка D легла на линию сгиба.

2. Согнем по ней и по намеченной линии разогнем. Сторону АВ совместим с отрезком АК, то есть ∠А разделится на три равные части:           ∠ВАN = ∠ NАК = ∠ КАD = 30°

3. Сравним КD и АК, для этого совместим сторону DK с АК в результате чего точка D совместится с точкой М.

4. Согнем по линии РМ, точка К совместимо с точкой А

Задача №2. Доказать, что сумма углов треугольника равна 180°

(Доказательство с помощью техники оригами)

Вырежем из бумаги треугольник любой формы и перегнем его сначала по линии АВ так, чтобы основание треугольника легло на себя. Перегнув затем треугольник по линиям DH и CQ так, чтобы точки Eи F попали в точку В, получим прямоугольник CQHD и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1,2,3) составляют в сумме два прямых.

Собственное решение задач из учебника «Геометрия 7 – 9»

Задача 1. (№50 геометрия 7-9, Атанасян Л.С.) Угол АОВ является частью угла АОС. ∠АОС = 108°, ∠АОВ = 3∠ВОС. Найдите ∠АОВ. Как нам поможет оригами?                                                               

                                    Рис. 1

Возьмём лист бумаги, согнем ∠ ВОС. Он может быть любым (это задача на вычисление, и мы ищем метод решения). Свернем лист бумаги так, чтобы образовалось еще 3 таких угла. Это угол АОВ. Развернем лист бумаги, всего получилось 4 равных угла (4 части). Тогда 108° : 4 = 27° – одна часть. ∠АОВ = 3 ·27° = 81° (рис. 1). Аналогичным способом можно рассмотреть решение алгебраических задач на части.

Задача 2. (№38  геометрия 7,  Мерзляк А.Г.)

Точка С делит отрезок АВ, длина которого равна а, на два отрезка. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и ВС.

 При решении задачи обычным способом у учащихся 7 класса может вызвать трудности, но после применения оригаметрии, решение стало наглядным и более понятным. Возьмем лист бумаги. На стороне АВ листа отметим произвольную точку С. Перегнем лист, совместим точки В и С и найдем середину отрезка ВС. Обозначим эту точку М. Аналогично, перегнув лист, найдем середину N отрезка АС. МN – искомый отрезок. Бумага теперь сложена в два слоя. Тогда длина МN равна а : 2 см (рис.2).

                       Рис.2

3. Свойство биссектрис (рис 3)

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:

1. На треугольном листе бумаги обозначим угол 1.
2. Возьмем вторую вершину, (такую, которая при сгибании листа позволит разделить угол 1) и согнем ее так, чтобы сторона справа относительно угла 1 совпала с противоположной стороной от этого угла. Полученный сгиб будет биссектрисой угла 1.
3. Отметим угол 2. Произведем аналогичную операцию и получим биссектрису угла 2.
4. Отметим угол 3. Произведем аналогичную операцию и получим биссектрису угла 3.

В результате проведенных операций получим точку пересечения               

                                                            Рис. 3

Применение оригами в науке и жизни

Оригами имеет широкий диапазон применения: архитектура, математика, педагогика, психология. Оригами находит применение и в других науках, а также широко используется в современных технологиях. Например, в 1970 году японским астрофизиком Корио Миурана основе техники жесткого оригами была разработана схема складывания «миура-ори», которая используется сегодня для развёртывания установок солнечных батарей на космических спутниках. Первоначально эта технология употреблялась для складывания бумажных документов,  карт местности, упаковки. Оригами - это одно из направлений арттерапии - возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства. Оригами - это уникальная возможность развития тонкой моторики (двигательной функций организма человека, объединяющей биохимические, физиологические и психологические системы), что особенно важно при воспитании детей, точнее для развития интеллекта. Оригами - идеальная дидактическая игра, развивающая фантазию и изобретательность, логику и пространственное мышление, воображение и интеллект. Пространственная трансформация плоского листа позволяет легко осваивать сложные математические понятия, решать задачи по геометрии в форме игры. Японская мудрость издревле гласит: «Великий квадрат не имеет пределов».

Попробуй простую фигурку сложить,

И вмиг увлечёт интересное дело.   (А. Е. Гайдаенко.)

Заключение

В результате исследовательской работы гипотеза была подтверждена. В ходе исследования я пришла к выводу о том, что оригами можно считать одним из способов решения математических задач. Закончив свою работу, я поняла, что оригами, как основа различных направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии. В результате работы я увидела на некоторых примерах задач, что многие понятия курса геометрии гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригами. Оригами может помочь при выполнении геометрических построений, при решении задач и доказательстве теорем школьного курса геометрии. На мой взгляд, применение на практике оригами очень удобно, и это обязательно нужно применять при изучении геометрии и учить этому школьников.

Я думаю, что занятия оригами способствуют развитию пространственного воображения, глазомера, внимания, памяти, фантазии и творческого мышления.

Список литературы:

1. С. Н. Белим Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998
2. С. Афонькин. Искусство складывания из бумаги // Оригами. Искусство складывания из бумаги. – 1997. – 9,10.
3. О.А. Щеглова. Оригами. Волшебный мир бумаги. - Издательство: Владис, Рипол Классик, 2007.
4. Всё про оригами - искусство складывания из бумаги [Электронный ресурс]. Адрес: www.origami.ru/
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8
6. http://yourorigami.info/2008/01/26/istoriya-proisxozhdeniya-origami.html

Приложение.

Я подобрала  задачи из курса геометрии 7 класс, Мерзляк А.Г., Полонский В.Б.. В сборнике сформулированы условия задач школьного курса геометрии, при решении которых можно использовать оригами.

№ 32

Точка К является серединой отрезка MN. Можно ли совместить наложением 1) отрезки  МК  и КN; 2)  отрезки МК и МN ?

№ 59

На рисунке 68 луч  OC  биссектриса ∠АОВ. Можно ли совместить наложением 1) ∠ AOC   и ∠ BOC;  2) ∠ AOC и ∠AOB?                                                          А

                                                                                О                           С    

                                                                                        рис.68         В

№ 33

Точка K- середина отрезка MN, точка E- середина отрезка  KN,  EN= 5см.

Найдите длины отрезков MK, ME и MN.

№ 35

Точка К принадлежит отрезку CD,  длина которого равна 28см.

Найдите длины отрезков CK и KD,  если 2) длина отрезка CK в 6 раз больше длины отрезка KD.

№ 38

Точка C делит отрезок AB, длина которого равна а, на два отрезка.  Найдите расстояние между серединами отрезков АС и ВС.

№ 43

Отрезок, длина которого равна 32 см, разделили на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 18 см.  Найти длину среднего отрезка.

 № 136

Начертите произвольный треугольник и проведите все его биссектрисы.

№ 152

Луч BD разбивает ∠ABC, равный 72 º, на 2 угла ABD  и CBD так, что ∠ ABD =5 ∠CBD.

Луч BK проходит так, что луч BA является биссектрисой  ∠DBK

Определите  градусную меру и  вид ∠ DBK.