Исследовательская работа "Формула Пика".

ХVIII Республиканский конкурс молодых исследователей

«Ступень в науку»

Секция: «Математика»

Тема: «Формула Пика»

Автор работы:

Кадалаева Милана Руслановна,

8 класс

Место выполнения работы:

МБОУ СОШ №28

имени Героя Советского Союза

Гагиева Александра Максимовича

Научный руководитель:

Суркова Татьяна Геннадьевна,

 учитель математики

Владикавказ, 2020-2021 г.

Содержание

1. Введение ___________________________________________  3
2. Основная часть ______________________________________  4

2.1  Формула Пика ______________________________________  4

2.2  Решетки. Узлы. _____________________________________  5

2.3  Применение формулы Пика при выполнении

       заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике._____________________  10

4. Применение формулы Пика к решению нестандартных

задач. ______________________________________________  11

3.   Экспериментальная часть. _____________________________  12

4.    Заключение. ________________________________________  13

5.    Приложения ________________________________________  14

6.    Список литературы __________________________________  19

1. Введение

На уроке математики мы с учителем решали задачи из сборника по подготовке к ОГЭ

И я заметила целую группу геометрических задач, с чертежом на клетчатой бумаге. В основном в подобных задачах нужно было вычислить площадь изображенной на рисунке фигуры. В школьном учебнике, по которому мы занимаемся подобных задач я не встречала. И у меня возникло предположение: если подобные задачи выделяют в отдельную группу, у которой даже есть особое название «Задачи на клетчатой бумаге», то может быть существует какой-либо особенный, не традиционный  способ их решения. Я  приступила к изучению литературы, интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны.  Проведя исследования, я выяснила, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая помогает быстрее справиться с нахождением площади любого многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, даже, если это многоугольник самой необычной и нестандартной формы.

Итак:

Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

  Предмет исследования: задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

  Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

       Цель исследования:

1. Выяснение существования иной, отличной от школьной программы, формулы нахождения площади решетчатого многоугольника.
2. Области применения искомой формулы.

     Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

• Подобрать необходимую литературу
• Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
• Проанализировать и систематизировать полученную информацию
• Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

• Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формулам площадей из учебника математики.

2. Основная часть

1.   Формула Пика

Георг Александр Пик (10.08.1859 – 13.07.1942) – австрийский математик, родился в еврейской семье.

Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет он получил право преподавать математику и физику. 

Георг пик работал в Пражском университете, Немецком университете,  Лейпцигском университете, а в  1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. В 1938 году он вернулся в Прагу, а в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии.
13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет. [1]

2.  Решетки. Узлы.

В этой главе я докажу справедливость формулы Пика.

Для применения этого метода следует поместить фигуру на клетчатую решётку или сетку. В тетради есть клетки. Это и есть сетка. Заметим, что узлом называется точка пересечения горизонтальных и вертикальных линий решетки. В чем же состоит утверждение теоремы?

Теорема: Площадь многоугольника можно вычислить, зная количество узлов, лежащих внутри многоугольника (В) и на его границе (Г). Тогда площадь можно найти по формуле S=В+Г/2-1.

Докажем, что для любого многоугольника она верна. Доказательство проведем по следующему плану:

1.Сначала докажем, справедливость формулы для прямоугольника, у которого стороны

совпадают со сторонами сетки, то есть  

3. Затем для многоугольника, у которого стороны не совпадают со сторонами сетки

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты расположены на сетке.

Используя эти три соображения формулу можно доказать для любого многоугольника

Докажем сначала для прямоугольника. Пусть имеется прямоугольник, который нарисован по сетке. Известно, что S=ab

Докажем, что этот же результат получается по формуле Пика, то есть, что то же самое получится, если мы посчитаем площадь прямоугольника с помощью формулы Пика. Найдем В-количество узлов внутри:

В=(а-1)(в-1)

И количество узлов на границе:

Г=((в+1)+(а+1))*2-4=2а+2в

Четыре мы отнимаем, так как каждая вершина посчитана по два раза.

Подставим в формулу Пика:

Г=(а-1)(в-1)+(2а+2в)/2-1=ав-а-в+1+а+в-1=ав

То есть по формуле пика получаем: S=ав

2 этап. У нас теперь есть многоугольник, стороны которого расположены по узлам сетки. Разобьем его на прямоугольники

Почему же формула будет работать?

S1=ab         s2=cd     С другой стороны по формуле Пика (а для прямоугольников мы доказали, что формула работает)

S1=ab=B1+Г1/2-1                        S2=cd=B2+Г2/2-1

S1+S2=B1+B2+Г1/2+Г2/2-2    (*)

Найдем количество узлов внутри В=В1+В2+количество узлов на границе между первым и вторым многоугольником, получившемся при разбиении исходного многоугольника

В=В1=В2+(а-1)

Г=Г1+Г2-2(а-1)-2, Г1-вся граница первого прямоугольника, Г2-вся граница второго прямоугольника. Пунктирную границу мы не должны считать вообще. И 2 мы вычитаем, так как 2 крайние точки на границе этих двух прямоугольников мы посчитали по два раза. Посчитаем В+Г/2-1 должно получится по нашему предположению равенство, которое мы обозначили (*). Проверим:

В1+В2+(а-1)+Г1/2+Г2/2-(а-1)-1-1=В1+В2+(Г1+Г2)/2-2

Вывод: если мы разбиваем многоугольник на 2 и более прямоугольников, для каждого из которых формула Пика верна, то формула пика будет верна и для всего многоугольника. Тогда очевидно, что если два многоугольника совмещены общей границей, то все рассуждения будут такими же. То есть форма многоугольников, имеющих общую границу не имеет значения.

Вывод: Из двух фигур, для которых формула Пика работает можно «склеить» новую фигуру, и для неё формула Пика тоже будет работать.

Но верно и обратное утверждение: если формула Пика работает для всей фигуры и для её части, то для оставшейся части формула Пика тоже работает. Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему, но провести его надо в обратном порядке.

Итак, мы можем «склеивать» фигуры и «разрезать» их.

3 этап: Рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого лежат на узлах сетки. Известно, что S=ab/2

Достроим треугольник до прямоугольника и докажем, что если применим формулу пика, то тоже получим S=ав/2

Для треугольника точно можно посчитать количество узлов на катетах. На гипотенузе – не известно. Предположим, что на гипотенузе лежит С узлов (не считая крайних)  

Тогда количество узлов на границе, включая граничные точки будет равно

Г=(а+1)+(в+1)+с-1, где   (а+1) и (в+1) количество точек, включая граничные.

Соответственно количество внутренних узлов будет

В=((а-1)(в-1)-с )/2

Подставим в формулу Пика.

S= В+Г/2-1= (ав-а-в+1-с)/2+ (а+в+с+1)/2-1=ав/2     чтд

Итак, мы научились доказывать формулу Пика для прямоугольника, для прямоугольного треугольника, и научились разрезать и склеивать фигуры.

Пользуясь всеми этими фактами докажем что формула Пика работает для произвольного треугольника, у которого стороны не располагаются по сетке.

Пусть есть три узла сетки. Изобразим произвольный треугольник. Чтобы доказать, что формула Пика верна, нам нужно получить из данного треугольника прямоугольные треугольники, так как ранее мы доказали справедливость этой формулы для прямоугольного треугольника.

Разбить исходный треугольник на прямоугольные, построив одну или несколько высот, мы не можем, так как высота не обязательно пройдет по узлам сетки. А вот достроить его до прямоугольника по линиям сетки вполне возможно. И этот вариант нас устраивает. Для получившихся треугольников формула Пика верна, для получившегося прямоугольника тоже (доказали ранее).Если мы отрежем от прямоугольника прямоугольные треугольники, то для остатка формула Пика тоже будет верна (доказали ранее). Таким образом, формула Пика верна  для любого треугольника. Но, любой многоугольник можно разбить на треугольники, проводя диагонали в этом многоугольнике.

Вообще говоря это утверждение не очевидно и называется оно Лемма о триангуляции. (разбиение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей)

Докажем, что любой многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники, тоесть, докажем лемму

Доказательство:

Пусть дан выпуклый многоугольник. Вообще, многоугольник называется выпуклым, если все его диагонали лежат внутри этого многоугольника, или если у него все внутренние углы меньше 180 градусов.

1. Для выпуклого многоугольника из одной вершины проведем все диагонали многоугольника и получим треугольники. Действительно, все диагонали пройдут внутри (по определению выпуклого многоугольника) И многоугольник разобьется на треугольники. Количество вершин при этом не имеет значения, то есть это рассуждение верно для любого выпуклого многоугольника.
2. Для невыпуклого многоугольника иногда не всегда понятно, где пройдет диагональ.

Воспользуемся методом индукции, то есть если нам удастся разбить наш невыпуклый многоугольник на два меньших невыпуклых многоугольника, а для маленьких мы по индукции докажем, то для любых больших размеров мы тоже докажем. То есть, если мы научимся проводить хоть одну  диагональ, то ясно, что два многоугольника, которые получатся, будут иметь меньшее количество вершин, чем исходный. И если мы продолжим  этот процесс, то в итоге мы дойдем до четырехугольника, в котором тоже можно провести диагональ.

Итак, как можно понять, что диагональ провести можно? Из любой вершины выпустим луч лазера вдоль одной из сторон и повернём на 180 градусов .Ясно, что когда-то луч попадет на вершину.

Что будет, если луч не встретит на своем пути вершину. Тогда понятно, что мы все время шли вдоль одной стороны. Но многоугольник это фигура, у которой сторон больше одной, а значит, когда-нибудь мы на вершину все-таки попадем. А это и означает в точности, что мы хотя бы одну диагональ провести можем. Заметим, что это нестрогие доказательства, но интуитивно понятно, что в любом многоугольнике можно провести диагональ и разбить его на два многоугольника с меньшим количеством вершин.

На самом деле это утверждение важно, так как если мы можем провести диагонали, то они разобьют многоугольник на треугольники, а мы доказали, что для треугольников формула Пика работает, а также ранее мы показали, что разрезать и склеивать фигуры мы тоже можем. Таким образом, можно утверждать, что  для любого многоугольника формула Пика работает.

2.3.  Применение формулы Пика при выполнении заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Все пособия по подготовке к ЕГЭ, диагностические работы, которые проводит Центр тестирования, а также демонстрационный вариант, содержат задания на вычисление площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Это задание В3.Большинство таких заданий можно быстро выполнить, применив лишь формулы для вычисления площадей треугольника, прямоугольника, квадрата и трапеции.

Задачи из открытого банка ОГЭ и ЕГЭ. 

Найдите площадь фигур, изображенных на клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1)

                                               В = 9, Г = 8,       S = 9 + 8 : 2 – 1 = 12(см2)

2)

                    В = 8, Г = 5,        S = 9 + 5 : 2 – 1 = 10,5(см2)

3)

                     В = 10, Г = 7,        S = 10 + 7 : 2 – 1 = 12,5(см2)

4)

                   В = 5, Г = 4,            S = 5 + 4 : 2 – 1 = 6(см2)

2.4.  Применение формулы Пика к решению нестандартных задач.

Задача 1

Пусть имеется доска 8х8. На ней ходит король. Оказалось так, что король посетил все клетки. Король ходит по ломанной. Ясно, что доска разделилась на две области: внутреннюю и внешнюю. Найдите площадь той части шахматной доски, которая оказалась внутри этой ломанной.

Решение.

Примем центр клетки за узел. Тогда на шахматной доске находится 64 узла. Так как король обошел все клетки, тона границе ломанной находится 64 узла. Так как король обошел все клетки, то внутри ломанной не окажется ни одной клетки, то есть ни одного узла. Таким образом В=0, Г=64 Подставим в формулу Пика.

S=В+Г/2-1=0+64/2-1=31

Мы никак не учитывали, как выглядит наша кривая. Мы можем ходить диагоналями, кругами, как угодно. Мы учитывали только, что 1) обошли все клетки и 2) мы сдвинули сетку так, что центр клетки приняли за узел.

Ответ:  S=31.

Задача 2:

Имеется треугольник, у которого S =1/2. Треугольник с вершинами в узлах сетки, со сторонами а, в, с, где а больше 5, в больше пяти и с больше пяти. Выяснить, существует ли такой треугольник, и если существует, то изобразить его на сетке. Замечание: стороны треугольника могут располагаться как по сетке, так и не по сетке.

Применим формулу Пика     Г=3,   В=0, тогда S=В+Г/2-1= 0+3/2-1 = 0,5

АВ и ВС не содержат узлов. Это видно. Рассмотрим отрезок АС. От А до С в высоту две клетки, поэтому АС пересекает линию сетки ровно посередине, тогда АО=ОС=5,5. Таким образом, на границе нет узлов, а стороны больше 5.

Таким образом,  треугольник существует и площадь его равна 0,5.

Замечание: Ограничение для величины сторон- а больше 5, в больше пяти и с больше пяти выбрано произвольно. Можно было бы взять любое большое число и от этого ход решения задачи не поменяется.

3. Экспериментальная часть.

Я познакомила своих одноклассников с формулой Пика и провела небольшую самостоятельную работу. Класс был поделен на две группы. Заранее я подготовила несколько задач на вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге. Первой  группе ребят было предложено решить эти задачи, применяя формулу Пика. А вторая группа должна была решать эти же задачи, применяя формулы из школьной программы, традиционным способом. Причем, ребята в обоих группах имели одинаковый уровень подготовки. По итогам этой работы я сделала вывод, что на вычисление площади невыпуклого многоугольника с помощью формулы Пика было затрачено меньше времени, и  было допущено меньше ошибок.

Результаты эксперимента представлены в таблице.

Результаты эксперимента позволили сделать следующий вывод: применение формулы Пика упрощает решение задач на вычисление площади многоугольника, представленного на клетчатой бумаге.

 Моей работой заинтересовались мои одноклассники, после знакомства с формулой Пика они спросили, почему их с этой формулой не познакомили раньше.

4.  Заключение.

 В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что  задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей  работы я расширил свои  знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.  

Умение пользоваться формулой Пика позволяет вычислять площади выпуклых многоугольников, а так же площади невыпуклых многоугольников. А значит, ее можно применять для вычисления площадей многоугольников в задании В3 на ЕГЭ.

• Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: 

S = В + Г/2 - 1- формулу Пика.

• Формула Пика проста для запоминания.
• Формула Пика удобна и проста в применении.
• Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой формы.

Формула Пика облегчает и ускоряет нахождение площади многоугольников. Но и она имеет свои недостатки:

1. Чертёж должен быть очень четким (для подсчета узлов);

2. Формула применяется лишь в том случае, если многоугольник изображен на клетчатой бумаге;

В ходе выполнения работы моя гипотеза подтвердилась, а именно, площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формулам площадей из учебника математики.

5. Приложения

Приложение 1.

Задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге по формуле Пика.[7]

Задача 1.

 Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.1).

               Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1 .

                 В = 8,    Г = 6

                 S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

                    Ответ: 10 см².

Задача 2. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.2)

                    Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1 .

                     В = 6,     Г = 6

                    S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

                    Ответ: 8 см².

Задача 3. Найдите площадь треугольника АВС (рис.3)

              Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1 .

                В = 6,     Г = 5

                S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²). Ответ: 7,5 см².

Задача 4. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 4)

                     Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1 .

                       В = 5,     Г = 7

                      S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

                     Ответ: 7,5 см².

 Приложение 2.

Задания из КИМов ОГЭ и ЕГЭ по математике.[7]

  Задача 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (рис. 6). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

                    Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1 .

                В = 12,    Г = 6

               S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²). Ответ: 14

Задача 2.  На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (рис. 7). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

                 Решение. Воспользуемся формулой Пика:

                  В =  12,  Г = 17

                    S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

                     Ответ: 19,5

Приложение 3.

Задачи на клетчатой бумаге, для которых применима формула Пика [5].  

Сайт «Решу ЕГЭ». ( № 27543 – 27671)

Найти площадь изображенного на рисунке многоугольника:

Приложение 4.

Задачи – на клетчатой бумаге, предложенные для решения в двух экспериментальных группах.[5]

Сайт «Решу ЕГЭ». ( № 27543 – 27671)

Найти площадь изображенного на рисунке многоугольника:

6. Список литературы

1.  Можно все. Краткая библиографическая справка  Георг Александр Пик  https://mognovse.ru/zzi-kratkaya-biograficheskaya-spravka-georg-aleksandr-pik.html
2. Атанасян Л. С., В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Геометрия .7-9 классы. М.:

Просвещение, 2010 - 238 с.

3. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
4. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ 2020-2021  
5. Образовательный портал «Решу ЕГЭ» [Электронный ресурс- Режим доступа:   https://ege.sdamgia.ru
6. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.
7. Ященко И.В. ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов - М.: Издательство «Национальное образование», 2020