Тема: БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ДЕТСКИЙ КОНКУРС

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ

«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ»

Секция: ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, МАТЕМАТИКА

Тема: БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ

Автор: Меликян Милана Тамазовна

Научный руководитель: Суркова Татьяна Геннадьевна

Место выполнения работы: МБОУ СОШ №28, РСО-Алания, г. Владикавказ

Оглавление.

Введение._______________________________________________________ 3

Глава 1. Архимедова идея барицентра: доказательство теорем, решение задач.

1. Основная идея барицентра системы материальных

точек.____________________________________________________ 4

Доказательство теоремы Архимеда.____________________________ 4

Теорема о медианах тетраэдра.________________________________ 6

Глава 2. Идея барицентра при определении объемов

школьных многогранников.

Античные представления об измерении объемов

и идея барицентра.______________________________________________ 7

Определение формулы для объема призмы и цилиндра.____________ 8

Заключение.___________________________________________________ 9

Список использованной литературы.______________________________ 10

Введение.

В математической литературе можно встретить интересный метод, позволяющий быстрее и проще доказывать известные теоремы и решать некоторые задачи. В его основе лежит понятие центра масс или барицентра.

Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э., он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Его способ доказательства отличается от варианта, который рассматривается в школьном курсе геометрии, и я тоже доказал эту теорему, используя барицентрический метод. В данной работе я произвёл поиск теорем и задач, к которым можно применить свойства центра масс и убедился, что метод, предложенный Архимедом, значительно упрощает доказательство и решение некоторых теорем и задач.

Актуальность: знание разных методов решения задач необходимо, а барицентрический метод как раз таковым и является.

Предмет исследования: барицентрический метод, задачи и теоремы, к которым можно применить этот метод, а также мы применили идею барицентра при определении объемов школьных многогранников.

Гипотеза: барицентрический метод позволяет более рационально решать некоторые задачи, а также обладает большой наглядностью и лучше воспринимается школьниками,

Цель работы: исследовать возможность применения барицентрического метода при решении геометрических задач, выяснить, существует ли связь между геометрическим и физическим описаниями свойств фигур.

Задачи:

1. Изучение основных теорем и принципов использования метода масс.

2. Применение полученных результатов для решения задач разного уровня сложности.

Глава 1. Архимедова идея барицентра: доказательство теорем, решение задач.

1. Основная идея барицентра системы материальных точек.

Идею барицентра Архимед изложил в сочинении "О равновесии плоских фигур". При определении барицентра Архимед исходил из представления о материальной точке (м.т.), которое у него выступает основным понятием, хотя под этим понимается материальное тело, размерами которого можно пренебречь, по сравнению с характерными размерами в данной задаче. М.т. задается как обычная геометрическая точка, с которой связано некоторое число m > 0 и, таким образом, запись m (А) означает, что в точке А сосредоточена масса m.

Пусть m1(А) и m2(В) – две м.т. пространства, расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Условно соединим эти точки бесконечно тонким, абсолютно жестким и невесомым стержнем. В результате получим систему из двух м.т. m1(А) и m2(В), которую геометрически представим отрезком, соединяющим эти материальные точки. При этом система из двух точек m(А) и m1(А), означает одну м.т. (m + m1)(А), а запись m(А) = m(В) подразумевает, равенство масс и геометрическое совпадение точек А и В. От данного определения системы из двух м.т. легко перейти к определению системы из произвольного числа м.т.

Представление о барицентре системы м.т. Архимедом вводится следующим образом: «Центром тяжести некоторого материального тела (системы материальных точек) является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение». [3] Свойства барицентра Архимед определяет с помощью трех аксиом, где латинская буква Z используется для обозначения барицентра системы м. т. (рис 1):

А1. Всякая система м. т. имеет барицентр, причем, единственный.

А2. ( правило рычага) Барицентр системы из двух м.т. располагается на отрезке, соединяющем эти точки, и его положение определяется правилом архимедова рычага (рис.1) в виде соотношения:

m1(A)⋅AZ=m2(B)⋅BZ, (1)

где Z – барицентр системы материальных точек m1(A) и m2(B);

А3. (правило группировки) Положение барицентра системы м.т. не изменится, если в этой системе выделить некоторые м.т. и массы этих точек перенести в барицентр выделенной подсистемы материальных точек.

1. Доказательство теоремы Архимеда.

Теорема: Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, в которой делятся в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины.

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС с массами 1 в точке А, 1 в точке В и 1 в точке С, то есть mA=mB=mC=1. Найдём центр масс этого треугольника.

1). Найдём центр масс точек А и В. Это будет точка М, которая является серединой отрезка АВ, так как в точках А и В стоят одинаковые массы.

2). Также ясно, что в точке М у нас получится масса 2.

3). Таким образом центр масс системы точек А, В, С совпадает с центром масс системы точек М и С с массами 2 и 1 соответственно. Тогда центром масс будет точка О с массой = 3, которая лежит на отрезке СМ и делит этот отрезок в отношении 2/1 от вершины С. Центр масс найден.

Мы только что доказали, что в треугольнике АВС центр масс лежит на медиане СМ и делит её в отношении 2/1 от вершины С.

Мы начали решать эту задачу с того, что сместили точки А и В в их центр масс точку М. А если сместить не точки А и В, а точки А и С в их центр масс N. Рассуждая аналогично мы бы получили, что центр масс нашего треугольника лежит на медиане ВN и делит её также в отношении 2/1, начиная от точки В.

И точно также мы можем доказать, что центр масс лежит на медиане АК и делит её в отношении 2/1 от вершины А.

Но у треугольника имеется только один центр масс, поэтому все три раза мы получаем одну и ту же точку О. Итак, в треугольнике есть такая точка О – единственная, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины.

Как видим, барицентрическое доказательство теоремы Архимеда очень наглядно и просто, причем, точка пересечения медиан приобретает механическое толкование как барицентр (или центроид) треугольника, загруженного по вершинам одинаковыми массами.

Теорема о медианах тетраэдра.

Медиана тетраэдра – это отрезок, соединяющий его вершину с точкой пересечения медиан противолежащей грани этого тетраэдра.

Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, в которой делятся в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины.

Доказательство.

Пусть А1;В1;С1;D1 – точки пересечения медиан, соответственно, граней BCD; ACD; ABD; ABC тетраэдра ABCD (рис.4).

1). Загрузим АВСD по вершинам равными массами m; в результате получим систему м.т. А(m); В(m); С(m); D(m) , которая имеет единственный барицентр в некоторой точке Z (первая аксиома).

2) По аксиоме А3, в полученной системе выделим подсистему м.т. А(m); В(m); C(m). Тогда, по теореме Архимеда Эта система материальных точек имеет центр масс, расположенный в точке D1 причём, исходная система м.т., по аксиоме А3, имеет тот же барицентр, что и система D(m); D1(3m), т.е. точку Z. Тогда, по правилу рычага, имеем

3mD1Z=mZD DZ/ZD1=3.

Аналогично, рассматривая подсистемы (А(m);С(m);D(m)); (В(m);С(m)D(m)); (A(m);B(m);D(m)), получаем

ВZ/ZB1=AZ/ZA1= CZ/ZC1 =3 и, окончательно, AZ/ZA1=ВZ/ZB1= СZ/ZC1= DZ/ZD1=3.

3) Согласно аксиоме А1, у рассматриваемой системы м.т. А(m); В(m); С(m); D(m) барицентр в т. Z и этот барицентр лежит на каждой медиане АА1; ВВ1; СС1; DD1, т.е. АА1 ВВ1 СС1DD1= Z. Что и требовалось доказать.

Глава 2. Идея барицентра при определении объемов школьных многогранников.

Античные представления об измерении объемов и идея барицентра. Дошедшие до нас клинописные таблички шумерийцев и вавилонян (около 3000 лет до н. э.) свидетельствуют, что единицы измерения площади и объёма были при своём возникновении связаны с материальными потребностями общества. С появлением земледелия потребовались умения измерения площадей земельных участков, емкостей сосудов и амбаров, объёмов вынутой при земельных работах земли и т. п. Расшифровка клинописных табличек вавилонян, например, показала, что иероглиф понятия «площадь» тождествен с иероглифом «количество зерна» (нужного для посева на этой площади); иероглиф понятия «объём» – с иероглифом «куча земли», вынутой при производстве оросительных систем. Русская мера объёма «ведро» также указывает на конкретный практический характер происхождения пространственных мер.

В данных примерах, та или иная количественная мера, то есть масса, соотносится с некоторой пространственной геометрической мерой (площади или объёма) и эта идея по сей день существенно не изменилась. Поэтому можно применить идею барицентра при выведении формулы объёма стереометрических фигур. Итак, если речь идёт об измерении объёма тела, то оно, помимо объёма, также обладает некоторой массой, поэтому видимо можно использовать барицентрический метод при измерении объёма данного тела. Для этого вспомним, чему равна плотность вещества . Из курса физики мы знаем, что она равна отношению массы m данного вещества к его объёму V:

, (4)

Так как в моём эксперименте я заполняла сосуд водой, то плотность оставалась величиной постоянной.

Оказывается, этих физических представлений достаточно, чтобы приступить к экспериментальному определению формулы для объёма призмы, которая изучается в школьной геометрии. Продемонстрирую, каким образом идея барицентра может использоваться на уроках школьной геометрии.

Определение формулы для объема призмы и цилиндра. Я брала пустой сосуд в виде прямой призмы. Предположила, что площадь основания этой призмы равна S квадратных сантиметров. Заполнила его водой на некоторую высоту h1. Установила на чаше рычажных весов и уравновесила массой #1047;атем заполнила сосуд на высоту h2 и уравновесила массой m2. Аналогично провела третье взвешивание с высотой h3 и массой m3. Вычисления занесла в таблицу:

После серии таких взвешиваний я обнаружила, что величина отношения

m/h (5)

во всех трёх опытах приблизительно одинакова.

Выразила массу по формуле (4) m=ρV и, учла, что для воды плотность ρ была величиной постоянной, из соотношений (5) получаем: V=kh, (6)

где k - постоянный коэффициент, который в данном эксперименте равен S основания, так как неизменной оставалась только площадь основания. Тогда

V=Sh. (7)

Аналогичными взвешиваниями с цилиндирическими сосудами я убедилась, что формула (7) также справедлива и для цилиндров.

Заключение.

В работе я применила междисциплинарный подход между физикой и геометрией на основе идеи барицентра.

Убедилась, что результаты геометрического и физического подходов к определению объёмов тел приводят к одинаковым результатам. Это свидетельствует о существовании тесной связи между геометрическим и механическим описаниями свойств фигур.

Показала, что применение барицентрического метода к школьной геометрии обладает большой наглядностью и лучше должно восприниматься школьниками, поскольку за геометрическими образами я с удивлением обнаружила реально осязаемые вещи.

Конечно, любую математическую задачу можно решить с помощью стандартных методов, изучаемых в школьном курсе. Но барицентрический метод позволяет не только сократить решение, сделать его более рациональным, но и, так как в нём используется система материальных точек, даёт возможность наглядно представить решение задачи. Это может сыграть немаловажную роль при решении задач, попавшихся на экзамене при поступлении на математический факультет в университете, или олимпиадах задач. Поэтому я считаю, что моя работа имеет большое значение для людей, углублённо изучающих точные науки. Я думаю, что данный метод может применяться на уроках геометрии в профильных классах средней школы.

Список использованной литературы

1. Болтянский В.Г. Формула наглядности – изоморфизм плюс простота.- Советская педагогика, 1970, №5. – С. 46-60.
2. Балк М. Геометрические приложения понятия о центре тяжести. – М.:Физматгиз, 1959. – 232 с.
3. Балк М.Б. Геометрия масс. – М.: Наука, 1987. – 160 с.
4. Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Механические приемы подсчета объемов. - Математика в школе, 2001, №5. – С.40-42.