"Разные способы доказательства теоремы Пифагора"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Цнинская средняя общеобразовательная школа № 2»

Городской округ – город Тамбов

«Разные способы доказательства теоремы Пифагора» _____________________________________________________

Автор: Христенко Егор Владимирович,

учащийся 9 «е» класса

Руководитель: Корчагина Наталья Сергеевна,

учитель математики

Тамбов - 2023

Актуальность: теорема Пифагора одна из важнейших теорем в геометрии. Именно она возникла из потребностей человека проводить измерения на местности. Применяется для доказательства других теорем и для решения многих задач. На уроке рассматривается только одно доказательство её. Я заинтересовался и решил поискать другие способы.
Цель: расширить свои знания в области математики, узнать разные способы доказательства теоремы Пифагора.
Задачи:

1. Узнать историю открытия теоремы Пифагора.
2. Исследовать различные способы доказательства теоремы Пифагора.
3. Изучить практическое применение теоремы Пифагора в математике и в жизни человека.

Объект исследования: теорема Пифагора.

Предмет исследования: способы доказательства теоремы Пифагора.

Практическая значимость: обогатить свои знания в области математики, использовать их в учёбе. Заинтересовать других учащихся. Данной работой могут пользоваться ученики для повышения своей математической грамотности и учителя на факультативных занятиях.

1.История открытия теоремы Пифагора.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих “Начал”. С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в “Началах” принадлежит самому Евклиду.

История математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о математической деятельности Пифагора. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

2. Способы доказательства теоремы Пифагора.

1. Древнекитайское доказательство (приложение 1)

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе.

2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.) (приложение 1)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

S = 

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S = 

Приравнивая данные выражения, получаем:

 или с2 = a2 + b2

3.Доказательство Хоукинсa. (приложение 1)

   Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=b²/2

SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :

SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

4. Доказательство Вальдхейма. (приложение 1)

   Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.

Для того чтобы доказать теорему пользуясь рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Sтрапеции=(a+b)²/2

Sтрапеции=a²b²+c²/2

Приравнивая правые части получим:  

a²+b²=c²                                                      

5.Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары). (приложение 1)

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

+Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL 

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

6. Доказательство простейшее. (приложение 1)

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.

Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

7. Доказательство древних индусов. (приложение 1)

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е.

с2 = а2 + b2.

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: «Смотри!»

 8. Доказательство Евклида. (приложение 1)

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания. были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

3.Практическое применение теоремы Пифагора.

1)Мобильная связь.

Кто в современном мире не пользуется сотовым телефоном? Каждый абонент мобильной связи заинтересован в ее качестве. А качество в свою очередь зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, применяем теорему Пифагора.

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+ABOB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.

2)Как рассчитать высоту шкафа-купе? (приложение 2)

На первый взгляд ничего особенного: снять размеры высоты от пола до потолка в нескольких точках, отнять несколько сантиметров, чтобы шкаф не упирался в потолок. Поступив так, в процессе сборки мебели могут возникнуть трудности. Ведь сборку каркаса мебельщики выполняют, располагая шкаф в горизонтальном положении, а когда каркас собран, поднимают его в вертикальное положение. Рассмотрим боковую стенку шкафа. Высота шкафа должна быть на 10 см меньше расстояния от пола до потолка при условии, что это расстояние не превышает 2500 мм. А глубина шкафа – 700 мм. Почему на 10 см, а не на 5 см или на 7, и причем здесь теорема Пифагора?

Итак: боковая стенка 2500-100=2400(мм)- максимальная высота конструкции.

Боковая стенка в процессе подъема каркаса должна свободно пройти как по высоте, так и по диагонали. По теореме Пифагора

АС= √ АВ2 + ВС2

АС= √ 24002+ 7002 = 2500 (мм)

Что произойдет если высоту шкафа уменьшить на 50 мм?

АС= √ 24502+ 700 2= 2548 (мм)

Диагональ 2548 мм. Значит, шкаф не поставишь (можно испортить потолок).

3)Крыша (приложение 2)

 При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.(См. рисунок)

Решение:

Треугольник ADC— равнобедренный АВ=ВС=4 м, BF=4 м, Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:

А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м DС=  =  =  .

Б) Из треугольника ABF: AF=  =   5,7.

Заключение.

Так, можно сказать, что теорема Пифагора – это одно из двух имеющихся в геометрии сокровищ. И за эту ценность мы должны быть благодарны Пифагору. Именно он воспитал в человечестве веру в могущество разума, убеждённость в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика. В ходе своих исследований я выяснила, что заслуга Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство теоремы.

Выводы:

1.  Теорема Пифагора на протяжении многих веков служит толчком к интересным и важным математическим открытиям (теорема Ферма, теория относительности Эйнштейна).
2. Теорема Пифагора имеет огромное применение в практике.
3. Способы доказательства теоремы Пифагора могут быть разнообразны и удивительны.
4. Из теоремы Пифагора или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Список использованных источников:

1. Математика: Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Перевод с нем. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2003.
2. Геометрия, 7-9 классы: учебник для общеобразовательный организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение, 2015
3. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.
4. Учебник «Геометрия 7-9» А.В.Погорелов.М:Просвещение,2009
5. Войтикова Н.В. «Теорема Пифагора» курсовая работа, Анжеро-Судженск, 1999г.
6. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1985.
7. Пельтуер А. Кто вы Пифагор? – М.: Знание – сила, № 12, 1994.
8. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.
9.  http://www.hintfox.com/article/teorema-pifagora-i-ee-aktyalnost.html
10. https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_19_1.php
11. https://the-biografii.ru/uchenye/342-biografiya-pifagora.html

Приложение 1

1. 

                                                                                 a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab

                                                                                 a2 +b2 = c2

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Приложение 2

2)

3)