Индивидуальный итоговый творческий проект "Математическое наследие Древней Руси"

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Ярцевская средняя школа № 1»

Ярцевского района Смоленской области

Индивидуальный итоговый творческий проект

«Математическое наследие Древней Руси»

г. Ярцево

2023

Содержание

1. Паспорт проекта

2. Поисковый этап. Введение

Математика на Руси существовала ещё издавна. Она была распространена уже в X-XI веках. Математические знания были связаны с бытовыми нуждами людей. Однако бытует мнение, что математика была слабо развита. Чтобы узнать что думают мои одноклассники и ровесники, я провёл анкетирование (приложение 1), где решил узнать их мнение. По результатам анкетирования оказалось, что 50% думают, что математика была слабо развита и 40%, что она ограничивалась простейшим счётом (приложение 2). Я решил изучить математику Древней Руси и составить сборник из задач актуальных в то время.

Перед выполнением проекта я сформулировал проблему: низкий уровень знания обучающимися математического наследия Древней Руси.

Цель проекта: создание рабочей тетради, состоящей из задач древнерусских математиков для того, чтобы ознакомить с ними обучающихся.

Для выполнения цели были выдвинуты следующие задачи:

1. провести анкетирование среди обучающихся 7-11 классов;
2. проанализировать результаты анкетирования;
3. изучить научно-историческую литературу по данной теме;
4. проанализировать полученную информацию и подобрать материал для создания рабочей тетради;
5. составить рабочую тетрадь;

С целью решения поставленных задач использовались эмпирические методы: Анкетирование, анализ, синтез.

Продукт проекта – рабочая тетрадь по математике, составленная на основе задач математиков Древней Руси.

3. Аналитический этап.

1. Счёт Древней Руси.

У славян, как и у всех других народов, счет возник очень давно. Сначала они на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов, могли на глаз определить, в каком стаде больше животных, в какой кучке больше плодов. У славян издавна существовали узелковое письмо и узелковый счет. К нашему времени от узелкового письма остались только следы в виде выражения «узелок на память» и гадание по узлам на льняной нити.

До появления письменности наши предки обозначали числа зарубками на палочках или дощечках, которые у русских народов назывались бирками.

В качестве денежных знаков сначала использовались шкуры животных. Так существовали куны, резаны и ногаты. Позже появились серебряные гривны. Одна гривна приравнивалась к 25 ногатам, 20 кунам или к 50 резанам. Только  потом появился рубль, который изначально выглядел как круглый кусок серебра.

Меры длин наших предков соотносились с размерами различных частей человеческого тела: пядь, локоть, сажень и верста. Сыпучие тела измеряли кадями, четвертями, десятинами и сохами. Вес мерили в пудах и фунтах.

Наши предки рано начали пользоваться десятичной системой расчётов. С появлением кириллицы числа начали обозначать славянскими буквами. Некоторым большим круглым числам были присвоены специальные названия: тьма – десять тысяч, легион или неведий – сто тысяч, леодр – миллион. Более крупные числа, триллионы, относились к особой системе записей, называемой великим счётом.

2. Древнерусская вычислительная практика

До нашего времени дошли тексты, в которых отражены результаты арифметических подсчётов. Одним из них является «Русская Правда» XI века. Там приводились ряд примеров по расчёту долгов, штрафов и процентов. Из этого видно, что к тому времени русские уже вполне уверенно могли оперировать целыми и дробными числами.

Первый известный в истории Древней Руси математический трактат относится к 1136 году. Автором его стал новгородский монах Кирик. В сочинении, полное наименование которого звучало как «Кирика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение им-же ведати человеку числа всех лет», содержались сведения как по математике, так и по астрономии, в числе прочего там проводился подробный расчёт даты сотворения мира. Монах также делил сутки на мелкие доли, доходя до одной миллионной.

В Древней Руси решались задачи связанные с переводом натуры в деньги. Этому были посвящены 8 вариантов подсчётов. Они делились на две группы. К первой относятся 4 варианта, для их выполнения достаточно одной операции: умножение на 1, удвоения (умножение на 2), раздвоение (деление пополам) и утроение (деление на 3). Ко второй группе относятся варианты подсчётов (их то же четыре), которые выполняются посредством последовательности двух-четырёх современных арифметических операций, из которых по крайней мере одна связана с действием деления. Первую группу условно можно назвать группой простейших подсчётов, а вторую – группою усложнённых подсчётов.

4. Практический этап.

1. Поиск и решение задач

Для того чтобы сформировать мнение о вычислительной практике Древней Руси мной было принято решение составить рабочую тетрадь.

Для этого я выполнил следующие задачи:

1. Собрать задачи древнерусских математиков
2. Решить данные задачи

Для того чтобы найти задачи, я обратился к ресурсам интернета. Мной были собраны 12 задач, которые использовались древнерусскими математиками (приложение 3). Во время решения этих задач я столкнулся с некоторыми трудностями, связанными с непонятным мне, современному человеку, условием.

2. Создание рабочей тетради

Во время создания у меня возникли проблемы с выбором оформления проектного продукта. В итоге я решил оформлять как рабочую тетрадь. Размер листа мной был выбран 16,5×20,5 см. Для распечатки продукта проекта я обратился к услугам компании Kodak.

5. Заключительный этап. Самооценка

Во время работы над проектом я провёл анкетирование. Познакомился с историей развития математики на Древней Руси. Я изучил особенности решения задач по математике, собрал их и решил. Из собранных задач я составил рабочую тетрадь. В результате проделанной работы можно сделать следующий вывод: цель работы была достигнута, задачи выполнены.

При работе над проектом я:

• познакомился с историей математики Древней Руси;
• собрал и решил математические задачи;
• создал рабочую тетрадь.

В ходе выполнения проекта я столкнулся с некоторыми трудностями. У меня не было достаточно знаний по истории развития математики на Древней Руси, поэтому пришлось обращаться к дополнительным материалам для более глубокого изучения данной темы.

Я считаю, что тема моей работы актуальна, так как более глубокое знание истории предмета помогает лучше его понять и изучить.  

В процессе выполнения работы я понял, что древнерусская математика была далеко не так слабо развита, как думал я. В конце хочу добавить, что это было очень познавательно для меня.

Список информационных ресурсов

1. https://dzen.ru/media/cyrillitsa.ru/kakoi-byla-matematika-na-rusi-5ba3b2c73f25cd00ab1ff961
2. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8
3. http://xn----7sbbao2ali0aghq2c8b.xn--p1ai/publ/zanimatelnaja_matematika/matematika_vchera_segodnja_zavtra/matematika_v_drevnej_rusi/25-1-0-463
4. https://nsportal.ru/npo-spo/obrazovanie-i-pedagogika/library/2018/06/08/istoriya-razvitiya-matematiki-na-rusi
5. https://www.krugosvet.ru/enc/matematika/matematiki-istoriya#:~:text=%D0%A1%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%B9%20%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B4%D0%B5%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20%D0%B1%D1%8B%D0%BB,%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%BC%20%D0%BF%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%D1%80%D1%83%D0%BA%20%D0%B8%20%D0%BD%D0%BE%D0%B3
6. https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/477271
7. https://infourok.ru/uchebnyj-proekt-na-temu-zadachi-drevnej-rusi-6044992.html

Приложение 1.

АНКЕТА

1. Была ли по Вашему мнению математика в Древней Руси хорошо развита?

- да

- нет

2. Ограничивалась ли она простейшим счетом?

- да

- нет

3. Когда по Вашему мнению началось развитие математики на Руси?

указать__________________________

Приложение 2.

Приложение 3.

1. Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было и женска порознь? (Гривна, гривенник – десять копеек, алтын равнялся трем копейкам). (Задача из счётной мудрости)
2. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который перебегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут- 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
3. Спросил некто учителя: « Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет ещё учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?
4. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?
5. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, со женою выпьет тое же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет тое же кадь?
6. Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублев и кафтан. Но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Он же (хозяин) дал ему по достоинству расчет 5 рублев и кафтан, и знать надлежит, какой цены оный кафтан был. (Л. Ф. Магницкий)
7. Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи? (Л. Ф. Магницкий)
8. Двое ели сливы. Один сказал другому. «Дай мне свои две сливы, тогда будет у нас слив поровну»,— на что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы, — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив было у каждого? (Л. Ф. Магницкий)
9. Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий – 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т.д.»
10. От числа одну восьмую взяв, прибавь ты к ней любую половину от трехсот, и восьмушка превзойдёт не чуть-чуть – на пятьдесят три четвёртых. Буду рад, если тот, кто знает счёт, мне число то назовёт.
11. Путник! Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла ещё жизни – покрылся пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провёл Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына. Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец восприял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

12. Путник, догнав другого, спросил его: «Далеко ли до деревни, которая впереди?» Другой путник ответил: « Расстояние от деревни, из которой ты идёшь, равно трети всего расстояния меду деревнями. А если пройдёшь ещё две версты, будешь ровно посередине между деревнями. Сколько вёрст осталось идти первому путнику?

Приложение 4.

1. Пусть x мужчин, а женщин (120-х). Единица измерения – копейки. Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению

12х +(120 – х) * 9 = 1200.

х = 40, тогда 120- 40 = 80.

Ответ: 40 мужчин, 80 женщин

2. 1) Узнаем скорость зайца за 1 минуту:

500 : 2 = 250 саж.

2) Узнаем скорость собаки за 1 минуту:

1300 : 5 = 260 саж.

3) Узнаем на сколько собака быстрее зайца:

260 - 250 = 10 саж.

4) Узнаем через сколько собака догонит зайца:

150 : 10 = 15 мин.

Ответ: Через 15 минут собака догонит зайца. 

3. Пусть у учителя в классе четвертая часть - х учеников, "полстолько" - 2х учеников, всего - 4х учеников, сын некто - 1. Т.к всего получается 100 учеников, то составим и решим уравнение.

4х+4х+2х+х+1=100

11х+1=100

11х=100-1

11х=99

х=99:11

х=9

Т.к. х=9, то всего учеников в классе 4*9=36.

Ответ: 36 учеников.

4. 1 артель : 0.5 артели = в 2 раза.

2. Во сколько раз большую часть большого луга скосили в первую половину дня?

в 2 раза.

3. Какую часть большого луга скосили после обеда?

1 : (1 + 2) = 1/3 часть.

4. Какую часть маленького луга скосили после обеда?

1/3 * 2 = 2/3.

5. Какую часть маленького луга скосили на следующий день?

1 - 2/3 = 1/3.

6. Во сколько раз половина артели скосила за половину дня больше, чем 1 косец за 1 день?

2/3 : 1/3 = 2.

7. Сколько косцов в артели?

2 * 2 * 2 = 8 косцов.

Ответ:8 косцов.

5. Решим данную задачу по действиям и подробно поясним каждое из них.

1) 1 : 14 = 1/14 части Кади питья — выпьет один человек за один день, так как он выпьет Кадь питья в 14 дней;

2) 1 : 10 = 1/10 части Кади питья — выпьет один человек и жена за один день вместе, так как они вместе могут выпить всю Кадь питья за 10 дней;

3) 1/10 - 1/14 = 7/70 - 5/70 = 2/70 = 1/35 части Кади питья — жена за один день;

4) 1 : 1/35 = 1 * 35 = 35 дней — выпьет жена всю Кадь питья.

Ответ: за 35 дней.

6. Пусть x руб. — стоимость кафтана.

(x + 12):12 = = (x + 5):7

Х = 4,8 .  Итак, кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (руб.).

Ответ: 4,8 рублей.

7. Пусть х орехов в меньшей части

4х:1=(130-х):3

х = 10.

Итак, меньшая часть должна содержать 130:13=10 орехов, а большая 130 — 10 = 120 орехов.

Ответ:  10 орехов, 120 орехов.

8. Пусть x слив было у первого собеседника, а у слив у второго.

х + 2 = у – 2,

2(х - 2)  = у+2.

х = 10, у = 14.

Исходя из решения системы уравнений,   получаем, что до передачи двух слив у одного было 10 слив, а у другого было 14 слив.

Ответ: 10 слив, 14 слив.

9. Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000 рублей меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 рублей меньше предыдущего. Так как по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000 рублей, а остальные 7000 рублей получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 49000 рублей.

Ответ: было 7 сыновей, 49000 рублей.

10. 1/8х+150=3/4х+50

1/8х-3/4х=50-150

5/8х=100

Х=160

Ответ. 160.

11. Приняв всю жизнь Диофанта за х, можно составить уравнение

х/6+х/12+х/7+5+х/2+4=х

14х+7х+12х+420+42х+336=84х

9х=756

х=84

Ответ: Диофант женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.

12. 2 версты, которые нужно пройти до середины, составляют 1/6

всего расстояния до деревни.

2*6=12( вёрст) всё расстояние 12:3=4( версты) прошёл путник 12-4=8 (вёрст) осталось.

Ответ: 8 вёрст

Приложение 5.

1. Ответ: 40 мужчин, 80 женщин.
2. Ответ: Через 15 минут собака догонит зайца.
3. Ответ: 36 учеников.
4. Ответ: 8 косцов.
5. Ответ: за 35 дней.
6. Ответ: 4,8 рублей.
7. Ответ:  10 орехов, 120 орехов.
8. Ответ: 10 слив, 14 слив.
9. Ответ: было 7 сыновей, 49000 рублей.
10. Ответ: 160.
11. Ответ: Диофант женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.
12. Ответ: 8 вёрст