ПРОЕКТ

по направлению: инженерно-техническое

Машина Поста для изучения программирования

г. Шахты, 2023

Содержание

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ        3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И НАЗНАЧЕНИЕ МАШИНЫ ПОСТА        4

Всего для машины Поста существует шесть типов команд:        5

Варианты окончания выполнения программы на машине Поста:        5

Научная литература:        15

ВВЕДЕНИЕ

При изучении программирования самым сложным для учеников является разработка алгоритмов. Для облегчения понимания создания алгоритма можно использовать универсальные исполнители, разработанные в середине 20 века.

 Целью данного проекта является описание принципа работы машины Поста, разработка заданий для отработки навыков составления алгоритмов.

Одной из фундаментальных статей, результаты которой лежат в основе современной теории алгоритмов является статья Эмиля Поста (Emil Post), «Финитные комбинаторные процессы, формулировка 1», опубликованная в 1936 году в сентябрьском номере «Журнала символической логики». Пост рассматривает общую проблему, состоящую из множества конкретных проблем, при этом решение общей проблемы это такое решение, которое доставляет ответ для каждой конкретной проблемы. Например, решение уравнения 3*х+9=0 – это одна из конкретных проблем, а решение уравнения a*x+b=0 – это общая проблема, тем самым алгоритм (сам термин «алгоритм» не используется Постом) должен быть универсальным, т.е. должен быть соотнесен с общей проблемой. Основные понятия алгоритмического формализма Поста – это пространство символов (язык L) в котором задаётся конкретная проблема и получается ответ, и набор инструкций, т.е. операций в пространстве символов, задающих как сами операции, так и порядок выполнения инструкций.

Почти одновременно с Постом к созданию универсального алгоритма пришли: А. Тьюринг и А. Марков.

 Маши́на Тью́ринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом (рисунок 1) в 1936 году для формализации понятия алгоритма.

 Рисунок 1.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И НАЗНАЧЕНИЕ МАШИНЫ ПОСТА

Машина Поста – это абстрактная (несуществующая реально) вычислительная машина, созданная для уточнения (формализации) понятия алгоритма. Представляет собой универсальный исполнитель, позволяющий вводить начальные данные и читать результат выполнения программы. Машина Поста представлена на рисунке 2.

Рисунок 2.

В 1936 г. американский математик Эмиль Пост в статье описал систему, обладающую алгоритмической простотой и способную определять, является ли та или иная задача алгоритмически разрешимой. Если задача имеет алгоритмическое решение, то она представима в форме команд для машины Поста.

Машина Поста состоит из:

1. бесконечной ленты, поделенной на одинаковые ячейки (секции). Ячейка может быть пустой (0 или пустота) или содержать метку (1 или любой другой знак),
2. головки (каретки), способной передвигаться по ленте на одну ячейку в ту или иную сторону, а также способной проверять наличие метки, стирать и записывать метку.

Текущее состояние машины Поста описывается состоянием ленты и положением каретки. Состояние ленты – информация о том, какие секции пусты, а какие отмечены. Шаг – это движение каретки на одну ячейку влево или вправо. Состояние ленты может изменяться в процессе выполнения программы.

Кареткой управляет программа, состоящая из строк команд. Каждая команда имеет следующий синтаксис:

i K j,

где i - номер команды, K – действие каретки, j - номер следующей команды (отсылка).

Всего для машины Поста существует шесть типов команд:

V j - поставить метку, перейти к j-й строке программы.

X j - стереть метку, перейти к j-й строке программы.

<- j - сдвинуться влево, перейти к j-й строке программы.

-> j - сдвинуться вправо, перейти к j-й строке программы.

? j1; j2 - если в ячейке нет метки, то перейти к j1-й строке программы, иначе перейти к j2-й строке программы.

! – конец программы (стоп).

Варианты окончания выполнения программы на машине Поста:

1. Команда "стоп" - корректная остановка. Возникает в результате выполнения правильно написанного алгоритма.
2. Выполнение недопустимой команды – нерезультативная остановка. Случаи, когда головка должна записать метку там, где она уже есть, или стереть метку там, где ее нет, являются аварийными (недопустимыми).
3. Уход в бесконечность, зацикливание. Машина Поста в результате работы алгоритма может вообще не остановиться (никогда не дойти до команды «стоп» и никогда не завершиться аварийной ситуацией).

Элементарные действия (команды) машина Поста проще команд машины Тьюринга. Поэтому программы для машины Поста имеют большее число команд, чем аналогичные программы для машины Тьюринга. Поэтому достаточно лишь два различных символа (есть метка, нет метки)? Дело в том, что любой алфавит может быть закодирован двумя знаками; в зависимости от алфавита возрастать может только количество двоичных символов в букве алфавита.

 Слева перечисляются все состояния, в которых может находиться автомат, сверху – все символы (в том числе и Λ), которые автомат может видеть на ленте. (Какие именно символы и состояния указывать в таблице – определяет автор программы.) На пересечениях же (в ячейках таблицы) указываются те такты, которые должен выполнить автомат, когда он находится в соответствующем состоянии и видит на ленте соответствующий символ. В целом таблица определяет действия МТ при всех возможных конфигурациях и тем самым полностью задаёт поведение МТ. Описать алгоритм в виде МТ – значит предъявить такую таблицу. Часто МТ определяют как состоящую из ленты, автомата и программы, поэтому при разных программах получаются разные МТ.

Пример

 Рассмотрим одну из кратчайших реализаций умножения двух натуральных чисел. Числа n и m записываются на ленте в единичной системе счисления, разделяются одной пустой ячейкой. Вход/выход алгоритма может быть таким (отмечено начальное положение каретки):

 v

..01110110.. → ..01111110..

 3 * 2 = 6

Идея алгоритма — краткое сложение. В каждом проходе цикла машина «откусывает» один бит от левого множителя и «копирует» самый правый имеющийся блок (вначале это второй множитель, затем — его последняя копия). Когда левый множитель «закончится», на ленте остается n блоков по m единиц. Их слияние дает искомое число n*m.

Код

 0. ! - команда остановки, выполнение начинается со строки №1

 1. 0 - главный цикл

 2. →

 3. ? 29, 4 - 29:левый множитель закончился

 4. →

 5. ? 6, 4

 6. →

 7. ? 8, 4

 8. ←

 9. ←

10. 0 - копирование правого блока

11. →

12. ? 13, 11

13. →

14. ? 15, 13

15. 1

16. ←

17. ? 18, 16

18. ←

19. ? 20, 18

20. 1

21. ←

22. ? 23, 10 - конец блока копирования

23. ←

24. ? 25, 23

25. ←

26. ? 27, 23

27. →

28. → 1

29. → - слияние копий второго множителя

30. 0

31. →

32. ? 33, 31

33. 1

34. →

35. ? 0, 36 - выход из программы

36. ←

37. ? 29, 36

Проверить корректность алгоритма можно в уме, на листочке, либо с помощью этой программы. Это самая короткая известная мне реализация умножения. Однако, потенциально ее можно ужать еще сильнее, если придумать, как экономно объединить процессы создания копий и их слияния в единый массив.

Задачи для самостоятельной работы

1. На ленте расставлены метки, между которыми могут быть пропуски длиной в одну ячейку. Заполнить все пропуски метками. Каретка стоит над самой левой меткой.

Примеры на составление программ для МТ

 Рассмотрим примеры на составление программ для МТ, чтобы продемонстрировать некоторые типичные приёмы программирования на МТ. Для сокращения формулировки задач введём следующие два соглашения: – буквой Р будем обозначать входное слово; – буквой А будем обозначать алфавит входного слова, т.е. набор тех символов, из которых и только которых может состоять Р (отметим, однако, что в промежуточных и выходном словах могут появляться и другие символы).

Пример

1)(перемещение автомата, замена символов) А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Пусть Р – непустое слово; значит, Р – это последовательность из десятичных цифр, т.е. запись неотрицательного целого числа в десятичной системе. Требуется получить на ленте запись числа, которое на 1 больше числа Р. Решение. Для решения этой задачи предлагается выполнить следующие действия: 1. Перегнать автомат под последнюю цифру числа. 2. Если это цифра от 0 до 8, то заменить её цифрой на 1 больше и остановиться

3. Если же это цифра 9, тогда заменить её на 0 и сдвинуть автомат к предыдущей цифре, после чего таким же способом увеличить на 1 эту предпоследнюю цифру

4. Особый случай: в Р только девятки (например, 99). Тогда автомат будет сдвигаться влево, заменяя девятки на нули, и в конце концов окажется под пустой клеткой. В эту пустую клетку надо записать 1 и остановиться (ответом будет 100)

Пример 2

(анализ символов) А={a,b,c}. Перенести первый символ непустого слова Р в его конец.

Решение. Для решения этой задачи предлагается выполнить следующие действия: 1. Запомнить первый символ слова P, а затем стереть этот символ. 2. Перегнать автомат вправо под первую пустую клетку за P и записать в неё запомненный символ. Как «бегать» вправо, мы уже знаем из предыдущего примера. А вот как запомнить первый символ? Ведь в МТ нет другого запоминающего устройства, кроме ленты, а запоминать символ в какой-то клетке на ленте бессмысленно: как только автомат сдвинется влево или вправо от этой клетки, он тут же забудет данный символ. Что делать? Выход здесь таков – надо использовать разные состояния автомата. Если первый символ – это a, то надо перейти в состояние q2, в котором автомат 9 бежит вправо и записывает в конце a. Если же первым был символ b, тогда надо перейти в состояние q3, где делается всё то же самое, только в конце записывается символ b. Если же первым был символ c, тогда переходим в состояние q4, в котором автомат дописывает за входным словом символ c. Следовательно, то, каким был первый символ, мы фиксируем переводом автомата в разные состояния. Это типичный приём при программировании на МТ.

Пример 3 (сравнение символов, стирание слова)

А={a,b,c}. Если первый и последний символы (непустого) слова Р одинаковы, тогда это слово не менять, а иначе заменить его на пустое слово. Решение. Для решения этой задачи предлагается выполнить следующие действия: 1. Запомнить первый символ входного слова, не стирая его. 2. Переместить автомат под последний символ и сравнить его с запомненным. Если они равны, то больше ничего не делать. 3. В противном случае уничтожить всё входное слово. Как запоминать символ и как перегонять автомат под последний символ слова, мы уже знаем из предыдущих примеров. Стирание же входного слова реализуется

10 заменой всех его символов на символ Λ. При этом, раз уж автомат оказался в конце слова, будем перемещать автомат справа налево до первой пустой клетки. Эти действия описываются следующей программой для МТ (напомним, что крестик в ячейке таблицы означает невозможность появления соответствующей конфигурации при выполнении программы).

Пример 4 (удаление символа из слова)

А={a,b}. Удалить из слова Р его второй символ, если такой есть. Решение. Казалось бы, эту задачу решить просто: надо сдвинуть автомат под клетку со вторым символом и затем очистить эту клетку.

Однако напомним, что внутри выходного слова не должно быть пустых клеток. Поэтому после удаления второго символа надо «сжать» слово, перенеся первый символ на одну клетку вправо. Для этого автомат должен вернуться к первому символу, запомнить его и стереть, а затем, снова сдвинувшись вправо, записать его в клетку, где был второй символ. Однако начальный «поход» вправо ко второму символу, чтобы его стереть, и последующий возврат к первому символу являются лишними действиями: какая разница – переносить первый символ в пустую клетку или в клетку с каким-то символом? Поэтому сразу запоминаем первый символ, стираем его и записываем вместо второго символа.

 Пример 5 (сжатие слова)

А={a,b,c}. Удалить из слова Р первое вхождение символа a, если такое есть.

Решение. В предыдущем примере мы переносили на позицию вправо только один символ. В данном же примере мы будем в цикле переносить вправо все начальные символы b и c входного слова – до первого символа a или до пустой клетки.

 Центральный момент здесь – как перенести символ x из левой клетки в очередную клетку, где находится некоторый символ y, чтобы затем этот символ y можно было перенести в правую клетку? Если через qx обозначить состояние, в котором в видимую клетку надо записать символ x, находившийся ранее в клетке слева.

 Для этого предлагается выполнить такт x,R,qy , в котором объединены следующие три действия: во-первых, в видимую клетку записывается символ x, взятый из клетки слева; во-вторых, автомат сдвигается вправо – под клетку, в которую затем надо будет записать только что заменённый символ y; в-третьих, автомат переходит в состояние qy, в котором он и будет выполнять эту запись. Повторение таких тактов в цикле и приведёт к сдвигу вправо на одну позицию начальных символов входного слова. Этот цикл должен закончиться, когда в очередной клетке окажется символ a или Λ (y=a или y=Λ), а в начале цикла можно считать, что на место первого символа слева переносится символ «пусто» (x=Λ).

Пример 6 (вставка символа в слово)

А={a,b,c}. Если Р – непустое слово, то за его первым символом вставить символ Решение. Ясно, что между первым и вторым символами слова Р надо освободить клетку для нового символа a. Для этого надо перенести на одну позицию влево b b c b a a → b b a a → b c a a → b c b a ↑ ↑ ↑ ↑ c b ... y z ... → ... x z ... ↑ ↑ q x q y первый символ (на старом месте его можно пока не удалять), а затем, вернувшись на старое место, записать символ a.

 Перенос символа на одну позицию влево аналогичен переносу символа вправо, о чём говорилось в двух предыдущих примерах, поэтому приведем программу для МТ без дополнительных комментариев. Отметим лишь, что в состояниях q2, q3 и q4 автомат может видеть только пустую клетку, а в состоянии q5 он обязательно видит первый символ входного слова, но не пустую клетку.

Пример 7 (раздвижка слова)

А={a,b,c}. Вставить в слово P символ a за первым вхождением символа c, если такое есть. Решение. Просматриваем входное слово слева направо до пустой клетки или до первого символа c. В первом случае c не входит в P, поэтому ничего не делаем. Во втором случае надо освободить место для вставляемого символа a, для чего сдвигаем начало слова P (от первого символа до найденного символа c) на одну позицию влево. При этом осуществляем такой сдвиг справа налево – от символа c к началу слова, раз уж автомат находится под этим символом. Кроме того, чтобы затем не возвращаться к освободившейся позиции, начинаем этот сдвиг с записи a вместо найденного символа c. Поскольку этот циклический сдвиг влево реализуется аналогично циклическому сдвигу вправо

Пример 8 (формирование слова на новом месте)

А={a,b,c}. Удалить из P все вхождения символа a. Решение. Предыдущие примеры показывают, что в МТ достаточно сложно реали- зуются вставки символов в слова и удаления символов из слов. Поэтому иногда проще не раздвигать или сжимать входное слово, а формировать выходное слово в другом, свободном месте ленты. Именно так мы и поступим при решении данной задачи. Конкретно предлагается выполнить следующие действия: 1. Выходное слово будем строить справа от входного. Чтобы разграничить эти слова, отделим их некоторым вспомогательным символом, например знаком =, отличным от всех символов алфавита A (см. шаг 1). (Напомним, что на ленте могут быть записаны не только символы из алфавита входного слова.) 2. После этого возвращаемся к началу входного слова

3. Теперь наша задача – перенести в цикле все символы входного слова, кроме a, вправо за знак = в формируемое выходное слово. Для этого анализируем первый символ входного слова. Если это a, тогда стираем его и переходим к следующему символу (см. шаг 3). Если же первый символ – это b или c, тогда стираем его и «бежим» вправо до первой пустой клетки, куда и записываем этот символ.

Снова возвращаемся налево к тому символу, который стал первым во входном слове, и повторяем те же самые действия, но уже по отношению к этому символу

4. Этот цикл завершается, когда при возврате налево мы увидим в качестве первого символа знак =. Это признак того, что мы полностью просмотрели входное слово и перенесли все его символы, отличные от a, в формируемое справа выходное слово. Надо этот знак стереть, сдвинуться вправо под выходное слово и остановиться

 С учётом всего сказанного и строим программу для МТ. При этом отметим, что помимо символов a, b и c в процессе решения задачи на ленте появляется знак =, поэтому в таблице должен быть предусмотрен столбец и для этого знака.

Заключение

Теория сложности также классифицирует и сложность самих проблем, а не только сложность конкретных алгоритмов решения проблемы. Теория рассматривает минимальное время и объем памяти, необходимые для решения самого трудного варианта проблемы на теоретическом компьютере, известном как машина Тьюринга. Машина Тьюринга представляет собой конечный автомат с бесконечной лентой памяти для чтения записи и является реалистичной моделью вычислений.

Задачи можно разбить на классы в соответствии со сложностью их решения. Вот важнейшие из них и предполагаемые соотношения между ними:

P<=NP<=EXPTIME

Находящийся слева класс P включает все задачи, которые можно решить за полиномиальное время. В класс NP входят все задачи, которые можно решить за полиномиальное время только на недетерминированной машине Тьюринга (это вариант обычной машины Тьюринга, которая может делать предположения). Такая машина предполагает решение задачи – либо “удачно угадывая”, либо перебирая все предположения параллельно – и проверяет свое предположение за полиномиальное время.

Класс NP включает в себя класс P, поскольку любую задачу, решаемую за полиномиальное время на детерминированной (обычной) машине Тьюринга, можно решить и на недетерминированной за полиномиальное время, просто этап предположения опускается.

Если все задачи класса NP решаются за полиномиальное время и на детерминированной машине, то P=NP. Тем не менее, никем не доказано, что P<>NP (или P=NP). Однако, большинство специалистов, занимающихся теорией сложности, убеждены, что это классы неравны.

Как ни странно, можно доказать, что некоторые NP-задачи настолько же трудны, что и любая задача этого класса. Такие задачи называются NP-полными. То есть, если такая задача решается за полиномиальное время, то P=NP.

Научная литература:

1. Поляков, К.Ю. Иформатика. 11 класс (базовый и углубленный уровни) (в 2 частях) : учебник. Ч. 2/ К.Ю.Поляков, Е.А. Еремин. 2 — изд., стереотип . - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2020. - 302.
2. Колмыкова Е.А., Кумскова И.А. Информатика: учебной пособие для студ. сред. проф. образования. – 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 416 с. Михеева Е.В., Практикум по информатике. – М.: Издательский центр «Академия», 2008.
3. Михеева Е.В., Информационные технологии в профессиональной деятельности. – М.: Издательский центр «Академия», 2008.
4. Безручко В.Т. Информатика (курс лекций): учебное пособие. – М.: ИД «Форум»: ИНФРА-М, 2007. – 432.: ил. Шауцукова Л.З. Учебное пособие для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 416 с.: ил.
5. Симонович С.В., Евсеев Г.А.Алексеев А. Н. Общая информатика. Учебное пособие для средней школы. – М.: АСТ–Пресс: Инфорком–Пресс, 2007
6. Информатика: Базовый курс/ Симонович С.В.и др. – СПб.: Питер, 2008