Брошюра "Система подготовки к ЕГЭ 2023" . Методы решений тригонометрических уравнений (Задание 5,задание 12).
Вложение | Размер |
---|---|
Инд.проект "Методы решений тригонометрических уравнений" (Задание5, задание 12) | 446.13 КБ |
Выпускнику
Система подготовки к ЕГЭ – 2023
ЗАДАНИЕ 5
ЗАДАНИЕ 12
Решение тригонометрических уравнений
Ученик: Уразалинов Данияр Жанатович
Класс: 10 А
2023
СОДЕРЖАНИЕ
Номер урока | Тема урока | Страница |
5 | ||
Основные понятия, формулы корней | 5 | |
Типовые примеры | 6 | |
7 | ||
Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью разложения на множители | 8 | |
Основные понятия и метод решения | 8 | |
Типовые примеры | 9 | |
10 | ||
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным | 10 | |
Типовые примеры | 11 | |
12 | ||
Однородные тригонометрические уравнения | 13 | |
Основные понятия и методы решения | 13 | |
Типовые примеры | 14 | |
16 | ||
Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул тригонометрических преобразований | 16 | |
Основные понятия и методы решения | 18 | |
Типовые примеры | 19 | |
32 | ||
Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного аргумента | 20 | |
Основные понятия и методы решения | 20 | |
Типовые примеры | 22 | |
22 | ||
Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки | 23 | |
Основные понятия и методы решения | 23 | |
Типовые примеры | 24 | |
25 | ||
Решение уравнений, содержащие обратные тригонометрические функции Основные понятия и методы решения | 26 28 | |
Типовые примеры | 28 | |
30 | ||
Задание №5 ЕГЭ Типовые примеры | 30 30 32 | |
Задание №12 ЕГЭ Типовые примеры | 33 33 36 | |
Для заметок | 38 |
Тема1. Простейшие тригонометрические уравнения
Цель:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Определение.
Уравнения вида sinx = a , cosx = а , tgx = a , сtgx = a , где x – переменная, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Уравнение | Ограничения | Решение |
sin = a | -1≤≤1 | |
cos =a | -1≤≤1 | |
tg =a | ||
ctg =a |
Пример 1.1.
Решите уравнение: .
;
.
Ответ: .
Пример 1.2.
Решите уравнение .
;
Ответ: ;
Примечание: для решения простейших уравнений удобно пользоваться тригонометрической окружностью, в этом случае пользоваться формулами не придётся. Решим уравнение с помощью окружности (рис.1):
Ответ:, .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
ctg x=1 |
Тема 2. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.
Цель:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Определение.
Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения нескольких множителей. При решении тригонометрических уравнений этим способом мы преобразуем сумму или разность тригонометрических функций в произведение с помощью всех известных способов разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул).
Пример 2.1.
Решите уравнение:
sin=0; sin-1;
х = ; sin
х =,
Ответ: ; ,
Пример 2.2.
Решите уравнение:.
=0; -4;
;
х=,
Ответ: ,
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
Тема 3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.
Цель:
Уравнение вида или называется тригонометрическим уравнением, сводящимся к квадратным.
Для решения уравнений данного вида следует ввести новую переменную или . В результате приходим к квадратному уравнению bt+c=0. Решаем полученное уравнение относительно переменной t, затем подставляем полученные значения в выражение, которое было обозначено за t.
Если в уравнении присутствуют различные тригонометрические функции, например:
, то для его решения можно представить как , сведя уравнение к виду: .
Пример 3.1.
Решите уравнение: .
2(;
2;
2;
;
;
корень не удовлетворяет условию.
Ответ: ;
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
Тема 4. Однородные тригонометрические уравнения.
Цель:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Определение.
Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Уравнение вида называют однородным уравнением второй степени.
Итак, дано уравнение ,
где
Разделив обе части уравнения на , получим:
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:
Рассмотрим теперь тригонометрическое уравнение второй степени:
Разделим обе части уравнения на :
Получившееся уравнение решается путём введения новой переменной а затем сводится к простейшему.
Если коэффициент a равен нулю, уравнение принимает вид:
.
Данное уравнение решается методом разложения на множители:
или .
Получились два уравнения, одно из которых простейшее, а другое является однородным первой степени и которое сводится к простейшему.
Примечание: делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение не обращается в ноль. Синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю, значит деление на или не приведёт к потере корней.
Пример 4.1.
Решите уравнение .
;
Ответ: .
Пример 4.2.
Решите уравнение
=0.
1); 2)
Ответ:,
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ | ||||
Цель:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Определение.
При решении тригонометрических уравнений применяются следующие формулы тригонометрических преобразований:
Преобразование суммы в произведение | Синус, косинус суммы и разности аргументов |
Формулы двойного угла | Формулы понижения степени |
Формулы приведения |
Данные формулы позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Но нельзя забывать, что правые части этих формул не определены при . Поэтому, если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, нужно выполнить проверку.
Пример 5.1.
Решите уравнение:
;
;
;
или;
; ;
; ;
Ответ: , .
Пример 5.2.
Решите уравнение: .
;
;
;
;
Ответ: , -.
Пример 5.3.
Решите уравнение: .
;
;
;
;
.
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
Тема 6. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью вспомогательного аргумента.
Цель:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Определение.
Разделить обе части уравнения на найденный коэффициент.(вспомогательный аргумент).
Получаем:
При этом коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:
, ;
То есть мы можем обозначить за , а за , где – вспомогательный угол.Тогда уравнение приобретает вид:
По формуле синуса суммы можно получить уравнение вида:
Где или .
Если
Пример 6.1.
Решить уравнение 3 cosx+ 5 sinx=4.
где
Ответ:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
Тема 7. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки.
Цель:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Определение.
Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки - уравнения, при решении которых используется подстановка:
Данные формулы позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Но нельзя забывать, что правые части этих формул не определены при . Поэтому, если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, нужно выполнить проверку.
Решить уравнение sin 2x + tgx =2.
, тогда:
или
Так как дискриминант во втором уравнении меньше нуля, то уравнение не имеет корней. Значит, уравнение имеет только один корень .
Рис.3
x=
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало tg x. Значит, корень проверять не нужно.
Ответ:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
5sin2x-5cos2x=tgx+5 |
Тема 8. Тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.
Цель:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Определение.
Тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции- уравнения, содержащие функции:
,
Для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, необходимо знать:
Уравнение | Ограничения |
Уравнение | Решение |
Примечание: при решении уравнений видов, обозначенных в таблице номерами 1-4, их корнем может быть число, для которого и .
Уравнение | Тождество | Решение |
Пример 8.1.
Решить уравнение
.
);
;
;
;
; .
Ответ: 4; -1.
Пример 8.2.
Решить уравнение
Решим равносильную систему:
;
Получаем:
;
Ответ: -0,5.
Пример 8.3.
Решить уравнение .
;
;
Ответ: 1.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
2 arcsin 2x = arccos 7x | ||
arcsin(x 2 − 4x + 4) = . | 1;3. |
Цель:
Пример 9.1.
Последовательно получаем:
Значениям соответствуют положительные корни.
Если то и
Если то и
Значениям соответствуют меньшие значения корней.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число
Ответ: −4.
Пример 9.2.
Решите уравнение В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Последовательно получаем:
Значению соответствует Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.
Ответ: −1.
Пример 9.1.
Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.
Последовательно получаем:
Значениям соответствуют отрицательные корни.
Если то и
Если то и
Значениям соответствуют большие положительные корни.
Наименьшим положительным решением является 0,5.
Ответ: 0,5.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень. | 4 | |
Решите уравнение В ответе напишите наибольший отрицательный корень | -1 | |
Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень. | -0,5 | |
Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень. | -0,25 | |
Решите уравнение В ответе напишите наибольший отрицательный корень | -2 |
Цель:
Пример 10.1.
а) Решите уравнение;
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .
а) Используем формулу приведения:
;
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
;
Вынесем общий множитель:
;
или ;
;
;
б) Существует несколько способов отбора корней. Применим графический способ отбора корней на координатной прямой (рис.4)
1) Отметим на прямой отрезок ;
2) Отметим точки ,, ;
3) Отсчитываем от этих точек соответственно до тех пор, пока не попадём в отрезок .
4) Получаем точки .
Рис.4
Пример 10.1.
Решите уравнение .
.
на тригонометрической окружности (рис.4).
;
или
(рис.5)
Ответ: .
-
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения:
№ | Текст задания | Ответ |
Решите уравнение б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку | а) б) | |
а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку | а) б) | |
а) Решите уравнение б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку | а) б) | |
а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку | а) б) | |
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку | а) б) |
Как нарисовать осеннее дерево акварелью
Стрижонок Скрип. В.П. Астафьев
Горячо - холодно
Нарисуем попугая цветными карандашами
Повезло! Стихи о счастливой семье