Числовые конструкции

ЧИСЛОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ.

СУММЫ КВАДРАТОВ И КУБОВ ПОПАРНО РАЗНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Работу выполнили:

Омельченко Анна,

Дадуева Виолетта,

учащиеся 9- Б класса ГБОУ школы № 573

Приморского района Санкт-Петербурга

Научный руководитель:

Ганзера Анна Александровна,

учитель высшей квалификационной категории,

учитель математики

ГБОУ школы № 573

Приморского района Санкт-Петербурга

Санкт-Петербург

2023

Оглавление

Вступление

        Знакомство с числовыми конструкциями

Раздел 1. Пифагоровы числа.

1.1. Пифагоровы числа - целый множитель

1.2. Тройки взаимно простых Пифагоровых чисел

1.3. Формулы Пифагоровых троек.

Раздел 2. Исследование конструкций.

2.1. Числовая конструкция суммы квадратов n попарно различных натуральных чисел.

2.2. Числовая конструкция суммы кубов n попарно различных натуральных чисел.

2.3. Числовая конструкция суммы четвертых степеней n попарно различных натуральных чисел.

2.4. Числовая конструкция «Произведение и интересная функция»

Выводы

Литература

Говорят, что числа управляют миром.

Нет, они только указывают, как править миром.

Иоганн Гёте

Вступление

Работа посвящена теме, которая волновала и продолжает волновать людей, увлеченных математикой -  «числовые конструкции, суммы кубов и квадратов».

Очень давно наши предки не знали счета. Они делили предметы на «один» и «много». Впоследствии считали на пальцах. Позже появились числа. Хотя наука об элементарной теории чисел является самой древней в математике, она остается актуальной и сегодня.

Пифагор говорил: «Все есть число». К числам он хотел свести весь мир, и математику в том числе. Математика - одно из религиозных учений пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка. Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях скрыта тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейцев особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, которые равнялись сумме своих делителей, называли совершенными (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, каждое из которых равнялось сумме делителей другого (например 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные,  ввел понятие фигурного числа. В программе школьного курса математики мы познакомились с пифагоровыми тройками натуральных чисел, у которых квадрат одного из них равнялся сумме квадратов двух других (Великая теорема Ферма). Пифагоровы тройки позволяют  быстро находить стороны прямоугольного треугольника, если все они выражены в натуральных числах.  

При переходе к трехмерному пространству, следует дать ответ на следующий вопрос: а существуют ли прямоугольные параллелепипеды, стороны и диагонали которого выражаются натуральными числами. Эйлер высказал предположение о том, что не существует параллелепипеда, у которого все ребра и диагонали были бы квадратами натуральных чисел. М. Вард доказал (1945 год), что не существует таких параллелепипедов среди тех, у которых диагонали не превышают 108.  

В нашей работе, на основе изучения пифагоровых троек, мы исследовали вопрос существования такого прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого выражена натуральным числом при натуральных длинах ребер, то есть поставили и решили следующую задачу: исследовать существование натурального числа, квадрат которого может быть представленным в виде суммы трех квадратов натуральных чисел и расширили поставленную задачу.

Эта тема очень интересная и поучительная, к тому же она развивает мышление.

В нашей работе рассмотрены и две другие числовые конструкции, материалом для которых служат натуральные числа. На вопрос о существовании необходимой конструкции возможны два ответа: да или нет.

Цель работы:

• на основе изучения вопроса о пифагоровых тройках, исследовать числовые конструкции суммы квадратов и кубов попарно различных натуральных чисел;
• исследовать и решить другие задачи, связанные с натуральными числами и построением числовых конструкций;
• расширить знания в области чисел.

Актуальность темы - очень много людей, заинтересованных математикой, но не очень много знают о широких свойствах чисел, поэтому эта тема остается актуальной и открытой.

Объектом исследования являются числовые конструкции.

Предметом исследования являются числовые конструкции суммы квадратов и кубов n попарно различных натуральных чисел.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

• изучить теоретические аспекты данной проблемы;
• рассмотреть отдельные пифагоровы тройки и вывести общую формулу их вычисления;
• рассмотреть и построить числовые конструкции для суммы квадратов и кубов попарно различных натуральных чисел;
• исследовать и построить оптимизационные функции произведения и сверхстепенные натуральных чисел, сумма которых задана по условию;
• сделать попытки в обобщении полученных числовых конструкций.

Знакомство с числовыми конструкциями

С древних времен миру известны числовые структуры. Особое место среди них занимают магические квадраты, основные типы и виды которых достаточно полно исследованы и изучены в литературе. Одним из примеров магического квадрата является квадрат 4×4. Это  квадрат четвертого порядка, который состоит из чисел от 1 до 16,  все его ряды – и горизонтальные, и вертикальные, и те, которые расположены по диагонали, а также четверки чисел, объединенных другими признаками симметричного расположения (четыре центральных числа, четыре при вершинах квадрата, и т.д.)- Все они считаются счастливыми. Это означает, что в любой четверке чисел, взятых отдельно,  при сложении дают одну и ту же сумму (в квадрате четвертого порядка она равна 34).

Такие свойства суммы чисел дали основание рассматривать и другие задачи, связанные с числовыми конструкциями:

Задача1.  Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 21 на группы так, чтобы наибольшее число каждой группы было равно сумме других чисел группы.

Задача 2. Можно ли подобрать пять целых чисел так, чтобы все их попарные суммы составляли десять последовательных целых чисел?

Задача 3. даны n гирь, массы которых равны соответственно 1, 2..., n грамм. Для каких n эти гири можно разложить на три равные по массе кучки?

Задача 4. Дано 555 гирь, массы которых равны соответственно 1, 2, 3, ...,555 граммов. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы в каждой группе было одинаковое количество гирь и общая масса которых в каждой купце была одинакова?

Задача 5. Можно ли числа 1, 2, 3, ...,n расставить в таком порядке, чтобы ни для каких двух из них полусумма не равнялась числу, поставленному между ними?  

РАЗДЕЛ 1.

Пифагоровы числа

1.1. Пифагоровы числа. Целый множитель

      Множество целых чисел a, b, c, которые удовлетворяют соотношению:

, называются Пифагоровыми числами.

   Если взять Пифагорову тройку a, b, c и умножить на любое целое число, то получим Пифагорову тройку: pa, pb, pc. Действительно. Таким образом, если Пифагоровы числа имеют общий множитель, то их можно сократить на этот множитель и получим тройку Пифагоровых чисел.

1.2. Тройки взаимно простых Пифагоровых чисел

        Геометрическим содержанием Пифагоровых троек являются длины сторон прямоугольного треугольника, где с – длина гипотенузы, a и b – длины катетов.  Докажем, что один из катетов четный, а второй – нечетный. Допустим: если оба катета четные, то четным будет число a2 + b2, то есть – гипотенуза выражена четным числом. Тогда все три числа четны, то есть имеют общий множитель, противоречащий условию, о том, что a, b, c - не имеют общих множителей.

      Пусть оба катета нечетные, а гипотенуза – четная. Этого быть не может: если катеты имеют вид  и , то сумма их квадратов равна:

, то есть представляет собой число, которое при делении на 4 дает в остатке 2, а квадрат любого четного числа должен делиться на 4 без остатка.  Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом четного числа. То есть, числа не Пифагоровы.

     Вывод: если a, b, с Пифагоровы тройки, где а, b – катеты, то один из катетов обязательно четный, а второй катет и гипотенуза - нечетные.

1.3. Формулы Пифагоровых троек

  Общая формула для образования пифагоровых троек следующая:

x, у – произвольные числа при условии, что они не являются четными одновременно, поскольку  

х4 + 2х2у2+ у4 = х4 - 2х2у2 + у4 + 4х2 у2,

х4 + 2х2у2 + у4 = х4+ 2х2у2 + y4.

Причем с = х2 + y2, а = х2 - y2, b = 2ху

Например, возьмем два произвольных числа  это будет:

42 = 242 + 702

 то

(16+25)2 = (16-25)2 + 402

412 = 92 + 402

Числа х и у не могут быть четными одновременно, поскольку четным является с = х2 + y2, а мы доказали, что это невозможно.

Таким образом, мы нашли еще две Пифагоровы тройки.

РАЗДЕЛ 2.

Исследование конструкций

2.1. Числовая конструкция суммы квадратов n попарно различных натуральных чисел

Рассмотрим следующую конструкцию.

Докажите, что для любого натурального n существует такое натуральное число, квадрат которого можно подать в виде суммы 2,3..., n квадратов попарно разных натуральных чисел.

В основу конструкции положим произвольную Пифагорову тройку, например:

52=42+32.

Слагаемые будем записывать в порядке убывания.

Умножим обе части равенства на 52,

252=202+152

252=202+32∙52

252=202+32(42+32)

252=202+122+92. Итак, число 252 представлено в виде суммы квадратов двух и трех попарно разных натуральных чисел. Умножим обе части равенства на 52, получим

1252=1002+602+452

1252=1002+602+92(42+32)

1252=1002+602+362+272

1252 = 1002 +752.

Так мы показали, что существует число, квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов двух, трех, четырех попарно различных натуральных чисел.

Докажем это утверждение для произвольного n методом математической индукции. Примем за базу индукции равенство 252 = 202+152 = 202+122+92

Предположим, что для n = k существует такое А, квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов 2, 3,..., k попарно различных натуральных чисел :

А2= а212+а222 = а312+a322+а332 = ... = ак12+ ак22 + ... + akk2        

Докажем, что для n=k+1 найдется число, квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов 2,3..., k+1 .

Умножим заданное равенство на 52 :

(5А)2 = (5а21)2+(5а22)2 = (5а31)2+(5а32)2+(5а33)2= … = (5аk1)2+(5ak2)2+(5ak2)2+ … +(5akk)2. Заметим, что все слагаемые разные и расположены в порядке убывания.

Раскладываем наименьшее слагаемое на два слагаемых:

(5А)2 = (5а21)2+(5а22)2 = (5а31)2+(5а32)2+(5а33)2 = … = (5аk,1)2+(5ak,2)2+ … +(5ak,k-1)2+ (4ak,k)2+(3akk)2

Вывод: мы доказали, что из предположения о том, что существует такое число А, квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов 2, 3..., k попарно различных натуральных чисел, следует, что существует такое число 5А квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов 2, 3,..., k+1 натуральных чисел, то всегда для каждого натурального n ≥ 2, существует такое натуральное число, квадрат которого можно представить в виде 2, 3,..., n натуральных чисел.

Аналогичные действия можно проводить с любой Пифагоровой тройкой, например:

132=122+52

172=152+82

2.2. Числовая конструкция суммы кубов n попарно различных натуральных чисел

Докажите, что для любого натурального n≥3 Существует такое натуральное число, куб которого можно подать в виде суммы кубов n попарно различных натуральных чисел.

Известное равенство:

63=53+43+33, умножим левую и правую часть равенства на 63, получим

363=303+243+183

363=303+243+33∙63, разложим 63 = 53+43+33

363=303+243+33(53+43+33), тогда

363=303+243+153+123+93.

Итак,  число 363 мы записали в виде 3 и 5 кубов. Дальнейшее умножение на 63 даст возможность получить число, куб которого можно представить в виде суммы кубов трех, пяти, семи, и т.д., То есть нечетного количества слагаемых более двух.

Рассмотрим еще одно равенство:

133=123+73+53+13, умножим левую и правую часть равенства на 63, и получим

783=723+423+303+63

и 783=723+423+303+53+43+33.

Так куб числа 78 можно представить в виде суммы кубов 6 различных натуральных чисел. И так далее – найдется число куб которого может быть представленным в виде суммы четырех, шести, восьми и т.д. четного количества слагаемых более двух.

Найдем такое число, куб которого можно подать в виде суммы кубов 3 и 4 попарно разных натуральных чисел.

Используя равенства 63=53+43+33 и 133=123+73+53+13, перемножим их

63∙133= 133∙(53+43+33)= 63∙(123+73+53+13)

783=653+523+393=723+423+303+63

Умножив на 63, мы получим число, куб которого можно подать в виде суммы 3,4,5 и 6 попарно различных натуральных чисел.

Докажем заданное утверждение для произвольного n методом математической индукции.

Примем за базу индукции выражение:

783=653+523+393=723+423+303+63

Предположим, что для n = k существует такое натуральное число А, куб которого можно представить в виде суммы k кубов попарно различных натуральных чисел:

А3=(а31)3+(а32)3+(а33)3=(а41)3+(а42)3+(а43)3+(а44)3= … = (аk1)3+(аk2)3+ … + (аkk)3

Докажем, что найдется такое число, куб которого можно подать в виде суммы кубов 3,4,..., k+1 попарно разных натуральных чисел. Умножим заданное равенство на 63:

(6А)3 = (6а31)3 + (6а32)3 + (6а33)3= … = (6аk-1,1)3 + (6ak-1,2)3 +…+ (6ak-1,k-1)3 = (6ak,1)3+(6ak,2)3+ … + (6akk)3  

Разложим предпоследнее слагаемое на три слагаемых

(6А)3 = (6а31)3 + (6а32)3 + (6а33)3= … = (6аk-1,1)3 + (6ak-1,2)3 +…+ (6ak-1,k-1)3 = (6ak,1)3+(6ak,2)3+ … + (6akk)3  =(6ak-1,1)3+(6ak-1,2)3+(5ak-1,k-1)3+(4ak-1,k-1)3+(3ak-1,k-1)3

Получаем сумму кубов (k+1) – слагаемых.

Вывод: предположив, что существует число, куб которого можно подать в виде суммы кубов k попарно различных натуральных чисел следует, что существует число, куб которого можно подать в виде суммы кубов (k+1) различных натуральных чисел, то всегда найдется такое число, куб которого можно подать в виде суммы кубов n различных натуральных чисел.

Доказано.

Выбранное неравенство можно заменить другим, например: 93=83+63+13

2.3         Числовая конструкция суммы четвертых степеней n попарно различных натуральных чисел

В своей работе мы рассмотрели вопрос о представлении 4 степеней натуральных чисел в виде суммы 4 степеней 3,4...n попарно различных натуральных чисел.

Эйлер предположил, что для n=3 это невозможно. Но на самом деле, как было установлено позже, для чисел

А = 20615673, В = 18796760, С=15365639, D = 2682440

Выполняется равенство A4=B4+C4+D4.

 Поскольку также 3534=3154+2724+1204+304,

то число m4=(353∙A)4 можно представить в виде суммы четвертых степеней 3 и 4 различных натуральных чисел. Применим метод математической индукции для доказательства утверждения. Предположим, что существует m, для которого

m4=(a31)4+(a32)4+(a33)4=(a41)4+(a42)4+(a43)4+(a44)4= … =(ak1)4+(ak2)4+ … +(akk)4=(ak+1,1)4(ak+1,2)4 +  … + (ak+1,k+1)4.

 Причем во всех суммах слагаемые записаны в порядке убывания.

Умножив обе части этого неравенства на A4, мы сохраним все возможности соответствующих представлений от 3 до k+1 членов и, кроме того, получим представление

(Аm)4=(A∙ak1)4 + (A∙ak2)4 + … + (A∙ak-1)4 +(B∙akk)4+(C∙akk)4+(D∙akk)4

Поэтому для n=k+2 искомое число тоже существует. А значит, оно существует для каждого натурального n≥3.

2.4. Числовая конструкция «Произведение и интересная функция»

Сумма нескольких натуральных чисел  равна S, то есть  Обозначив за  найти наибольшее значение M, которое может принять произведение этих натуральных чисел.

Поскольку количество слагаемых является конечным множеством, то существует такое максимальное число М, где

Ни одно из данных чисел  не равно 1, поскольку при умножении числа на 1 произведение не меняется.

  Вместо числа 4 будем использовать 2+2, поскольку разбиение 4 на (2+2) не изменяет произведения, 2+2 =2∙2.

  Не имеет и среди заданных слагаемых числа, которое превышает 4, так как  мы увеличиваем произведение .. Неравенство верно, так как .

Будем заменять набор чисел {2;2;2} на {3;3}, поскольку 2+2+2=3+3, но 3∙3>2∙2∙2, наибольшее произведение будет при 3∙3=9.

То есть среди данных чисел нет ни одной единицы и числа, превышающего 4 или равного ему. То есть оптимальный набор чисел  состоит только из двоек и троек. Поскольку три двойки будем заменять на две тройки, то двоек меньше троек. То есть искомый набор состоит только из двоек и троек, то  

Вывод:

Если  то

если  то

если  то

Выводы:

Согласно поставленным задачам в работе: изучен теоретический опыт по проблеме исследования, рассмотрен вопрос существования числовых конструкций суммы квадратов и кубов n попарно разных натуральных чисел. В ходе работы исследованы вопросы бесконечного количества Пифагоровых троек и определена общая формула для их вычисления.

На основе построенных конструкций суммы квадратов и кубов n попарно разных натуральных чисел нами обобщены полученные числовые конструкции и доказано существование конструкции суммы четвертых степеней n попарно разных натуральных чисел.

В работе рассмотрены такая «интересная» функция, которая является произведением чисел, сумма которых задана по условию.

ЛИТЕРАТУРА

1. Базилев Д. Ф. справочное пособие к решению задач: «Диофантовые уравнения» / Д. Ф. Базилев. - Мн.: НТЦ, 1999. -160 с.

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер. с англ.Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинского, М., «Мир», 1971, 511с.

3. Генкин С. Числовые конструкции // Квант / Генкин с., Курляндчик л. – 1970. – с. 58 – 61.  

4. Перельман Я. И. Занимательная арифметика.  Издание 1 / Перельман Я. И. – Л. : Время,1926.-192 с.

5. Серпинский В. пифагоровы треугольники / Серпинский В. – М. : Учпедгиз, 1959. – 112С.

6. Сингх с. Великая теорема Ферма / Сингх С.-м: МЦНМО, 2000.

7. Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма / Хинчин А. Я. –М., 1927.