Исследовательская работа "Золотое сечение вокруг нас"

Муниципальное бюджетное общеобразовательной учреждение

«Набережно-Морквашская средняя общеобразовательная школа»

Верхнеуслонского муниципального района Республики Татарстан

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС»

Выполнил работу:  Агафонов Иван, ученик 9 класса                                           

Руководитель:  Токарева Гузель Рашитовна                                                                                

                учитель математики                                                                      

                                   село Набережные Моркваши

2023 год

Содержание

1. Введение …………………………………………………………………3

1. Актуальность проекта. ……………………………………………...3        
2. Цели и задачи………………………………………………………...3

2. Основная часть …………………………………………………………..  4

   2.1. «Золотое сечение» в математике. Числа Фибоначчи ....………..….  5        

   2.2.. «Золотое сечение» в архитектуре, живописи и скульптуре……….  6                

   2.3.  Тело человека и «Золотое сечение» ……………………………….... 7        

   2.4. «Золотое сечение» в живой природе ………………………………… 8

3.  Заключение ………………………………………………………………  11

4. Список литературы   ……………………………………………………… 12       

1. Введение

1.1 Актуальность проекта

     Изучая в школе математику, мы часто слышим, что без знания этой науки никак не обойтись в современной жизни. Но взгляните на странички наших учебников!

     Где они, эти пропорции, корни, пирамиды, синусы в окружающей нас действительности?

Где же они прячутся – эти числа и математические закономерности во всём, что нас привлекает? А что же нас привлекает в жизни? Всё красивое и гармоничное!  Но тогда как же это связано между собой -  красота, гармония и … математика?

       Мы обратились к современному источнику информации – к Интернету. И обнаружили, что за высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе «отвечает» принцип «золотого сечения».

   Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887...

   Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому.  Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение».

 Так что же такое «золотое сечение»?

                           Что это за идеальное, божественное сочетание?

                           Может быть, это закон красоты?

                           Или все-таки он — мистическая тайна?

                           Научный феномен или этический принцип?

Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.  Мы захотели узнать о тайнах  “золотого сечения”. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

1.2 Цели и задачи

Цель работы:    выявить «золотое сечение» в природе, архитектуре, жизни человека.

Задачи работы:    

- описать геометрический смысл «золотого сечения»;

- проследить этапы исторического возникновения «золотого сечения» в науке;

- исследовать принципы и возможности практического применения «золотого сечения» в различных областях искусства;

- определить возможные направления применения «золотого сечения» в науке.

Объект исследования: предметы домашнего обихода, художественные изделия, архитектурные шедевры, человек,  окружающий растительный   мир.

Предмет исследования: форма и строение исследуемых предметов и явлений.

Новизна исследования: раскрытие учащимися школы «золотого сечения» в окружающей нас действительности.

Практическая значимость: использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы   при изучении других школьных предметов.

Использование работы при ведении элективного курса в старших классах по математике.

Методы исследования: эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение); теоретический (логическая ступень познания).

2. Основная часть

Рассмотрим примеры, где встречается “золотое сечение” в живой и не живой природе.

      О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые — от Пачоли до Эйнштейна — будут искать, но так и не найдут его точного значения.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты человеческого тела...". И эта формула – формула золотого сечения – некий универсальный информационный код красоты, соединяющий разные искусства и разные века в интуитивном постижении прекрасного.

     Эта формула отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом". Она оказалась близкой к 1,6.

     Золотая пропорция встречается в конфигурации растений и минералов, строении частей Вселенной, музыкальном звукоряде. Ее используют в архитектуре, скульптуре, живописи, науке, вычислительной технике.

2.1.  Золотое сечение в математике

        Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все. Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.  Итак – “золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей.

Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном “золотому сечению”.

Пусть точка М делит отрезок АВ в золотом отношении.

 Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э. Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 1,618.

Задача. Возьмите отрезок длиной 10 см и разделите его приблизительно в золотом отношении.  (6,2 см и 3,8 см) одна часть отрезка больше другой в 1,6 раза.

Части “золотого сечения” составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. В эпоху Возрождения “золотое сечение» было очень популярным среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношение ее сторон равнялось Ф. Такой прямоугольник стали называть “золотым”.

Числа Фибоначчи.

   Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

    Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем.

      Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

       Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

2.2. “Золотое сечение” в архитектуре живописи и скульптуре

1. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н.э.).  Строительством храма Парфенон руководил архитектор Фидий. Парфенон — главный храм в древних Афинах, посвященный покровительнице этого города и всей Аттики, богине Афине-Девственнице. На прямоугольной платформе (в 68,4 м длины и в 30,38 м ширины), сложенной из пирейского камня и на которую можно было со всех сторон подниматься по трем ступеням, высился построенный из пентелийского мрамора величественный периптер дорического стиля с восемью колоннами в каждом коротком фасе и с семнадцатью в каждом длинном. Высотой эти колонны были в 11 м, диаметр их разреза в нижнем конце равнялся 1,8 м. Окруженный этой колоннадой, стоит и посей день.  Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи).

КВ: АВ = СВ :АС= АВ:ВС = Ф.

2.Собор Василия Блаженного - один из самых ярких и знаменитых памятников древнерусской архитектуры. Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют  ряд золотого сечения. В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

3.Особый вид изобразительного искусства Древней Греции -  изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

     В живописи и на предметах домашнего обихода  чаще всего изображали богов и фараонов.    Были установлены каноны изображения стоящего человека, идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет, чтобы научиться пользоваться каноном.

2.3. Тело человека и «золотое сечение»

    Удивительно то, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения".

    Немецкий учёный Альберт Дюрер доказал, что рост человека делится в золотых пропорциях линией, проходящей через пупок и линией, проходящей через кончики средних пальцев опущенных рук.  Он выяснил, что пропорции мужского тела колеблются в пределах 13 : 8 = 1, 625.    А пропорции женского тела в среднем находятся в соотношении 8 : 5 = 1,6.

  Пропорции "золотого сечения" проявляются в отношении длины плеча, предплечья, кисти и пальцев и т.д.

   Поразительно, но в лице человека можно проследить множество пропорций, подчиненных "золотому сечению". Причем, чем больше в лице человека соотношений в этой пропорции, тем красивее нам он кажется. Есть лица, при характеристике которых употребляют выражение "правильные черты лица". У этих людей основные пропорции наиболее близки к соотношению 1, 618: или 62 : 38.

   Какие же пропорции в лице человека стремятся к "золотому сечению"?

   Прежде всего, у людей с красивыми лицами наблюдается: идеальная пропорция между расстояниями от медиального угла глаза до крыла носа и от крыла носа до подбородка. Это соотношение называется "динамической симметрией" или "динамическим равновесием".

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

      Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения.

        Закономерности «золотой» симметрии проявляются и в генетическом коде человека. В «золотых» соотношениях находятся показатели артериального давления, пульса и дыхания. Циклическим колебаниям в «золотой» пропорции подвержены многие другие показатели человеческого организма, даже соотношение периодов сна (медленный сон – быстрый сон), находятся в пропорциях, близких к «золотым».

 Мы теперь знаем, что человек - только часть живого мира на нашей планете, подчиняющийся общим законам мирозданья. И доказательство тому - учение о "золотом сечении", дошедшее до нас из глубины веков.

2.4. Золотое сечение в живой природе

      В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи.

     Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

      Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган.

 Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.

В ботанике принято характеризовать винтовое листорасположение с помощью дроби, числителем которой является число оборотов в листовом цикле, а знаменателем - число листьев в этом цикле.

     Рассмотрим, например, расположение листьев на стебле растения. Мы видим, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть "винтовой симметрии". Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

       Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей, всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

     У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

               
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

       
      Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Законам «Золотого сечения», то есть абсолютной гармонии, подчиняются не только плоды человеческой деятельности, но и сам человек — его внутренние органы и системы, его душа, его мысли.    

      Таким образом, строгую математику мы находим и в расположении лепестков на цветке розы и в разрезе яблока (пентаграмма), и в сосновой шишке, и в головке подсолнечника. И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единым законам.

3.  Заключение исследовательской работы

    Я изучил динамическую симметрию, которая называется божественной пропорцией или «золотым сечением».   Проанализировал проявления «золотого сечения» в окружающей нас действительности, а также научные открытия о существовании «золотой пропорции» в различных областях нашей жизни и отмечу, что:

1. «Золотое сечение» является основной пропорциональностью мира;
2. «Золотое сечение» является оптимальным кодом живой природы;
3. С расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология, экономика, психология, кибернетика, теория сложных систем, и даже геология и астрономия.

   Подчеркну, что для наиболее оптимального, гармоничного, естественного построения чего-либо искусственного (то есть созданного человеком), вероятно, также требуется использование «золотого сечения».

     Таким образом, гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию, подтверждается. В данной работе проверил множество гармоний!

Выводы:

     Я убедился, что все-таки существует связь между математикой и литературой, между математикой и архитектурой, между математикой и живописью. И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся в различных видах искусства.

   Меня поразил тот факт, что даже планеты солнечной системы обращаются вокруг солнца по орбитам с «золотым сечением», а Земля имеет самую совершенную орбиту из всех планет. Это доказали с помощью математики!

   Узнал, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения". И даже в его генетическом коде заложены закономерности золотой симметрии.

      Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы. А один из важных инструментов для познания тайн природы – это математика.

       Явления всей вселенной подчинены определенным числовым соотношениям.  Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными. Все упорядочивается в соответствии с числами.  

4. Список литературы

Корбюзье Л. Модулор.-М,. 1976.

Хембидж Д. Динамическая симметрия в архитектуре.-М,. 1936.

Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М., 1990.

http://evolutionoftruth.com/goldensection/music.htm    

Лосев А.Ф. Эстетика Возрожденния.-М., 1978.

Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи/ Учебное пособие.-К., 1986.

Петухов С.В. Биомеханика, бионика и симметрия.-М., 1984.

http://www.math.smith.edu/~phyllo/index.html  

Соколов А.А., Соколов Я.А. Математические закономерности электрических колебаний

Стахов А.П. Коды золотой пропорции.-М,. 1984.

http://evolutionoftruth.com/abennett  http://evolutionoftruth.com/goldensection/solarsys.htm

http://www.goldenmuseum.com/

http://milan.milanovic.org/math/english/golden/golden2.html