Первое знакомство с тремя классическими задачами на построение

Первое знакомство с тремя классическими задачами на построение

Введение.

На уроках геометрии я узнала об интересных задачах, которые решаются при помощи циркуля и линейки, причем линейка не должна иметь делений. Они называются задачами на построение. Искусство построений геометрических фигур с использованием   циркуля и линейки зародилось в Древней Греции. Уже тогда эти задачи будоражили умы математиков, какие-то легко поддавались решению, а некоторые из них не решены до сих пор. Меня заинтересовала эта тема, и я решила узнать об истории задач на построение, как они появились, какие великие ученые занимались решением этих задач, какие методы они использовали.

Цель моей работы: используя литературу и интернет-ресурсы, узнать историю возникновения задач на построение.

Перед собой я ставила задачи:

1. Найти сведения о появлении циркуля.
2. Узнать об истории задач на построение.
3. Выяснить, какие ученые занимались решением этих задач, и как развивалась наука математика благодаря попыткам решения задач на построение.

1. История появления циркуля

Всем известны инструменты, которыми пользовались геометры при решении задач на построение: линейка без делений и циркуль. Линейку без делений могла заменить какая-либо деревянная рейка, а вот циркуль – какой он мог быть тогда, в далекие времена? Я узнала, что окружности можно было чертить с помощью веревки и колышка. Так чертили круги на местности в далекие времена.

Само слово циркуль происходит от латинского circulus - «круг, окружность,  кружок». О том, как появился циркуль, можно прочитать в легендах Древней Греции. Все мы знаем историю Икара, у его отца Дедала был племянник, сын его сестры, которого звали Талос, первый «воздухоплаватель» древности.  После его гибели нашли два соединенных стержня, которыми можно было начертить идеальную окружность. Об этом изобретении 12-летнего мальчика упоминал даже римский поэт Овидий (1 в. До н.э.) в поэме «Метаморфозы».

Первым железным узлом два железных конца соединил он.

Чтобы, когда друг от друга они в расстоянии равном,

Часть стояла одна, другая же круг обводила.

Это и был циркуль. Историки утверждают, что циркулю около 3 тысяч лет. Археологи, во время раскопок, находят разные доказательства древнейшему происхождению циркуля. Изучая древний курган во Франции, археологи нашли железный инструмент, которому было не менее 2 тысяч лет. Под пеплом греческого города Помпея много найдено таких инструментов, сделанных из бронзы. Во время раскопок в Новгороде археологи обнаружили циркуль–резец из стали.

2. История задач на построение

          По разным причинам древнегреческие математики при построениях циркуль и линейку предпочитали всем другим инструментам. Хотя ни о циркуле, ни о линейке в их сочинениях речи нет. Говорится лишь о «построении посредством прямых и окружностей». Много интересных задач, решенных древнегреческими  геометрами, мы теперь можем воспроизвести на школьном уровне. Мне интересно было строить, используя циркуль и линейку, перпендикулярные прямые, параллельные прямые, углы, равные 45о, 30о, 60о, делить их пополам, строить треугольники по заданным элементам.  Однако есть такие задачи, которые невозможно решить только с помощью циркуля и линейки. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. Это так называемые «три классические задачи на построение»: задача об удвоении куба, задача о квадратуре круга и задача о трисекции угла. У каждой из них своя история, в которой можно проследить полет человеческой мысли, путь развития математики.

2.1.Задача об удвоении куба

Задача состоит в построении куба, имеющего объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению

x 3 = 2a3 , или  x = 

Задача является естественным обобщением аналогичной задачи об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна   2а 2 , служит отрезок длиной а  , т.е. диагональ данного квадрата со стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а 3 , т.е. отрезок х, равный а, не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

       Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.  «…во время эпидемии чумы на острове Делосс послали афиняне и Дельфы вопросить оракула, что им сделать, чтоб чума прекратилась. Бог ответил им: удвоить алтарь и принести на нем жертвы. А так как алтарь был кубической формы, они взгромоздили на него еще один такой же куб, думая тем исполнить повеление оракула. Когда же чума после этого не прекратилась, отправились они к Платону и спросили, что же теперь делать. Тот отвечал: «Сердится на вас Бог за незнание геометрии», - и объяснил, что следовало здесь подразумевать не простое удвоение, но найти некое среднее пропорциональное и произвести удвоение с его помощью; и как только они это сделали, чума тотчас же кончилась». Эта легенда довольно поздняя, в ней много искажено.  Задачей удвоение куба занимался еще Гиппократ Хиосский, живший до Платона. Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен был вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».

Для практических целей точное решение задачи удвоения куба не было нужно, но математиков она заинтересовала. Гиппократ Хиосский переформулировал задачу примерно так: «По отрезкам а и 2а построить такие отрезки х и у, что  а : х = х : у = у : 2а. Тогда

Решение этой задачи позволяло также для прямоугольного параллелепипеда строить ребро куба, объем которого равен объему параллелепипеда.

Однако древнегреческие математики поняли, что задачу удвоения куба нельзя решить с помощью циркуля и линейки, хотя доказать этого они не могли.

Были попытки решить эту задачу с помощью других кривых. Так решение великого полководца и математика Архита Тарентского трудно назвать построением. Он получил решение как пересечение цилиндра, конуса и тора. Евдокс, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и многие другие великие математики искали решение задачи об удвоении куба.

2.2.Задача о квадратуре круга

Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре круга,    т. е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу.

Если обозначить радиус круга через r, то речь будет идти о построении квадрата, площадь которого равна πr2, а сторона равна r Теперь известно, что число π - отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное. Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926… и было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками математиком В.Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением. Однако Шенкс вычислял, а значит, не было соблюдено условие о решении задачи с помощью циркуля и линейки.

      Вопрос о квадратуре круга древними египтянами был решен опытным путем. Они предполагали, что круг и квадрат со стороной, равной диаметру, покрывали сплошным слоем семян в один ряд. Простой подсчет числа семян на каждой из этих фигур сразу убеждал, что на площади квадрата семян больше. Постепенно уменьшая сторону квадрата и повторяя опыт с семенами, они пришли к выводу, что число зерен на площади квадрата будет совпадать с числом зерен круга только тогда, когда сторона квадрата равна 8/9 длины диаметра. Многие греческие математики (Анаксагор, Дейнострат, Антифон, Бризон, Гиппократ и др.) стремились решить эту задачу.

     История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой π . Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2πr, а так как площадь круга равна S = π r2 , то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2π r и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат. 

          Решение задачи

      Пусть ABCD - квадрат. Сторона АВ равномерно вращается около т.А, и её конец В описывает дугу BD . Одновременно с началом вращения АВ начинает перемещаться вниз сторона ВС. Когда радиус АВ совместится со стороной AD, BC также совместится с ней. Геометрическое место указанных точек пересечения и есть квадратриса ВЕ. Её основное свойство:

 где 1 – длина дуги BFD

Другое  решение задачи

Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом:

«впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцатиугольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат, равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать».

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры, известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром ВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC. На ВС, АС и АВ, как на диаметрах, описываются полуокружности.

     Фигуры – мениски ALBM и  ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками. По теореме Пифагора: BC=AB+AC=2AC.

     Отношение площадей кругов или полукругов BMAEC и  AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров , которое равно 2. Площадь сектора OAC равна площади полукруга, построенного на диаметре AC. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что площадь треугольника AOC равна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадратуру, и продолжал свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.

      Различные другие попытки, продолжавшиеся в течение тысячелетий, найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19 века было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще и другие средства построения. Так, еще в 4 веке до н. э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в 5 веке до н. э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи сначала чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом 𝛑, и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

2.3.Задача о трисекции угла

О возникновении задачи трисекции угла (от латинских слов trio – три и section – рассечение, разрезание), т. е. делении угла на три равные части, никаких интересных легенд нет. Предполагают, что она появилась в связи с решением задач на построение правильных многоугольников. При попытке построить правильный девятиугольник математики пришли к задаче о трисекции угла, потому что нужно было построить угол 360о : 9 = 120о : 3, т.е. разделить угол 120о на три равные части. Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60о. Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN . Откладываем на полупрямой AN произвольный отрезок AC, на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол CAB равен 60о, то = 30о.

Мною тоже была проведена работа по трисекции прямого угла с помощью циркуля и линейки.

     Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в , п – натуральное число), однако не в общем случае, т. е. любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в первой половине ХIХ в.

     Задача о трисекции угла становится разрешимой и в общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. В частности, в процессе отыскания таких решений был открыт целый ряд в высшей степени важных и интересных кривых.

     Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н. э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н. э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед (II в. до н. э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. а,б,в),                                        и дал описание прибора для черчения этой кривой.   а, б, в: конхоида Никомеда

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается, что если продолжить хорду АВ (рис.1)    окружности радиуса r                                                         

Рис. 1                                                                                        Рис. 2

     на отрезок BC= r и провести через С диаметр FE, то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ. Действительно на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника имеем: ,  , значит

     Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE. Описав окружность с центром O и радиусом OE и OA, проводим диаметр EF. Линейку CB на которой нанесена длина CB радиуса r (например, помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C скользила по продолжению диаметра (EF), а сама линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE (Рис.2). Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную точку A окружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейка с делениями, которая даёт длину определённого отрезка. При решении этой задачи Архимед также открыл кривую, которая названа «Спиралью Архимеда».

     Задача о трисекции угла возникла в Древней Греции примерно в V веке до н. э. из потребностей архитектуры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки. Р.Декарт высказал предположение о неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла при помощи циркуля и линейки без засечек. Это утверждение было доказано в 1837 году Ванцелем. Тем не менее попытки резрешить проблему трисекции угла не были напрасными. В 11 веке самаркандский ученый Ал-Бируни применил трисекцию угла к составлению весьма точных тригонометрических таблиц. В 16 веке французский математик Ф. Виет на основе трисекции угла нашел тригонометрическое решение квадратного уравнения. Теорема Морли о трисектрисах — одна из самых удивительных теорем геометрии треугольника. Трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части. Теорема утверждает: Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника. 

 На чертеже точки пересечения трисектрис А1, В1 , С1 являются вершинами равностороннего треугольника.  Теорема была открыта в 1904 году Франком Морли (Frank Morley). 

 Вывод.

     Выполняя эту работу, я узнала много нового и интересного о знаменитых классических задачах древности, о людях, посвятивших себя решению данных задач. Я познакомилась с историей возникновения данных задач, методами их решения.

    Изучая весь этот материал, я поняла, что все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Но, несмотря на это, интерес к этим классическим задачам не пропадает и сегодня. Многие современные математики пытаются решить эти знаменитые задачи.

     Мне было интересно узнать, что при попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

     Работая над этой темой я поняла, какая интересная наука – геометрия, и как много мне еще необходимо изучить, чтобы разобраться в решениях   великих ученых-математиков.

Литература

1. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение: удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. 1992 г.
2. https://cirkul.info/culture/355
3. Автор: Philtodd - собственная работа, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=23212577