ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ

Опубликовано Субботина Наталия Александровна вкл 29.07.2023 - 18:53

Автор:

Ученица 11 класса МОУ Федюковской СОШ Середа Ксения

В исследовательской работе ученицы 11 класса МОУ Федюковской СОШ Середы Ксении - знакомство с геометрией Н.И.Лобачевского, объяснены основные понятия языком, понятным простому школьнику

Скачать:

Вложение	Размер
Геометрия вселенной. Проект. Середа Ксения. 11 класс	908.58 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Федюковская средняя общеобразовательная школа

Г.о.Подольск Московская область

Индивидуальный проект

ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ

Середа Ксения Алексеевна

11 класс

Руководитель: Субботина Н.А.

учитель математики

Городской округ Подольск

2022 г.

Оглавление

Введение ………………………………………………………………………... 3

1. С чего все началось? …………………………………………………………..4

2. Аксиома параллельности в новой геометрии ……………………………….6

3. Основные понятия и формулировки геометрии Лобачевского ……………7

4. Непротиворечивость геометрии Лобачевского …………………………….11

5. Применение геометрии Лобачевского ……………………………………...14

Заключение………………………………………………………………………15

Список литературы ……………………………………………………………..16

Введение

Много веков геометрия считалась наукой, застывшей в ее древних эллинских формах. В школе мы изучаем геометрию Евклида. А живем мы в какой геометрии? В природе нельзя увидеть прямую или точку в том виде, как их представляет Евклид. Планета, на которой мы живем, не плоская, а сферическая, поэтому прямые оказываются не такими уж и «прямыми», а дугами. Я предположила, что геометрия Евклида описывает приближенное, идеальное пространство. Изучая в школьном курсе пятый постулат Евклида, мы узнали о русском ученом-математике Н.И. Лобачевском и его «неевклидовой» геометрии. Меня заинтересовала эта тема, я определила для себя цель: познакомиться с геометрией Лобачевского и объяснить основные понятия геометрии Лобачевского языком, понятным простому школьнику.

Для реализации этой цели я планировала решить ряд задач:

1) изучить имеющуюся литературу;

2) узнать, как появилась новая геометрия;

3) выделить основные понятия геометрии Лобачевского,

4) рассмотреть модели в евклидовом пространстве, где реализуется геометрия Лобачевского;

5) выяснить, как повлияла новая геометрия на дальнейшее развитие математики.

Во время работы над проектом мною были рассмотрены основные положения геометрии Лобачевского, доказана её непротиворечивость, для этого изучалась специальная литература, выполнены чертежи, помогающие понять идеи великого математика, для доказательства непротиворечивости рассмотрены простейшие модели, на которых справедлива геометрия Лобачевского.

…Чем Коперник был для Птолемея, тем

был Лобачевский для Евклида…

У. Клиффорд

1.С ЧЕГО ВСЕ НАЧАЛОСЬ?

Несомненно, математика является одной из древнейших наук. По археологическим находкам ученые предполагают, что точная наука зародилась во времена Древнего Египта и Месопотамии. Тогда математика носила инженерно-практический, «бытовой» характер: люди вели счета, находили расстояния, оценивали размеры земельных участков. Вычисления на основе измерений, которые первоначально делались на глаз, иногда приводили к ошибочным результатам. Потребовалось свыше трех столетий (VII – IV вв. до н. э.), чтобы математика сложилась в цельную научную дисциплину. Геометрические исследования этого периода связаны с именами великих математиков Фалеса Милетского (VI в. до н.э.), Пифагора (V в. до н. э.), Демокрита (V в. до н.э.), Евдокса (IV в. до н.э.).

Точной науке того времени стали свойственны выведение доказательств и применение логических выводов. Это связано с развитием философских рассуждений и, как следствие, развитием логики. Аристотель, один из основоположников логических принципов дедуктивного построения математической дисциплины, считал, что для дальнейшего развития точной науки необходимы некие формулировки, не требующие доказательства. Также они должны были стать «инструментом» для выведения новых теорем и утверждений. Основываясь на этих положениях, Евклид в III в. до н. э. создал свой труд «Начала» (15 книг), в котором изложил математику в строгой логической последовательности. Несколько книг содержали обоснование геометрии. «Начала» Евклида вытеснили все предшествовавшие руководства по геометрии, дошли до эпохи Возрождения в греческих списках и арабских переводах.

В этом научном труде были выведены многие признаки и свойства геометрии, которые изучает и знает каждый школьник сегодня. Веками поддерживалась вера в непререкаемые достоинства Евклида по существу содержания, по логической системе построения «Начал». Геометрия Евклида признавалась самым незыблемым творением научной мысли. Однако были математики, которые критиковали Евклида за подмену умозаключений интуицией, соображениями, основанными на очевидности; за аксиомы и постулаты (аксиомы второго рода).

Если рассмотреть постулаты Евклида, то можно сделать вывод, что первые четыре постулата просты в своей формулировке. I. Всякие две точки можно соединить прямой линией. II. Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить. III. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность. IV. Все прямые углы равны между собой.

Однако пятый постулат выделяется на фоне остальных более сложной формулировкой: «и чтобы, когда прямая, пересекая две прямые, образует внутренние односторонние углы, составляющие в сумме меньше двух прямых углов, эти прямые при продолжении пересекались в точке, лежащей с той стороны, где расположены эти углы». Поэтому сложилось мнение, что это больше похоже на теорему, которую не смог доказать автор «Начал». Обычно приводится эквивалентный этому постулат Прокла: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной». На протяжении длительного времени многие ученые пытались доказать пятый постулат, при этом стараясь не отходить от других аксиом и постулатов Евклида. Однако каждое доказательство «терпело крах»: либо находились грубые ошибки в рассуждениях, либо каким-то образом обнаруживались другие формулировки, не выводимые из евклидовых. И, несмотря на неудачи, каждое доказательство имело свои плоды: появлялись новые теоремы и признаки.

Среди этих ученых, пытавшихся доказать пятый постулат Евклида, был и Н.И. Лобачевский. Ему, как и предшественникам, также не удалось найти доказательство. Попытки доказать V постулат привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, и поэтому доказать его нельзя. Но если V постулат не зависит от других аксиом, то, допуская все другие аксиомы абсолютной геометрии, можно принять или не принять евклидов постулат. Если же вместо евклидовой аксиомы параллельности принять другую, ей не эквивалентную, получим новую, неевклидову геометрию. В докладе 1826 года Н.И. Лобачевский сформулировал новую аксиому параллельных: «Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере две».

Это стало началом новой эпохи в развитии геометрии. Лобачевский создает новую геометрию, в которой пятый постулат заменяется более общей формулировкой о параллельности и сохраняются старые постулаты и аксиомы «Начала».

2. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ В НОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Аксиома Лобачевского о параллельности прямых имела следующий вид: «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её».

Смысл формулировки выглядит таким образом.

Рассмотрим произвольную прямую AA` и точку P, не лежащую на этой прямой. Проведем перпендикуляр PQ к прямой AA` и определим переменную точку M на луче QA. При движении точки M на луче QA от точки Q к точке A прямая PQ движется в плоскости против часовой стрелки. Таким образом, имеется какое-то предельное положение (луч PT), к которому приближается луч PM, когда M неограниченно удаляется по лучу QA.

Из этого рисунка луч PT и PQ образуют угол, имеющий название угол параллельности для отрезка PT. Градусная мера угла QPT выражается как α≤ /2, где α=2arctg , где x - PQ, r - радиус кривизны плоскости Лобачевского.

Из полученной формулы следует, что по мере перемещения точки M «вверх» от прямой угол параллельности α стремится к нулю. И если точка M приближается к прямой АА`, то угол параллельности α будет стремиться к пределу в 90 градусов. Также из этой формулы можно получить следующее: по мере стремления r к бесконечности угол параллельности стремится к 90o, т.е. из формулы Лобачевского следует пятый постулат Евклида.

Параллельные прямые неевклидовой геометрии также имеют такое свойство: две параллельные прямые в направлении параллельности неограниченно сближаются, а в противоположном направлении неограниченно расходятся.

Уходя все дальше и дальше в рассуждения, Лобачевский так и не обнаружил противоречий с аксиомами геометрии, что и привело его к мысли о существовании другой геометрии, отличной от евклидовой геометрии. Так и зародилась новая геометрия – геометрия Лобачевского.

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Геометрия Лобачевского, как и все другие области математики, имеет свои формулировки и понятия, с которыми необходимо ознакомиться для понимания материала. Для начала следует отметить некоторые моменты:

1. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского меньше 180 градусов (π) и может отличаться в различных треугольниках. Формула определения суммы углов треугольника выглядит следующим образом:

A + B + C = π- ϭ /(r2), где r - некоторая постоянная величина, а ϭ – площадь треугольника (ϭ ≤π*r).

Ϭ = r 2 *(π-A-B-C).

Из этой формулы следует, что площадь треугольника максимальна, когда все его углы равны 0. $C:\Users\User\Downloads\20220203_222806(1).jpg$

Такой треугольник называется асимптотическим.

Площадь «обычного» треугольника ϭ ≤π*r, причем «обычного» треугольника, имеющего максимальную площадь, не существует.

Лобачевским были установлены также соотношения между сторонами и углами треугольника. Эти формулы сложнее, чем в евклидовой геометрии, кроме тригонометрических функций они содержат в себе гиперболические: sh X= (гиперболический синус), сh X= (гиперболический косинус), th X = (гиперболический тангенс)

Для произвольного треугольника АВС со сторонами а, b, с имеет место теорема косинусов:

сh = ch * ch - sh * sh *cos C

и теорема синусов = =

2. В плоскости Лобачевского отсутствуют подобные фигуры, однако есть конгруэнтные фигуры (фигуры, совпадающие при наложении).

3. Угол параллельности α не постоянный, т.к. является убывающей функцией длины отрезка PQ.

4. Каждый острый угол может быть рассмотрен как угол параллельности некоторого отрезка.

5. Через точку P, не лежащую на прямой AA`, можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих AA` и находящихся с ней в той же плоскости.

Если прямые a и b не встречают прямую АA`, то и любая прямая c или m, проходящая через точку Р внутри вертикальных углов, образованных прямыми a и b, также не встретит прямой АA`. Отсюда первое следствие аксиомы Лобачевского: через точку P вне прямой АA` плоскости α проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с прямой АA`. $C:\Users\User\Downloads\20220203_224524.jpg$

Если соединить какую-либо точку прямой AA` с точкой P, получим прямую PM, проходящую через точку P и встречающую прямую АA`.

Итак, все прямые, проходящие через точку P, разбиваются на две категории, на два класса: «сходящиеся» с АA` и «расходящиеся» с АA`. Любая прямая первой категории образует с перпендикуляром PQ угол, меньший угла, образованного перпендикуляром PQ с любой прямой второй категории. Вращаясь непрерывно около точки P в направлении против часовой стрелки, прямая PQ на известном этапе, допустим в положении a, перестанет пересекать АA` и из сходящей прямой перейдет в категорию расходящихся с АA` прямых. Эта предельная прямая a, служащая переходной прямой, граничной, отделяющей сходящиеся от расходящихся прямых, и названа Лобачевским параллельной к прямой АA` из точки P. Итак, параллельная a – это не просто расходящаяся прямая, а первая, граничная расходящаяся, т.е. такая, что любая прямая, проходящая через точку P внутри угла, образованного параллельной a и перпендикуляром PQ, является сходящейся прямой, а всякая прямая, проходящая внутри угла / (ab), будет расходящейся с прямой АA`. Угол, образованный параллельной прямой, а с перпендикуляром PQ, называется углом параллельности.

6. Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в противоположные стороны от данного перпендикуляра.

7. Две различные прямые в геометрии Лобачевского можно разделить на три группы:

а) пересекающиеся прямые (расстояние от одной точки прямой до точки другой прямой неограниченно удаляется);

б) параллельные прямые (в направлении параллельности они неограниченно сближаются, как гипербола к асимптоте в координатной плоскости);

в) расходящиеся прямые (обладают общим перпендикуляром, длина перпендикуляра является меньшим расстоянием между этими прямыми).

8. Выделяют три типа пучков прямых, которые покрывают всю плоскость:

а) пучок 1-го рода (множество всех прямых, которые пересекаются в одной точке, имеющей название центр пучка):

б) пучок 2-го рода (множество всех прямых, перпендикулярных одной прямой, которая называется база пучка):

в) пучок 3-го рода (множество всех прямых плоскости, параллельных одной прямой f в заданной ей направлении:

9. Каждый из вышеперечисленных пучков образуют аналоги окружностей Евклида:

а) окружность в собственном смысле (ортогональная траектория пучков 1-го рода);

б) эквидистанта (ортогональная траектория пучков 2-го рода, не включая базы пучка; все точки эквидистанты обладают постоянным расстоянием от базы);

в) орицикл (ортогональная траектория пучков 3-го рода; все орициклы конгруэнтны, не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности прямых).

4. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Бытует мнение, что геометрия Лобачевского первая неевклидова геометрия. Однако, это не так. Её можно назвать «второй» неевклидовой геометрией. «Первая» была известна еще древним грекам, это была сферическая геометрия, начало которой положил Евдокс (IV в. до н.э.), а систематизировал Минелай Александрийский (I в. н.э.). И она не вызывала никакого протеста у математиков, так как реализовывалась на обычной сфере в евклидовом пространстве. Шокирующим для математиков в геометрии Лобачевского было то, что ей не отвечал в то время никакой наглядный образ. Первые попытки доказать непротиворечивость своей геометрии была предпринята самим Лобачевским. В своих рассуждениях он и опирался на сферическую геометрию – геометрию, в которой роль плоскости играет сфера, а роль прямых – большие окружности на этой сфере. В сферической геометрии можно рассматривать треугольники – фигуры, составленные из трех дуг больших окружностей. Лобачевский обнаружил, что если в соотношениях между сторонами и углами таких треугольников заменить радиус сферы (а он здесь действительный) на мнимое число, то эти соотношения совпадут с соответствующими формулами его геометрии. Значит, если бы формулы геометрии Лобачевского содержали в себе какое-либо противоречие, то такое же противоречие содержала бы и сферическая геометрия. Но так как сферическая геометрия не подвергалась сомнению, то и геометрия Лобачевского тоже непротиворечива. Вопрос о непротиворечивости был бы полностью решен, если бы в Евклидовом пространстве нашлись бы такие объекты, для которых выполняются все аксиомы Лобачевского. Впервые такой путь решения этой проблемы предложил итальянский математик Э. Бельтрами в работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» в 1868 году. Данная плоскость представлена в виде постоянной отрицательной кривизны, образуемой вращением трактрисы (особой кривой, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянным значением). Чтобы понять, что такое трактриса, представим себе человека, который движется по оси Оz плоскости Оxz и тянет на веревке упирающегося осла. Кривая, по которой при этом движется осёл, называется трактрисой. Если вращать трактрису вокруг оси Oz, то получится поверхность постоянной отрицательной кривизны, называемой псевдосферой Бельтрами. Ее также можно назвать реальным пространством, на котором соблюдаются аксиомы геометрии Лобачевского.

Например, если в плоскости Бельтрами начертить треугольник, то стороны, образованные этими дугами, будут кратчайшим расстоянием между точками фигуры.

В геометрии Лобачевского выделяют несколько моделей плоскостей:

Модель Клейна

В 1871 году модель, созданная Клейном, стала первой полноценной моделью плоскости Лобачевского. Состоит из плоскости – круга, прямой – хордой без концов (т.к. учитывается только внутренность круга) и точки, принадлежащей данной плоскости. В этой модели плоскости, например, через какую-то точку С можно провести бесконечное множество прямых (хорд), которые не будут пересекать прямую АВ.

Также модель Клейна имеет одну интересную деталь: всякая теорема геометрии Лобачевского является теоремой геометрии Евклида, и наоборот. Ее еще можно назвать наиболее точной в отношении применения к реальности, так как используются реальные круг и хорды, а также теоремы, взятые за утверждения о реальных вещах, с точностью, доступной для построения.

Модель Пуанкаре

В 1882 году А. Пуанкаре выдвинул свою модель плоскости неевклидовой геометрии в связи с задачами теории функций комплексного переменного. Она имеет два вида – круг (для планиметрии) и полуплоскость (для стереометрии).

В планиметрии за плоскость принимается круг в евклидовом пространстве, ее граница называется «абсолютом». Геодезическими прямыми в ней являются дуги, которые перпендикулярны «абсолюту», и диаметры.

В стереометрии в качестве плоскости берется верхняя полуплоскость. Прямая или же ось абсцисс, ограничивающая ее, также называется «абсолютом». Полуокружности с центрами на оси абсцисс и перпендикулярные лучи, начинающиеся на абсолюте, являются прямыми данной плоскости.

5. ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Неевклидова геометрия внесла огромный вклад в развитие естественных наук и имеет широкое применение.

Например, сам Лобачевский с помощью своей геометрии смог вычислить более 200 интегралов. Его геометрия используется в теории чисел, функциях комплексного переменного, математическом анализе, нахождении расстояний между звездами, построении общей картины «физического мира». Часто геометрию Лобачевского называют геометрией вселенной. Трудно переоценить влияние идей Лобачевского на развитие теоретической физики. Гипотеза Лобачевского о возможной «неевклидовости» реального пространства нашла свое воплощение в общей теории относительности А. Энштейна. Как следствие, это еще объединило математику, физику и философию. Многие выведенные формулы применяются в расчетах для ускорителей элементарных частиц.

Ученые многократно отмечали потенциал неевклидовой геометрии: благодаря ей можно построить другие непротиворечивые геометрии, которые окажутся истинными с точки зрения математики. Именно поэтому открытие, сделанное Лобачевским, ценится очень высоко. Одной из тех самых новых непротиворечивых геометрий, появившихся после Лобачевского, оказалась геометрия Римана, которая реализуется на постоянной положительной кривизне. Она отличается от геометрии Лобачевского и обладает следующими свойствами:

Все свойства применяются только на сфере и поверхности шара.
Геометрия Римана не имеет параллельных прямых.
Сумма углов сферического треугольника больше 180 градусов. В сферическом треугольнике могут быть два или три прямых или тупых угла.

$C:\Users\User\Desktop\Геометрия Лобачевского\20220203_212428.jpg$

Прямая определяется двумя точками, а плоскость определяется тремя точками.
В отличие от сферической геометрии, две прямые имеют только одну точку пересечения.
Прямая имеет конечную длину, плоскость – конечную площадь и так далее.
В частности, прямые Римана все замкнуты и конечны, имея одну и ту же длину.
Каждые две прямые имеют одну общую точку, т. е. на римановой плоскости нет параллельных прямых.

Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютизировать представления о пространстве, что «употребительная» геометрия, как называл Лобачевский геометрию Евклида, не является единственно возможной. Она органично вписывается в общую геометрию, являясь ее частным случаем (при нулевой кривизне).

Заключение.

В процессе работы над темой проекта мною рассмотрены основные положения геометрии Лобачевского, доказана её непротиворечивость, указаны некоторые сферы её применения в реальной жизни: в физике, в частности, астрономии и космонавтике. Работа показывает существование геометрии, отличной от Евклидовой, ее суть и развитие.

Изучая литературу, я поняла, что Н.И. Лобачевский своими научными трудами дает нам новый научный посыл. В прежние времена одна научная теория сменяла другую, стирая прежнюю. Теперь же теория заменяется более общей, содержащей параметры, при частных значениях которых получается не одна, а несколько новых идей. Неевклидова геометрия полностью решила задачу обоснования геометрии Евклида и дала схему обоснования всякой дедуктивной науки. Неевклидова геометрия получила применение в анализе и теории функций – одном из основных вопросов теории познания. Она в широком смысле составляет базу важнейших учений современной физики. Развитие неевклидовой геометрии продолжается. Планирую заняться этой темой, разобрать доказательства теорем, научиться решать задачи. Моя работа может быть использована в школе учителями математики при проведении внеурочных или факультативных занятий. Поставленная перед проектом цель достигнута.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ