Научно-исследовательская работа " Методы решения квадратных уравнений»"

Городская сессия научного общества учащихся

Секция «Теоретическая математика»

Тема: «Методы решения квадратных уравнений»

Карушев Эзен Витальевич, 8б класс,

МБОУ «Лицей №1 им.М.В. Карамаева»

Научный руководитель:

 Букачакова Радмила Раджевна

Учитель математики

г.Горно-Алтайск

2023г

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Историческая справка

Определение квадратного корня, стандартные способы решения квадратных уравнений

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Актуальность темы исследования.

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью элементарных функций.

 В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Все это заинтересовало меня, и поэтому, для своей исследовательской работы выбрал тему «Способы решения квадратных уравнений».

Цель исследовательской работы: выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.

Задачи исследовательской работы: проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений.

Задачи:

1. Познакомиться с историческими фактами, связанными с данным вопросом.
2. Описать технологии различных существующих способов решения уравнений второй степени.
3. Провести анализ этих способов, сравнить их.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза: существуют ли другие способы решения квадратного уравнения и имеют ли они право на существование?

Практическая значимость: квадратные уравнения – это фундамент, на котором построен курс алгебры. К решению квадратных уравнений сводятся решения дробно-рациональных уравнений и текстовых задач, находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений. Начинают изучать решение квадратных уравнений в 8 классе и решают их до окончания вуза.

История возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения  таких уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадают с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

Квадратные уравнения в Европе 13-17 вв. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники 14-17 веков. Общее правило решения квадратных уравнений вида  было сформировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века. учитывали помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. «Квадраты равны корням», т.е.  ax2  + c =bx(5х2=10х).
2. «Квадраты равны числу», т. е. ax2=c(5x2=80).
3. «Корни равны числу», т. е. ax=c(4х=20).
4. «Квадраты и числа равны корням»,т.е.ax2+c=bx(х2+ 10х=39).
5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax2+bx=c(x2+21=10x).
6. Корни и числа равны квадратам», т. е. bx+c=ax2  (3х+4=х2)

Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+bх=с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c , было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых вXVIв. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь вXVIIв. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была сформулирована им впервые в 1591г.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета ещё далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Определение квадратного уравнения и его виды.

1) Алгоритм – точное предписание (правило) о выполнении в определенном порядке указанных операций (шагов алгоритма), позволяющее решать все задачи определенного вида.

2) Квадратным уравнением называют уравнения вида:

ax2+bx-c=0, где a, b, c – некоторые действительные числа.

а – первый или старший коэффициент;

b – второй коэффициент или коэффициент при х;

с – свободный член.

3) Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1;

квадратное уравнение называют непереведенным, если старший коэффициент отличается от 1.

4)Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.

5) Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Решение квадратного уравнения общеизвестными способами.

Разложение левой части уравнения на множители.

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению.

• Пример

Решим уравнение х2+10х-24=0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х2+10х-24=х2+12х-2х-24=х(х+12)-2(х+12)=(х+12)(х-2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х+12)(х-2)=0.

Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х=2,а правая при х= -12.

Решение квадратного уравнений по формуле

Вывод формулы:

Умножим обе части уравнения  ax2+bx+c=0 , а ≠ 0, на 4а и, следовательно, имеем :

4а2х2+4аbc+4ac=0

((2ax)2+2ax ∙ b + b2)-b2+4ac=0

(2ax+b)2=b2-4ac

2ax+b= ±

2ax =-b±

X1,2=

Выражение b2- 4 ac называют дискриминантом и обозначают D, причем

• Если D>0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два различных корня;
• Если D=0, то два одинаковых корня;
• Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней.

Решение уравнений с использование теоремы Виета (прямой и обратной)

1)Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид:

x2+ px + q=0 (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид

x1x2= q

x1+x2 = -p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

А) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q> 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то – положительны.

Например,

х2-3x+2=0; x1 = 2  и x2=1, так как q = 2>0  и p = – 3 <0;

х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

Б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например,

х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;

х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.

2) Теорема Виета для квадратного уравнения ax2+bx+c=0 имеет вид :

х1х2 =  ,

х1+х2 = - .

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -p,

                                           х1х2 = q,  

 то х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 + px + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Примеры

1. Решить уравнение x2-9x+14=0

Попробуем найти два числа х1 и х2, такие, что

х1 + х2 = 9

х1х2 = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2. Решить уравнение :x2+3x-28

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что

х1+х2= - 3

х1х2 = - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут - 7 и 4. Они и являются корнями данного уравнения.

Нетрадиционных способы решения квадратных уравнений

1. Метод выделения полного квадрата

• Пример

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2 • х • 3 .

 В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе -  удвоенное произведение х и 3. Поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, т.к.

х2+2•х•3+32=(х+3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2+6х-7=0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2+6х-7=х2+2• х • 3 +32 - 32-7= (х+3)2- 9 -7= (х+3)2-16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х+ 3)2-16 = 0, т.е. (х+ 3)2 = 16

 Следовательно, х + 3 = 4, или х +3 = -4

                                   х 1= 1,         х2 = - 7.

2. Решение уравнений способом «переброски»

 Рассмотрим квадратное уравнение

ах2+bх+ с= 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение:

а2х2+ baх + ас = 0.

Пусть ах = у, тогда приходим к уравнению:

у2+bу+ас=0,

равносильному  данному.

Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получим х1 = и  х2 =  .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

• Примеры

 Решим уравнение

2х2 - 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2- 11у +30= 0.

Согласно теореме    у1 = 6         х1 =         х1 = 3

                                   у2 = 5         х2 =          х2 = 2,5

Ответ: 2,5; 3.

3. Решение квадратного уравнения графическим способом

Если в уравнении : х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 =  - px – q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи :

-прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут качаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

-прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

• Пример

Решим графически уравнение : х2 - 3х - 4 = 0

Решение. Запишем уравнение в виде : х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4  можно  построить по двум точкам М (0; 4)  и  N (3; 13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = -1 и х2 = 4.

Ответ.х1 = -1, х2 = 4.

4.Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль - Хорезми.

Уравнение х2 + 10х = 39

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39».

Берем квадрат со стороной х, его S=x2 и прямоугольник с S=10x (где длина =10, а ширина = х) и вся это площадь равна 39.

Аль-Хорезми предложил, прямоугольник поделить на две равные части

(х+5)2=39+52

(х+5)2=64

х+5=8      

х=3          

На тот момент такие задачи решались на земельных участках и такой способ решения удовлетворил всех.(Ал–Хорезми не признавал  отрицательных чисел.)

Заключение

Человечество прошло длинный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание всё более полным и совершенным.

Уравнения – язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных.

В ходе выполнения работы с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Проанализировав все новые способы решения квадратных уравнений, стало очевидным, что нельзя однозначно сказать, какой именно метод наиболее удобен или совершенен. Можно сделать вывод, что все способы надо иметь в своем арсенале и применять их по мере необходимости с точки зрения рациональности решения.

Данная работа помогла мне обобщить  способы решения квадратных уравнений, которые не изучают в школе. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален.

С результатами моей работы я познакомлю одноклассников и учеников других 8-х классов. Они могут воспользоваться собранными материалами для изучения и закрепления рациональных способов решения квадратных уравнений. В дальнейшем я планирую еще изучить другие способы нестандартного решения квадратных уравнений.

Литература

1.Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М., Просвещение, 1972.

2.Соломник В.С., Милов П.И. Сборник задач по алгебре и элементарными функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М., Просвещение, 1970.

Интернет-ресурсы:

http://bibliofond.ru/view/aspx?id=581448

http://skolkobudet.ru/publ/4-1-0-18

http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2012/08/22/sem-srosobov-resheniya-kvadratnykh-uravneniy