НПК " Проценты в жизни человека"

«УОМО УСТЬ-УДИНСКИЙ РАЙОН»

Муниципальное казённое образовательное учреждение

Средне-Муйская средняя общеобразовательная школа

(МКОУ Средне-Муйская средняя общеобразовательная школа)

Районная исследовательская конференция

Проценты в жизни человека

Работу выполнила:

Непомнящих Андрей, ученик 8 класса

Муниципальное казённое обще – образовательное учреждение Средне –Муйская средняя общеобразовательная школа Усть - Удинского района Иркутской области

Руководитель:

Исакова Тамара Ивановна, учитель математики, высшей квалификационной категории. МКОУ Средне – Муйская СОШ Усть-Удинского района Иркутской области

р.п. Усть - Уда, 2019года

Содержание  

Аннотация

Актуальность темы: Проценты – это одна из сложнейших тем математики.  Очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты, встречающиеся в ОГЭ и ЕГЭ по математике.Умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Значение затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью.

Предмет исследования: Поиск информации в источниках, справочниках, ресурсах Internet, кредит для нужд  семьи. Подбор задач из сборников ОГЭ и ЕГЭ по математике за несколько лет.

Цель исследования: 

• Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах  из разных сфер жизни человека.
• Изучить способы решения задач на сложные  проценты

Задачи: 

• Познакомиться с историей возникновения процентов
• Научиться решать задачи на сложные проценты разными способами
• Сделать подборку задач из ОГЭ, ЕГЭ решаемые по формуле сложных процентов
• Провести анализ кредита для нужд  семьи
• Поработать с ресурсами Internet
• Получить опыт публичного выступления

Гипотеза: можно выдвинуть две гипотезы: в жизни человек не сможет обойтись без процентов, другая – проценты не нужны человеку в жизни. Мы считаем, что в 21 веке все финансовые, денежные расчёты выполняются с помощью процентов.  КИМах ОГЭ и ЕГЭ по математике встречаются задачи на проценты. Поэтому знания о процентах нужны каждому.

Выводы:  В ходе проделанной работы я узнала, что сложные проценты – это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. Подробнее изучила правила нахождения процентов. Сделала подборку и решила ряд задач из ЕГЭ – 11 классов и ОГЭ – 9 классов. Исследовала бюджет семьи. Результаты занесла в таблицы и диаграммы.

Описание работы

 Введение.

Почему я  выбрала тему «Проценты»?

Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты.  Умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Проанализировав программу средней школы по математике, пришли к выводу: по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени. Решение задач на проценты разными способами встречается в ОГЭ и ЕГЭ по математике. Поэтому я  решила сделать подборку задач из ОГЭ – 9 классов, и ЕГЭ – 11 классов на применение  сложных процентов.

1. Из истории происхождения процентов

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста».  Проценты были известны индийцам еще в 5 веке. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV веке. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Например: Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

• Решение:Для начала найдем 20% от 50 , получим пропорцию                                                                                        
• 50с – 100%
•  Хс – 20%
• Х=20*50/100=10 с
• 50 + 10 = 60сестерциев
• Ответ: 60 сестерциев.

       От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII века.

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Существует и другая версия возникновения этого знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже вышла книга Матьё де ла Порта «Руководство по коммерческой арифметике». В одной из глав речь шла о процентах, которые обозначались теми же уже знакомыми нам буквами «cto». Однако подслеповатый наборщик принял букву t в этой надписи за дробную черту. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), так возник современный символ для обозначения процента - %

Так, благодаря одной глупой или не такой уж и глупой ошибке, возможно, знак % и вошёл в обиход. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть метра - сантиметром, сотую часть гектара - аром или соткой. Принято называть сотую часть величины или числа процентом.
Для краткости слов «процент» после числа заменяют знаком %.

2. Проценты в матеметике разбиваются на категории

1 категория: - простые:

1. нахождение процента от числа;
2.  нахождение числа по его процентам;
3.  нахождение процентного отношения двух чисел

 2 категория– сложные;

1. задачи на смеси и сплавы
2. задачи на оптимальный выбор
3. задачи на кредиты
4. задачи о вкладах
5. задачи по финансовой математике

II.1 Простые проценты

Решение задач различными способами.

- простые

1. нахождение процента от числа;(См. Приложение1 )

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Чтобы найтиа % от в, надо в• 0,01а.

 Исследование бюджета семьи                                         

При составлении бюджета семьи  использовала правило нахождения процентов от числа для того, чтобы узнать процентный доход в бюджет каждого из родителей.

Вычисления:

Для того чтобы найти в процентах зарплату, надо сумму умножить на 100 и разделить на90000.

1. 40000*100 = 44,4% -  папа

                 90000

2. 50000* 100 = 55,6% - мама

           90000

составили бюджет семьи, применили свойство нахождения процентов от числа и представили данные в виде диаграммы.

                                      Бюджет семьи

Вывод: наибольшее число процентов семейного бюджета расходуется на питание , приобретение одежды (20%), на транспортные средства    

б. нахождение числа по его процентам; 

 За контрольную работу по математике отметку»5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

  Решение:

Неизвестное число – 100%.

1) 12:30=0,4 учеников составляет 1%.

2) 0,4*100=40 учеников в классе.

Ответ: 40 учеников в классе.

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге . Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик ( 138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге. Так как 138 стр. - это всего лишь часть , само количество страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверки.

в. нахождение процентного отношения двух чисел:

  Пример 3:  из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

 Решение:

1800 га составляют 100%

1) 1800:100=18 га составляет 1%.

2) 558:18=31; 558 га составляют 31%.

Ответ: ; 558 га картофеля составляют 31%.

Методы решения задач.

Задача 1

Восемь яблок разложили по 2 на несколько тарелок. Сколько понадобилось тарелок?

Учащиеся могут решить эту задачу, не имея никакого представления о делении и о записи этого действия, а только опираясь на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 8. Для этого они отсчитывают 8 яблок, положат 2 на одну тарелку, затем 2 на другую и т.д. пока не разложат все. Посчитав количество тарелок, они ответят на поставленный вопрос. Такой способ и называется практическим или предметным. Его возможности ограничены, так как учащийся может выполнить предметные действия только с небольшим количеством предметов. Усвоив смысл действия деления и его запись, можно решить эту задачу уже не практическим, а арифметическим способом, записав равенство 8 : 2 = 4.

Задача 2

Для решения можно применить алгебраический способ, рассуждая при этом так: “Число тарелок неизвестно, обозначим их буквой Х. На каждой тарелке 2 яблока, значит число всех яблок - это 2х. Так как в условии известно, что число всех яблок 8, то можно записать уравнение 2х = 8 и решить его Х = 8: 2, Х = 4”.

Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Практический способ.

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим

пойманных рыб: л - лещи, о - окуни.

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует тем кругам, которые не обозначены (их З).

Арифметический способ

1) 3 + 4 = 7 (р.) - пойманные рыбы

2) 10-7=3 (р.) - щуки

Для ответа на вопрос задачи мы выполнили два действия.

Алгебраический способ

Пусть х - пойманные щуки

Тогда количество всех рыб можно записать выражением:

3 + 4 + х - все рыбы

По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб.

Значит 3 + 4 + х = 10

Решив это уравнение, мы ответим на вопрос задачи.

Графический способ

Этот способ, так же как и практический, позволяет ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

В начальных классах используются различные формы записи решения задач по действиям, по действиям с пояснением, с вопросами, выражением.

Задача 3

У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12 на вторую. Остальные на третью. Сколько книг на третьей пилке?

а) решение по действиям

1) 28 - 12 = 40 (к.)

2) 90 - 40 = 50 (к.)

Ответ: 50 книг на третьей полке.

б) по действиям с пояснением

1) 28 + 12 = 40 (к.) на 1 и 2 полках вместе.

2) 90 - 10 = 50 (к.) на 3 полке.

Ответ: 50 книг.

в) с вопросами

1) Сколько книг на первой и второй полках вместе?

28 + 12 = 40 (к.)

2) Сколько книг на третьей полке?

90 - 40 = 50 (к.)

Ответ: 50 книг.

г) выражением 

90 - (28 + 12)

При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

90 - (28 + 12) = 50 (к.)

Ответ: 50 книг.

Не следует путать такие понятие как: решение задачи различными способами (практический, арифметический графический, алгебраический), различные формы записи арифметического способа, решения задачи (по действиям, выражением по действиям с пояснением, с вопросами) и решение задачи различными арифметическими способами. В последнем случае речь идет о возможности установления различных связей между данными и искомым, а, с следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.

Например, рассмотренную выше задачу можно решить другим арифметическим способом:

1) 90 - 28 = 62 (к.) на 2 и3 полках.

2) 62 - 12 = 50 (к.) на 3 полке.

Ответ: 50 книг.

В качестве арифметического способа можно рассматривать и такое решение данной задачи:

1) 90 - 12 = 78 (к.) на 2 и 3 полках.

2) 78 -28 = 50 (к.) на З полке.

Ответ: 50 книг.

В числе способов решения задач ложно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического способа, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание схема моделирует только связи и отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство) Тем не менее моделирование текста задачи в виде схемы иногда позволяет ответить не вопрос задачи.

Задача 4

 В саду яблоневые и грушевые деревья, причем яблоневых было на 54 дерева больше, чем грушевых. После того, как садовник посадил еще 7 яблоневых и столько же грушевых деревьев, яблоневых стало в 4 раза больше грушевых. Сколько было деревьев каждого вида вначале?

Пусть х будет грушевых деревьев, тогда (х + 54) дерева яблоневых. Составим и решим уравнение:

 (7 + х) 4 = х + 5

28 + 4х = х + 61

4х – х = 61 – 28

            3х = 33

            х = 33 : 3

            х = 11

      Значит 11 грушевых деревьев, тогда 11 + 54 = 65 яблоневых

      Ответ: 11, 65.  

3. Cложные проценты

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.

х(1+ 0,01а)n, где х - начальный вклад, сумма. а – процент(ы) годовых, n- время размещения вклада в банке. Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

III.1 Задачи на сплавы и смеси

Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления.

Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

• составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
• решения полученной модели;
• анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

Основными компонентами в этих задачах являются:

• масса раствора (смеси, сплава);                                                - М
• масса вещества;                                                                           -m
• доля (% содержание) вещества (концентрация вещества  -P

При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Стандартная таблица для решения задач на сплавы и смеси:

Основная формула, применяемая при решении задач на сплавы:

P = m / M *100%    (**)

В задачах на концентрацию, смеси, сплавы уравнение, как правило, составляется по последнему столбцу.

Рассмотрим 2 типа наиболее часто встречающихся  видов задач со смесями и сплавами.

1тип. 

Чаще всего встречаются задачи, в которых известны процентные содержания одного и того же вещества как в двух исходных сплавах, так и в сплаве, полученном после их соединения.

Задача: Сколько литров 20% -го раствора кислоты надо добавить к 5 л  40%-го раствора кислоты, чтобы получить раствор с 23% содержанием кислоты?

Решение: по условию задачи имеем:

Обозначим через х объём первого раствора и выразим через х все неизвестные по условию величины. Тогда получим таблицу:

Используя формулу (**), получим уравнение: (0,2х+2)/(х+5)=23/100

Решив уравнение, запишем ответ: х=28⅓ л

Примеры на 1 тип задач:

• Один раствор содержит 20% кислот, а второй – 70% кислот.

Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы

получить 100 л раствора с 50%-ным содержанием кислот?

• Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий

40% меди. Сколько чистого олова нужно добавить к нему, чтобы

получить сплав с 30%-ным содержанием меди?

• Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и

пластичностью. Первый такой сплав содержит 5% магния, второй

сплав –3% магния. Масса второго сплава в 4 раза больше, чем

масса первого сплава. Эти сплавы сплавили и получили 3 кг но-

вого сплава. Определите, сколько граммов магния содержится в

новом сплаве.

• Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Пер-

вый сплав содержит 10% цинка, второй – 40% цинка. Новый

сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цин-

ка. Определите массу нового сплава.

2тип. 

Одна из смесей содержит лишь один элемент. В таком случае процент (концентрация)  вещества может быть равен 0 или 100, что не всегда понятно учащимся.

Задача: Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составило 2%?

Решение: первоначальная таблица имеет вид:

За х примем количество добавляемой пресной воды, тогда таблица примет вид:

Используя формулу (**) и последний столбец таблицы получим уравнение:

4 / (80+х) =2/100

Решив уравнение, запишем ответ: 120 кг

Примеры на 2 тип задач:

• Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной

воды надо добавить к 40кг морской воды, чтобы получить рас-

твор, содержащий 2% соли?

• Имеется 600г сплава золота с серебром, содержащего золото и

серебро в отношении один к пяти соответственно. Сколько грам-

мов золота необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый

сплав содержал 50% серебра?

• Имеется кусок сплава меди и олова общей массой 12 кг, со-

держащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к

этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%

меди?

• В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Задача Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? Решение: Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием одного из этих веществ, например, олово в первоначальном сплаве и в полученном.                      Задача 3: в 12 кг сплава было 45% меди, а олова в нем было 55%, т.е. 12 * 55% / 100% кг олова. Пусть к первоначальному сплаву добавили x кг олова. Тогда получилось (12+ x) кг нового сплава, в котором олово стало 60%, т.е. 60%(12+x) / 100% кг. Таким образом, получается следующее уравнение: 55% * 12 / 100% + x = 60% (12+ x) / 100%. Решив это уравнение, найдем, что x = 1,5. по смыслу задачи x > 0. Найденное значение x условию удовлетворяет. Итак, к первоначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова. Ответ: 1,5 кг олова.

Задача.Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

1 способ решения.

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы): 0,15x +130 − 0,65х = 60. Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание меди (доля содержания вещества) Масса раствора (смеси, сплава) Масса вещества Первый сплав 15%=0,15 хг 0,15*х Второй раствор 65%=0,65 (200 – х)г 0,65*(200–х)=130–0,65х Получившийся раствор 30%=0,3 200 г 200*0,3=60 Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г. Ответ:140г. 60г.

 Второй способ решения. Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид: Решение. Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему: Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства): 0,15x + 0,65 ⋅(200 − x) = 0,3 ⋅ 200. Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г. Ответ:140г. 60г. Ответ: 140 г меди и 60 г свинца

Третий способ решения. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид: Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:    + = + = ⋅ 200. 0,15 0,65 0,3 200, x y x y Решение системы приводит к результату: x = 140, y = 60. Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г. Ответ: 140г,60г.

Задача  . Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?

Первый способ: медь медь медь 15% 65% 30% х г (200-х) г 200 г + = свинец медь свинец медь 15% 65% х г y г свинец медь 30% 200 г + = Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание вещества (доля содержания вещества) Масса раствора (смеси, сплава) Масса вещества Сироп 25%=0,25 180 г. 0,25⋅180=45 (г.) Вода 0% х г. - Новый сироп 20%=0,2 (180+х) г. 0,2⋅(180+х)=36+0,2х (г.) 45 = 36 + 0,2х; 0,2х = 9; х=45. Ответ: 45 г.

Второй способ: 0,75⋅180+х=0,8⋅(180+х); 135+х=144+0,8х; 0,2х=9; х=45. Ответ : 45 г. Задача №3. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять? Решение : Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 - x) = 600 *15 100 100 100 Так как дроби имеют одинаковые знаменатели, то данное уравнение равносильно уравнению: 30х + 10 ∙(600 – х) = 600 ∙15. Решив его, получим, что x = 150 Ответ : 150 г и 450 г

Задача . Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?

 Решение. Обозначим через Х% концентрацию нового раствора, масса которого равна 0,5 + 1,5 = 2(л) вода сахар вода вода сахар х г. (180+х) 75% + 100% = 80% соль соль соль 30% 10% 15% х г (600-х) г 600 г + = кисл кисл кисл 20% 30% х% 0,5лг 1,5 л 2 л + = Составим уравнение: + = 0,5∙ 20 + 30 ∙1,5 = 2х 2х = 55 Х = 27,5 Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%

Задача Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

Решение. Обозначим через х г – количество чистой воды, которое надо добавить. Масса всего раствора станет равной ( х + 100) г. Составим уравнение: + = . Решив уравнение, получим, что х= 350 Ответ: 350 г воды Задача №6. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты. Решение. Обозначим через х% концентрацию получившейся соляной кислоты., а через Уг. – массу растворов. Получили смесь массой 2У г. Составим уравнение: + = . Разделим обе части уравнения на 2У , получим 6 + 10 = х, тогда х = 16. Ответ: 16 %.

Задача (Типовые тестовые задания ЕГЭ 2012 п/р А.Л.Семенова, И.В.Ященко) Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?

Решение. Задача содержит два неизвестных, поэтому необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Составим эти уравнения. Обозначим через х кг – массу первого раствора, через у кг- массу второго раствора. Рассмотрим первую ситуацию: уксус уксус уксус 9% 0% 2% 100 г х г (х+100) + = соль соль соль 12% 20% х% У г У г 2У г + = Составим первое уравнение: + + = . После упрощения уравнение примет вид: 2х +у = 10. Рассмотрим вторую ситуацию: Составим второе уравнение: + + = . После упрощения уравнение примет вид: у = 4. Тогда х = 3 Ответ: 3 кг использовали 70%-й кислоты

Задача. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось? 

Решение. Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет 5 2 , а в полученном сплаве - 3 2 . Обозначим массу полученного сплава х кг, и, внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем: Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем уравнение: ( ) . 3 2 4 4 5 2 x − + = ⋅ x Решив его, получаем искомое значение: х=9. Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые данные: 1)если в первом сплаве медь составляет часть 5 2 , то цинк – 5 3 ; 2) если в полученном сплаве медь составляет часть 3 2 , то цинк – 3 1 . Уравнение в этом случае имеет вид: ( ) . 3 1 4 5 3 ⋅ x − = ⋅ x Это уравнение равносильно предыдущему. Ответ х=9кг.

Задача . Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус, добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?

Решение. Для консервирования 20кг баклажан понадобится 1л или 1000мл столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл уксусной эссенции медь цинк медь медь цинк 2/5 1 (x-4) кг 4 кг х кг + = 2/3 медь медь медь цинк цинк 3/5 1/3 (x-4)кг 4кг хкг + = (80% раствор уксусной кислоты) необходимо добавить воду, тогда схема для решения задачи имеет вид: Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение 125 0.8 100, = = x x Значит, для приготовления 500мл маринада понадобится 125мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты). Ответ:125мл.

Задача. Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги? Решение .При высыхании абрикос испаряется вода, количество сухого вещества не меняется. Схема для решения такой задачи имеет вид: Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой части схемы: 0,2х=8,8 х=44. Ответ:44кг. Задача. По рецепту засолки огурцов на каждые 10 л рассола необходимо добавить 1 л столового уксуса . У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус (10 % раствор уксусной кислоты), добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобиться хозяйке для приготовления 5 л рассола?

Решение. Для приготовления 5л рассола необходимо 0,5л или 500мл столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты), необходимо добавить воду. Тогда схема для решения задачи имеет вид: Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение: 62,5 0,8 50 = = x x Значит, для приготовления 5л рассола хозяйке понадобится 62,5мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты). Ответ:62,5

III.2. Задачи на оптимальный выбор

Задача. Цена холодильника ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года он был продан за 15 842 рубля.

  Решение. Пусть a – часть, на которую каждый год уменьшалась цена холодильника. Используя формулу сложных процентов, составим и решим

уравнение: 20 000·( 1 − а )2= 15 842; (1 − а )2 = 15 842 20 000; (1 − а )2 = 0,7921; (1 − а )2 = (0,89)2; 1 − а = 0,89( 1 - а> 0); а = 0,11. Следовательно цена холодильника ежегодно уменьшалась на 0, 11·100 = 11(%). Ответ: 11%

Задача. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение.

Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет 1/22 от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ―1/23 от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х девочек (где 2≤ x ≤ 22), тогда в больший класс попало (25 - x) девочек. Значит суммарная доля девочек в двух классах равна     x/25 + (25 - x) /23 = x/506 +25/23 и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при x = 22.    Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: в одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Задача 2. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение.

Пусть на первый объект будет направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит f1(x)= 4x2. Тогда на второй объект будет направлено (24 -x) рабочих — суточная заработная плата составит f(x2) = (24 – x2) = 576 – 48x + x2.  В день начальник будет должен платить рабочим f(x) = f1(x) + f(x2) = 5x2 _ 48x + 576 у. е.

Рассмотрим функцию f(x)   при 0x0 = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

f (4) = 5*16 – 48*4 +576 = 16 (5 -12 +36) = 16*29 = 16*30 – 16 =464

f (5) = 125 – 240 + 576 = 461

Тем самым, на множестве натуральных значений аргумента наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у.е.

Задача. Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Арифметическое решение.

Заметим, что контейнер типа А приносит 2,5 млн руб. за тонну, а контейнер типа В — 1,4 млн руб. за тонну, поэтому контейнеров типа А должно быть как можно больше, а контейнеров типа В как можно меньше. По условию, на каждые 4 контейнера типа А должно приходиться не менее 5 контейнеров типа B. Пусть контейнеров типа А будет 4x, а контейнеров типа B — 5x, их общий вес составит 8x + 25x = 33x тонн. Грузоподъёмность баржи 134 тонны, поэтому наибольшее возможное целое значение x = 4.

Если x = 4, то на баржу можно загрузить 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B, их стоимость составит 80 + 140 = 220 млн руб. При этом баржа будет недогружена на 2 тонны. Заменим два контейнера типа А одним контейнером типа В. Стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составляет 70 + 147 = 217 млн руб., при этом баржа недогружена на 1 тонну. Можно было бы загрузить баржу полностью, заменив ещё два контейнера типа Аодним контейнером типа В, но при этом общая стоимость контейнеров снова бы снизилась на 3 млн руб. Из этого следует, что оптимально не загружать баржу полностью, а загрузить на неё 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа В общей стоимостью 220 млн руб.

Примечание.

Проверять изменение стоимости при дозагрузке не полностью нагруженной баржи — обязательная часть решения. Например, если бы контейнер типа В стоил 11 млн руб., а другие данные задачи не поменялись бы, то стоимость 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B составила бы 80 + 220 = 300 млн руб. (недогружено 2 тонны), стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составила бы 70 + 231 = 301 млн руб. (недогружена 1 тонна), а стоимость 12 контейнеров типа А и 22 контейнеров типа В составила бы 302 млн руб. — баржа загружена полностью, прибыль максимальна, дальнейшая замена контейнеров типа А на контейнеры типа В приводит к уменьшению прибыли.

III.3. Задачи на кредиты

В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов:

Дифференцированный платёж заключается в том, что на первые месяцы выплат приходятся максимальные суммы, в которые входит часть основного долга и проценты по кредиту. При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а вот проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей наиболее велики, потому что проценты по кредиту существенны. А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.

Аннуитетные платежи Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц. Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком. Подобный график погашения платежей с ежемесячной суммой — константа очень выгоден людям, имеющим фиксированный доход: нет необходимости каждый месяц сверяться с графиком платежей, чтобы заранее зарезервировать нужную сумму для оплаты кредита; равные доли платежа позволяют исключить возможность остаться без средств к существованию после уплаты ежемесячного взноса.

Формулы расчёта кредитных платежей. Для того, чтобы определить для себя, что лучше: аннуитетный или дифференцированный платёж, можно заранее просчитать по формулам ежемесячные суммы: общего платежа; начисляемых процентов; суммы основного долга; остатка кредита на начало и конец месяца.

Формула расчёта дифференцированного платежа: 

 НП — начисленные проценты в периоде;

ОК — остаток кредита в месяце;

ПС — процентная ставка по кредиту.

Такая формула часто применяется банками и кредитными учреждениями для расчёта дифференцированных платежей. Общую сумму переплаты по этому виду кредита можно увидеть в таблице:

 Формула расчёта аннуитетного платежа:

АП — общий аннуитетный платёж в периоде;

 СК — первоначальная сумма кредита;

ПС — процентная ставка по кредиту;

 КП — количество месяцев (периодов).

 Данная формула считается основной для расчёта аннуитетных платежей и применяется основным количеством банков и кредитных организаций, используясь в большинстве кредитных калькуляторов. Полученные результаты по ежемесячному погашению кредита и сумме переплаты за пользование займом, можно увидеть в таблице:

Добавить

III.4. Задачи на вклады

Задача. Представим, что вы положили 30 000 руб в банк под 12 % годовых.

Через год на вашем банковском счету будет лежать

сумма SUM = 30000 + 30000*12% = 33 600 руб.

Прибыль за год - 3600 рублей.

Вы решили оставить 336000 руб. на второй год в банке под те же 12%.

Через 2 года в банке накопится 33600 + 33600*12% = 37632руб.

Прибыль за первый год (3600 рублей) прибавилась к основной сумме (30 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Задача. Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?

Решение.

1) Табличный вариант решения:

2) Вариант решения с помощью выражения:

3) Если бы ни Саша, ни Паша не снимали со счетов… их вклады выросли бы за 3 года до 50000 · 1,331 = 1331 · 100 : 2 = 133100 : 2 = 66550 (р).

Что помешало Саше?

50000 · 1,1 · 0,1 = 5000 · 1,1 = 5500 р., что он снял со счета 04.12.15 привело к уменьшению ожидаемой суммы, включая процентные начисления в течение 2 лет! А этот поступок Саши исчисляется суммой 5500 · 1,21 = 5500 · 121 = 1331 · 5 = 13310 : 2 = 6655 (р).

Те 20 000 р., которые он снял 04.12.16, привело к уменьшению ожидаемой суммы на 20 000 · 1,1 = 22 000 (р.). Итого: 28 655 р.

В конечном итоге ему причиталось 66 550 − 28 655=37895 (р.)

Что помешало Паше?

50 000 · 1,1 · 0,2 = 10 000 · 1,1 = 11000 р., что он снял со счета 04.12.15, привело к уменьшению ожидаемой суммы, включая процентные начисления в течение 2 лет! А это исчисляется суммой 11 000 · 1,21 = 1,1 · 1,21 · 10 000 = 1,331 · 10 000 = 13 310 (р).

15 000 р., которые он снял в конце 04.12.16, привело к уменьшению ожидаемой суммы на (р.). Итого: 29 810 р.

В окончательный расчет на руки Паше выдали: 66 550 − 29 810 = 36 740 (р.)

Саша получил на 1 155 р. больше, чем Паша (37895 − 36740).

Ответ: у Саши, на 1155 рублей.

Задача

Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

Арифметический подход к решению.

1. 3600 · 1,485 = 5346 тыс. руб. — размер вклада к концу третьего года хранения.

2. 3600 · 1,1 · 1,1 · 1,1 = 4791,6 тыс. руб. — размер вклада к концу третьего года хранения, зависящего от первоначально внесенной суммы.

3. 5346 − 4791,6 = 554,4 тыс. руб. составляют ежегодные дополнительно внесенные вклады, включая начисленные процентные надбавки.

4. Пусть одну часть из суммы 554,4 тыс. руб. составляет дополнительно внесенная сумма в третий год хранения вклада вместе с процентной надбавкой, начисленной на ту же сумму. Тогда 1,1 часть составит размер дополнительно внесенной суммы во второй год хранения вклада с учетом процентной надбавки, начисленной дважды (два года подряд).

5. Всего 1+1,1 = 2,1 (части).

6. 554,4 : 2.1 = 264 тыс. руб. — доля одной части от 554, 4 т. р. вместе с ежегодной процентной надбавкой.

7. 264 : 1,1 = 240 тыс. руб. — сумма, ежегодно добавленная к вкладу.

Алгебраический подход к решению.

Пусть Владимир ежегодно вносил на счет x тыс. руб.

К концу первого года хранения размер вклада стал 3600 * 1,1 = 3960 тыс. руб.

Владимир дополнительно внес x р. Размер вклада стал 3960 + x тыс. руб.

К концу второго года хранения размер вклада стал (3960 + x) *1,1 = 4356 + 1,1x тыс. руб.

Владимир вновь сделал дополнительный взнос x тыс. руб.

Размер вклада стал 4356 + 1,1x + x =4356 + 2,1x тыс. руб.

К концу года были начислены проценты на сумму 4356 + 2,1xтыс. руб.

Размер вклада стал (4356 + 2,1x) *1,1 = 4791,6 + 2,31xтыс. руб., который равен 3600 * 1,485 =5346 тыс. руб.

Таким образом, составим и решим уравнение: 4791,6 + 2,31x = 5346 ⇔ 2,31x = 554,4 ⇔ x =240.

Ответ:240 тыс. рублей.

Задача. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Решение.

Пусть средства клиентов, имеющихся в банке, составляет S у.е.

Наименьшая прибыль, которую банку могут принести оба проекта 0,25S.

Банк получит наименьшую чистую прибыль если он своим клиентам выплатит проценты по высшей ставке (20%) . Рассчитаем этот показатель:

Наибольшая прибыль, которую банку могут принести оба проекта 0,3S.

Банк получит наибольшую чистую прибыль, если банк своим клиентам выплатит проценты по низшей ставке (10%).

Ответ:5%; 20%.

III.5.Общие задачи по финансовой математике

В одной стране в обращении находилось 1000000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5% от общего количества долларов?

Решение.

Ежемесячное увеличение валютной массы, находящейся в обращении, составляет 100−50 =50 тыс. долларов, поэтому через n месяцев в стране будет (1000 + 50n) тыс. долларов.

Количество фальшивых долларов ежемесячно уменьшается на  тыс. долларов. Изначально их было 1000000*·0,2=200000, поэтому через n месяцев в стране будет (200−5n) тыс. фальшивых долларов.

Через n месяцев фальшивые доллары составили 5% от общего количества долларов. Имеем:

Ответ:через 20 месяцев.

Заключение

Выполняя исследовательскую работу, выяснила: какое значение имеют проценты в жизни человека, как они работают в стране. Доказала, что в современном мире прожить без знаний процентов невозможно. Чтобы быть хорошими специалистами, надо уметь разбираться в большом потоке информации, необходимо знать проценты. Вкладчик сбережений учиться жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Изучение столь важной и интересной темы даёт положительную мотивацию для самообразования

Список литературы

1. Сахно Е.И, учитель математики МБОУ гимназии №8 г.Тихорецка МО Тихорецкий район Краснодарского края. Сборник для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике : «Решение текстовых задач»
2.   «Математика›Материалы ЕГЭ›,  2017 – 2018
3. oge.sdamgia.ru
4. ege.sdamgia.ru
5. Alexlarin.net