Проект "Задачи на клетчатой бумаге"

МБОУ Бобровский образовательный центр имени А.В. Гордеева

«Задачи на клетчатой бумаге»

Выполнила:

обучающаяся 7 «Б» класса

Тагинцева Валерия

Руководитель:

Тищенко Анна Витальевна

учитель математики

2022 г.

Оглавление

Введение                                                                                                             3

1. Задачи, при решении которых используется клетчатая бумага       5

1. Олимпиадные задачи и бумага в клетку;                                              5      
2. Задачи на вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге из ВПР и известные способы их решения;                                                                 6

2. Георг Пик и его замечательная формула                                              7

1.  Краткая биография и достижения Г. Пика;                                         7
2. Формула Пика и иллюстрация её применения;                                    7

3. Исследовательская часть                                                                        

1.  Сравнительный анализ способов решения задач на вычисление площадей многоугольников по клеткам;                                                                  9
2.  Выявление наличия навыков решения подобных задач у учащихся 5 и 11 классов нашей школы и самых распространенных способов решения, которые они применяют;                                                                                          15
3.  Определение способа решения, который  экономит время на ВПР                                                                                                              16

Заключение                                                                                                       18

Литература                                                                                                       19

Приложения                                                                                                     20

Введение

Клетчатая бумага у многих ассоциируется с математикой. Математика – удивительная наука! И мы предположили, что клетчатая бумага, обладая волшебными свойствами, помогает ей совершать настоящие чудеса. Конечно,  записывать числа, чертить фигуры на бумаге в клетку значительно легче.  Клетка - это квадрат. Его сторонами можно измерять длины отрезков без линейки, а самими квадратами можно измерять площадь, ведь 4 клетки это квадратный сантиметр.

При решении олимпиадных задач на математическом кружке мы обратили внимание на то, как много задач связано с клетчатой бумагой:

• задачи на разрезание и замощение;
• задачи на раскраску;
• целочисленные решетки;
• магические квадраты;
• игры на клетчатой бумаге;
• задачи на шахматной доске и др.

При подготовке к диагностическим работам и ВПР мы встретились с задачами на вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге. Оказывается,  подобные задачи есть и  на ЕГЭ по математике. Значит, уметь решать такие задачи очень важно! Какие же способы используют для их решения?

Ещё в начальной школе мы изучали различные формулы нахождения площадей: прямоугольника S = a ∙ b, квадрата S = a ∙ a и прямоугольного треугольника S = (a ∙ b):2. На уроках математики в 5 классе мы тоже использовали эти формулы для вычисления площадей фигур. Ещё мы изучили основные свойства площадей: равные фигуры имеют равные площади; площадь фигуры равна сумме площадей её частей. Это позволило нам догадаться, что фигуры на клетчатой бумаге можно делить на части, площади которых мы умеем находить. Есть и другие способы решения подобных задач, но все они требуют знания определённого количества формул, выучить которые не всем под силу. Но есть формула, которую не изучают в школе, но с помощью неё можно решить почти любую задачу на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге. Это формула Пика. Мы задумались: «Возможно, что эта формула может заменить все остальные? К тому же при её использовании не нужно делить или достраивать фигуры, а нужно просто считать узлы клеток».

Мы решили исследовать этот вопрос и выдвинули гипотезу, что формула Пика самый рациональный способ решения задач на вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге.

Объект исследования: Формула Пика.

Предмет исследований: различные способы решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге.

Цель:  исследование преимуществ  и минусов использования формулы Пика при решении задач в сравнении с другими способами решений

Задачи:

1. Собрать, проанализировать и изучить информацию о задачах на клетчатой бумаге и способах их решения.
2. Научиться применять формулу Пика и узнать больше о её создателе.
3. Выяснить насколько хорошо учащиеся нашей школы умеют решать задачи на вычисление площадей на клетчатой бумаге и применяют ли они при этом формулу Пика.
4. Сравнить способы решения и выявить их плюсы и минусы.
5. Провести эксперимент с целью выяснить, влияет ли выбор способа решения на скорость выполнения задания.

Методы исследования: анализ, обобщения, сравнения, опрос, эксперимент.

1. Задачи, при решении которых используется клетчатая бумага

1. Олимпиадные задачи и бумага в клетку

В олимпиадной математике есть много видов задач, в условиях которых или при их решении присутствует клетка. Некоторые виды таких задач мы перечислили во введении. Рассмотрим кратко три из них.

Магический квадрат (волшебный) – это квадратная таблица, которая обладает следующим свойством: суммы чисел во всех столбцах, строках и диагоналях должны быть одинаковыми.

Задачами на разрезание называются задачи, в которых требуется разрезать данный многоугольник на определенные части или наоборот, составить из данных многоугольников новый. Задачи на разрезание и составление фигур считаются одними из самых увлекательных головоломок в математике. Они весьма разнообразны, достаточно трудны и в то же время общедоступны, так как не требуют никакой специальной подготовки

Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Первый письменный источник с подобными задачами относится к Х веку – это фрагменты трактата персидского астронома Абул-Вефа, жившего в Багдаде. С этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Известно, что решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками.

Математические игры на клетчатой бумаге тоже очень популярны у детей и взрослых. Многие любят играть в такие игры как

• Крестики – нолики;
• Бридж – ит;
• Солитер;
• Морской бой;
• Две клетки;
• Точки.

Мы с одноклассниками с удовольствием играем в эти игры, развивая при этом логическое мышление, сообразительность, волю, упорство, умение анализировать.

2. Задачи на вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге из ОГЭ и ЕГЭ и известные способы их решения

В ОГЭ и ЕГЭ встречаются задачи на клетчатой бумаге на вычисление углов, длин отрезков и площадей различных фигур. В задачах на нахождение площадей многоугольников, которые чаще всего встречаются на ЕГЭ, применяются обычно два известных способа решения. Это способы разбиения и достраивания фигур. При использовании этих способов нужно суметь догадаться, как выполнить разбиение или достраивание. Способы, в большинстве случаев, громоздкие, требуют запоминания большого числа формул, часто приводят к вычислительным ошибкам.

Приведём примеры применения этих способов.

1)

Разобьем трапецию АВСD на 2 части

По свойству площадей:

 S = S1  + S2  =

= (2∙3):2 + 3∙2  =

= 3 + 6 = 9 см²

                                     Ответ: 9 см² 

2)

Достроим  АВСD до прямоугольника.

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

S = Sп  – S1 – S2 – S3 – S4  =

= 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 = 16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см²

Вывод:

Вычислять площади фигур перечисленными способами не очень сложно, но нужно знать формулы и быть сообразительным. Есть ещё один способ вычисления площадей, но он подходит только для многоугольников, вершины которых расположены в узлах клеток. Рассмотрим его подробнее.

2.        Георг Пик и его замечательная формула

2.1.         Краткая биография и достижения Г. Пика

Георг Пик  (1859 - 1942) был австрийским математиком еврейского происхождения. Он умер в концлагере Терезиенштадт. Пик много сделал в математике. С его именем связаны математические понятия: матрица Пика, интерполяция Пика, лемма Шварца – Пика. Но более всего он известен как автор теоремы или формулы Пика, для расчета площади многоугольника, которую он доказал в 1899 году. Долгое время о формуле мало кто знал и только после того как польский математик Штейнгауз включил её в свою книгу «математический калейдоскоп», она стала широко известна. В Германии эта формула, которая привлекает многих своей простотой и изяществом, включена в школьные учебники.

2.2.        Формула Пика и иллюстрация её применения;

Данная формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе.

Узел клетки – это точка пересечения двух линий клетчатой бумаги.

По формуле Пика для того, чтобы вычислить площадь многоугольника, нужно посчитать N – число узлов внутри фигуры и M – число узлов на её границах.

Задача 1: Найти площадь треугольника.

Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах.

N = 7 (внутренние)

M = 8 (узлы на границах).

Площадь треугольника: S = 7 + 8:2 -1 = 10.

Задача 2: Найти площадь трапеции по клеточкам.

Отметим все узлы и подсчитаем их количество.

N = 11 (внутренние).

M = 12 (узлы на границах).

Площадь трапеции: S = 11 + 12:2 - 1 = 10.

3.        Исследовательская часть

3.1.         Сравнительный анализ способов решения задач на вычисление площадей многоугольников по клеткам;

Первое, что мы сделали, это решили несколько задач на клетчатой бумаге двумя разными способами: достраивая или деля фигуру на части; по формуле Пика. После этого сравнили способы решения и сделали выводы по преимуществам применения того или иного способа решения.

3.2.         Выявление наличия навыков решения подобных задач у учащихся 5 и 11 классов нашей школы и самых распространенных способов решения, которые они применяют;

С целью выяснить,  как справляются с решением задач на нахождение площадей фигур учащиеся 5-А, 5-Б, 5-Ж, 11-А, 11-В классов, в этих классах была проведена диагностическая работа. Учащимся 5-х классов, были предложены для решения 3 задачи, а учащимся 11-х 4 задачи. Задания были предложены в двух вариантах.

Результаты приведены в таблицах.

По данным исследованиям видно, что учащиеся 5-х классов плохо умеют решать подобные задачи и используют при решении только метод достраивания, применяя формулы площади прямоугольника и квадрата.

Большинство учащихся двух 11-х классов умеют решать задачи на вычисления площадей, применяют при этом метод достраивания или разбиения фигуры, используют различные формулы площадей. Формулу Пика знают и успешно применяют только 6% учащихся.

Выводы:

1. В классах, где учащиеся хорошо знают формулы площадей и умеют их применять нет смысла изучать ещё одну формулу дополнительно к остальным.
2. Вводить для изучения в младших классах эту формулу тоже опасно. Это может привести к тому, что учащиеся потеряют интерес к изучению формул для вычисления площади, а с помощью их решаются различные задачи, в которых формулу Пика применить нельзя.

3.3.         Определение способа решения, который  экономит время на экзамене.

Чтобы выяснить,  каким способом можно вычислить площадь быстрее, мы провели эксперимент по вычислению средней скорости решения. Группе учащихся 11 класса, которые хорошо владеют всеми способами решения,  предложили решить два контрольных задания с небольшим промежутком времени между их выполнением. Первое задание нужно было выполнить, используя формулу Пика, а второе любым из старых способов решения. После этого мы вычислили среднюю скорость решения одной задачи каждым из способов.

Результаты в таблице:

Только один человек показал время хуже при использовании формулы Пика. При этом всё равно среднее время решения,  по формуле Пика меньше, чем при решении методом разбиения или достраивания.

Метод Пика экономит время при решении и значит, может с успехом применяться на экзаменах и контрольных работах, где время ограниченно.

Заключение

Работая над проектом, я узнал много нового. Собрал, изучил и проанализировал информацию по теме проекта. Научился решать новые олимпиадные задачи на клетчатой бумаге, узнал новые формулы и способы решения, научился находить площади разных фигур методом разбиения или достраивания и по формуле Пика. Я сравнил способы решения, решая одни задачи разными способами, выяснил, как умеют решать задачи на клетчатой бумаге мои сверстники и выпускники нашей школы и  какой способ решения самый экономичный по времени.

Вывод:

Мы считаем, что формула Пика должна изучаться наряду с остальными способами решения, но на этапах подготовки к ОГЭ или ЕГЭ. Она упрощает и ускоряет решение в некоторых, особенно сложных задачах. Но заменить старые способы решения и другие формулы ей нельзя. То есть наша гипотеза нашла своё подтверждение частично.

Литература

1. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» 1974 год, номер 12.
2. Формула Пика http://turboreferat.ru/geometry/formula-pika/10094-52632-page1.html
3. Математика, которая мне нравится http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-1942/
4. Образовательный портал «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru
5. «Математические этюды» www.etudes.ru/ru/etudes/pick-theorem/
6. Дидактическая библиотека http://gorinalw.3dn.ru/OSNOVA/osnova-3-2013.pdf