Тригонометрические уравнения являются важнейшим и при этом самым сложным этапом изучения тригонометрии, который нередко вызывает затруднения у многих учеников. Именно поэтому очень важно подробно рассмотреть данную тему и изучить основные методы и способы решения данных уравнений.
Актуальность: Тригонометрические уравнения на протяжении многих лет встречаются в задании ЕГЭ №5, а также в задании №12 повышенной сложности. Полное и всеобъемлющее изучение методов их решения позволит справиться с любой задачей на ЕГЭ, а также систематизировать мои знания в области тригонометрии.
Цель работы: Изучение методов и способов решения тригонометрических уравнений.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 180.69 КБ |
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Шелопугинская средняя образовательная школа
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
По дисциплине «Математика»
на тему:
«Методы решения тригонометрических уравнений»
Выполнил: обучающийся 11 «А» класса
Тимуров Ихтиёр Бахтиярович
Руководитель: учитель высшей
категории математики и информатики
Чупрова Нина Павловна
с. Шелопугино, 2022 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. Теоретическая часть 6
1.1. Простейшие тригонометрические уравнения 6
1.2. Однородные тригонометрические уравнения 7
1.3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. 8
1.4. Неоднородные тригонометрические уравнения. 9
1.5. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. 10
Глава 2. Решение тригонометрических уравнений 12
2.1. Решение простейших уравнений 12
2.2. Решение однородных тригонометрических уравнений 13
2.3. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным 14
2.4. Решение неоднородных тригонометрических уравнений. 15
2.6. Решение уравнений, содержащих обратные функции. 19
Список используемой литературы 21
ПАСПОРТ ПРОЕКТА
Название проекта | Методы решения тригонометрических уравнений |
Автор проекта | Тимуров Ихтиёр Бахтиярович |
Руководитель | Чупрова Нина Павлона |
Учебная дисциплина | Математика |
Тип проекта | Научный |
Цель работы является | Целью работы является изучение методов и способов решения тригонометрических уравнений |
Задачи проекта |
|
Результат проекта (Продукт) | Дидактическая «копилка» |
ВВЕДЕНИЕ
Тригонометрические уравнения являются важнейшим и при этом самым сложным этапом изучения тригонометрии, который нередко вызывает затруднения у многих учеников. Именно поэтому очень важно подробно рассмотреть данную тему и изучить основные методы и способы решения данных уравнений.
Актуальность: Тригонометрические уравнения на протяжении многих лет встречаются в задании ЕГЭ №5, а также в задании №12 повышенной сложности. Полное и всеобъемлющее изучение методов их решения позволит справиться с любой задачей на ЕГЭ, а также систематизировать мои знания в области тригонометрии.
Цель работы: Изучение методов и способов решения тригонометрических уравнений.
Задачи проекта:
Методы исследования: анализ и классификация материала, систематизация знаний.
Новизна проекта: на основе собранных материалов была осуществлена систематизация и классификация тригонометрических уравнений по методам их решения, а также подробно рассмотрено применение изученных методов к решению задачи №12 ЕГЭ.
Практическая значимость:
Объект исследования: тригонометрические уравнения.
Предмет исследования: методы и способы решения тригонометрических уравнений.
Глава 1. Теоретическая часть
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Простейшие тригонометрические уравнения- это уравнения вида:
,
,
,
Для решения простейших тригонометрических уравнений используются формулы:
Уравнение | Ограничения | Решение |
sin | -1 ≤ | |
cos | -1 ≤ | |
tg | ||
ctg |
Частные случаи:
Уравнение | |||
Уравнение вида называют однородным тригонометрическим
уравнением первой степени; уравнение вида называют однородным уравнением второй степени.
Итак, дано уравнение , где
Разделив обе части уравнения на , получим:
В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:
Рассмотрим теперь тригонометрическое уравнение второй степени:
Разделим обе части уравнения на :
Получившееся уравнение решается путём введения новой переменной а затем сводится к простейшему.
Если коэффициент a равен нулю, уравнение принимает вид:
.
Данное уравнение решается методом разложения на множители:
или
.
Получились два уравнения, одно из которых простейшее, а другое сводится к простейшим.
Примечание: делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение не обращается в ноль. Синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю, следовательно деление на или
не приведёт к потере корней.
Уравнение вида или
называется тригонометрическим уравнением, сводящимся к квадратным.
Для решения уравнений данного вида следует ввести новую переменную или
. В результате приходим к квадратному уравнению
bt+c=0. Решаем полученное уравнение относительно переменной t, затем подставляем полученные значения в выражение, которое было обозначено за t.
Если в уравнении присутствуют различные тригонометрические функции, например:
, то для его решения можно представить
как
, сведя уравнение к виду:
.
При решении неоднородных тригонометрических уравнений применяются следующие формулы:
Преобразование суммы в произведение | Синус, косинус суммы и разности аргументов |
Формулы двойного угла | Формулы понижения степени |
В некоторых случаях для решения неоднородного уравнения удобно воспользоваться универсальной подстановкой:
Для решения неоднородных уравнений вида используется метод введения вспомогательного аргумента:
Для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, необходимо знать:
Уравнение | Ограничения |
Уравнение | Решение |
Использование тождеств при решении уравнений с разноимёнными обратными тригонометрическими функциями.
Примечание: при решении уравнений видов, обозначенных в таблице номерами 1-4, их корнем может быть число, для которого и
.
Уравнение | Тождество | Решение |
Глава 2. Решение тригонометрических уравнений
1) По формуле получаем: ;
2)
Ответ: .
;
Ответ: ;
Примечание: для решения простейших уравнений удобно пользоваться тригонометрической окружностью, в этом случае пользоваться формулами не придётся. Решим уравнение с помощью окружности (рис.1):
Ответ: ,
.
1.Решите уравнение
;
Ответ: .
1) 2)
Ответ: ,
Решите уравнение: .
;
;
;
корень
не удовлетворяет условию.
Ответ: .
;
;
;
или
;
;
;
;
;
Ответ: ,
.
;
;
;
;
Ответ: , -
.
;
;
;
;
.
Ответ: .
2.5 Задание №12 ЕГЭ.
а) Решите уравнение;
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .
а) Используем формулу приведения:
;
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
;
Вынесем общий множитель:
;
или
;
;
;
б) Существует множество способов отбора корней, однако наиболее рациональным и удобным является графический способ отбора корней на координатной прямой (рис.3).
1) Отметим на прямой отрезок ;
2) Отметим точки ,
,
;
3) Отсчитываем от этих точек соответственно до тех пор, пока не попадём в отрезок
.
4) Получаем точки .
;
или
Ответ:.
;
;
;
.
Ответ: 4; -1.
Решим равносильную систему:
;
Получаем:
;
Ответ: -0,5.
;
;
Ответ: 1.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проделанной работы были выполнены все задачи, поставленные в данном проекте, а именно:
Также в работе были рассмотрены тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции, не входящие в школьный курс математики, что позволило расширить и углубить знания в области тригонометрии.
На основании проделанной работы и изученных материалов можно сделать вывод: тригонометрические уравнения занимают особое место в разделе Тригонометрия. Уравнения часто представляют собой математические модели реальных ситуаций, процессов, происходящих в астрономии, в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, и так далее. Поэтому важно владеть различными методами и способами решения тригонометрических уравнений.
Список используемой литературы
А. Усачев. Что значит выражение "Белые мухи"?
Два морехода
Карандаши в пакете
Эта весёлая планета
Заяц, косач, медведь и весна