Быстрые способы решения квадратного уравнения

1. ВВЕДЕНИЕ

. В учебнике «Алгебра 8» я увидела тему «Квадратные уравнения», а дальше «Полные и неполные квадратные уравнения» Возникли вопросы: что значит «квадратные»? Как их решать? А устно их решить можно? Так возникла проблема, «Можно ли научиться устно решать квадратные уравнения, так как это поможет быстрее выполнять задания на уроке, на ОГЭ по математики».

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. История возникновения квадратных уравнений

Определив для себя задачу №1 «Проследить историю возникновения квадратных уравнений», я стала изучать материалы в открытом доступе в интернете. Читала как научные работы книгах «Энциклопедия по математике», «Занимательная математика», так и работы школьников по схожим темам: «Различные способы решения квадратных уравнений» Шувалова В, 9 класс, Нижегородская обл.; «Квадратное уравнение и всё, всё, всё…» Максютов Н, 8 класс г. Иркутск; «10 способов решения квадратных уравнений» Точилкина Ю, 8 класс, г. Барнаул и др. материалы.

На основе прочитанного материала пришла к выводу, что умение решать уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать сложные задачи. Это происходило с развитием земледелия (нахождение площадей земельных участков), астрономии, с ведением войны.

Около 2000 лет до н. э. вавилоняне например, уже умели решать квадратные уравнения (далее в работе КУ). Этот факт доказывает находка их клинописных текстов. Но в найденных текстах приводятся только задачи с решениями, без объяснения, каким образом были получены решения, и корнями уравнений были только положительные числа. Всё это объясняется тем, что в Вавилоне, совсем отсутствовало понятие отрицательного числа.

В книге «Арифметика» выдающийся древнегреческий математик Диофант Александрийский на примере решения задач (сохранились 189 задач) [1], рассматривает общие методы их решения. Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от двух неизвестных и показывает различные варианты решений одного уравнения. Такие уравнения впоследствии получили название «диофантовых уравнений». В Приложение 1 решена известная Задача о жизни Диофанта двумя способами.

Вот, к примеру, одна из его задач.  «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96».Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х. Получается уравнение(10 + х)(10 - х) = 96. После раскрытия скобок получает 100 - х2 = 96. Далее: х2 - 4 = 0 и х = 2, тогда одно из искомых чисел равно 12, другое 8

Решение х = -2 для Диофанта не существовало, так как и греческая математика того времени, как и вавилонская, не знала отрицательных чисел.

Задачи на КУ встречаются и в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения КУ, приведенных к единой форме: ах2 + bх = с, где а ≠ 0. Сегодня мы такое уравнение называем неполным, а его решение совпадает с правилом Брахмагупты

Приведу пример решения одной из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. (Приложение 2) На современном языке его задача будет сформулирована так: «Найдите высоту тополя, если после того как его ствол надломился в 3 футах от земли, и макушка упала на противоположный берег реки шириной в 4 фута под прямым углом. (Рис. 1). После несложных вычислений получаем: 8 футов высота тополя.

В другой задаче у индийского ученого решение составленной им задачи говорит нам о том, что он знал о том, что корней КУ может быть два:

 «Обезьянок резвых стая, а двенадцать по лианам…

Всласть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая. Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

В решении, которое приводит автор (Приложение 2), составленное уравнение 2 + 12 = x умножается на 82 = 64. Далее, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322 = 1024, получая затем:

х2 - 64х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32)2 = 256,

х - 32 = ± 16,

Х1 = 16, Х2 = 48.

Первую классификацию линейных и КУ в алгебраическом трактате дает  аль – Хорезми. Автор насчитывает 6 видов уравнений [2]:

1. «Корни равны числу», т.е. ах = с.

2. «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.

3. . «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

4. «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.

5. «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.

6. «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Для аль - Хорезми, не видевшего роль отрицательных чисел, члены каждого уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом, уравнения у которых нет положительных решений, вообще не рассматриваются. Так же ученый не рассматривает решения ведущие к нулю.

В Приложении 3 приведено рассуждение Ал - Хорезми задачи: «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация КУ и даны формулы их решения. [9].

В Европе формулы решения КУ по образцу ал - Хорезми были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы.

Общее правило решения КУ, приведенных к единому каноническому виду: х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем. [11].

Вывод формулы решения КУ в общем виде я смогла найти только у Виета. Но этот ученый также не признавал отрицательные корни. И только итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли в XVI веке впервые учли отрицательные корни. А в XVII в. в трудах Жирара, Декарта, Ньютона впервые способ решения КУ принял современный вид [3].

2.2. Практическая часть проекта

2.2.1. Способы решения квадратных уравнений

КУ - это фундамент алгебры. Существует 10 способов решения КУ. В школьном курсе мы изучаем только некоторые с помощью которых, можно решать любые КУ: графическое решение КУ, разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата, решение КУ по формуле, решение КУ с использованием теоремы Виета.

В Приложении 5 приведены решения уравнение х2 + 6х – 7 = 0 изученными мною всеми 10 способами.

2.2.2 Анализ и сравнение способов решения квадратных уравнений

После изучения работ школьников [3,4,5], я пришла к вводу, что ни в одной работе не было проведено какого-либо сравнения способов решения КУ. В связи с этим, после практического использования способов решения КУ мною была составлена сравнительная Таблица 1, в которой отражены положительные и отрицательные стороны каждого из 10 изученных способов.

Таблица 1 «Анализ и сравнение способов решения квадратный уравнений»

Вывод: Не каждое уравнение можно быстро решить. Для некоторых способов требуются дополнительные преобразования (2, 3, 6), дополнительные построения (1, 8, 9, 10) и даже инструменты для построений (10). Наряду с этим, имеются способы, позволяющие устно решить некоторые КУ (5,7).

2.2.3. Сравнительный анализ по способам решения квадратных уравнений

Составив 10 уравнений (Приложение 6), я предложила одноклассникам решить их. В эксперименте приняли участие 9 человек и я. Участник мог решать уравнение любым известным ему способом. Все результаты оформлены в таблицу 2:

Таблица 2 «Решение квадратных уравнений»

Как видно из таблицы, моё время в разы меньше времени, которое затратили одноклассники на выполнение тех же уравнений.  В связи с чем, было решено создать 2 мини-ролика на свойство 1 и свойство 2 способа 7 (Приложение 4), разместить его на школьном сайте.

2.2.4. Решение квадратных уравнений при подготовке к ОГЭ.

Экзамен по математике в 9 классе рассчитан на 235 минут. Поэтому очень важно уметь распределить свое время так, чтобы на решение второй части осталось больше времени. Умения решать КУ устным способом во многом могут помочь. Проанализировав базу данных на сайте ФИПИ я пришла к выводу, что только в теме «Уравнения и неравенства» очень много таких уравнений, которые попадают под способ 7 решения КУ (свойства 1 и 2): стр. 11 – 7 заданий, стр.17 – 12 заданий, стр 18.- 5 заданий. (Приложение 6). Также уравнения, попадающие под устный способ решения, могут возникнуть после каких-либо преобразований:

Этот факт еще раз доказывает, что владение разными способами решения КУ, в том числе и устные, во многом помогут при сдаче ОГЭ.

2.2.5. Решение тригонометрических уравнений

Изучив все «плюсы» и «минусы» способов решения КУ, я остановилась на 7 способе «Методе коэффициентов» и смогла решить уравнение из учебника алгебры 10 класса

№1192 (3)    sin2x + 5sinx + 4 = 0.

Введем обозначение: sinx = у, тогда у2 + 5у + 4 = 0. Найдем корни этого уравнения по методу коэффициентов: а + с = b, у1 = -1; у2 = -4.

 Подставим: при у1 = -1 получим sinx = -1, откуда х =  + 2n, где n Z

при  у2 = -4 уравнение  sinx = - 4 не имеет решения.

Ответ: х =  + 2n, где n Z.

№1194 (2) sin2x + 3sinx - 4 = 0

В уравнении sin2x + 3sinx - 4 = 0 сумма коэффициентов а, b и с равна 0, значит, решение будет следующим: sinx = 1, х = где n Z. (sinx = - 4 не имеет решения.)

2.2.6. Изучение заинтересованности учащихся

Анкетирование - один из наиболее эффективных и распространенных методов сбора первичной статистической и социологической информации. Цель анкетирования состояла в том, чтобы получить объективное представление о заинтересованности учащихся о методах решения квадратных уравнений. Было задано три вопроса:

1. Со сколькими способами решения квадратных уравнений вы знакомы?
2. Знаете ли вы устные способы решения квадратных уравнений?
3. Освоили бы вы новые методы решения квадратных уравнений, позволяющие устно находить корни уравнения?

         На каждый вопрос было предложено несколько вариантов ответа. Результаты анкетирования представлены в Приложении 7. Из результатов анкетирования видно, только 2 ученика слышали о методах позволяющих устно найти корни КУ, но никогда их не применяли.  Возникла необходимость создать буклет – памятку по применению различных способов решения КУ, в том числе и устных.

На сегодняшний день уже все мои одноклассники при решении КУ применяют, где возможно, метод коэффициентов.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

             Работая над проектом, я научилась планировать свою работу, пользоваться различными источниками информации, отбирать нужные материалы, анализировать полученные факты. За это время существенно пополнился мой запас знаний по математике.  Считаю, что гипотеза, выдвинутая в проекте, подтвердилась частично – 7 способ «Метод коэффициентов» позволяет устно выполнять решение только тех КУ, у которых коэффициенты попадают под одно из правил «Метода». Некоторые уравнения можно устно решить с использованием теоремы Виета (5 способ) или применить способ переброски при а  1 (6 способ), а дальше решать по теореме Виета. 

Подводя итоги, можно сделать вывод: КУ играют огромную роль в развитии математики. Так как методы решения КУ, предложенные в работе, просты в применении, то они заинтересуют увлекающихся математикой учеников. Умение быстро и рационально решать КУ просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных, биквадратных, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Поэтому знание нескольких способов решения КУ позволит быстро справиться с заданием, что немало важно на экзамене.

Так как методы решения квадратных уравнений, предложенные в работе, просты в применении, то они заинтересуют увлекающихся математикой учеников, а кластер «Способы решения квадратного уравнения» (Приложение 9) будет напоминать о способах решения КУ. Буклет, выполненный в ходе работы «Быстрые способы решения квадратного уравнения» (Приложение 8) и видео ролик «Мгновенное решение» могут быть использованы как справочный материал на уроках математики, при подготовке к ОГЭ.

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. http://www.bestreferat.ru/referat-412475.html 
2.  http://yun.moluch.ru/archive/9/636/ 
3. https://nsportal.ru/sites/default/files/2014/08/31/10_sposobov_resheniya_kvadratnykh_uravneniy.doc
4. infourok.ru/nauchno-issledovatelskaya-rabota
5. znanio.ru/media/issledovatelskaya rabota