проект "Линейная функция"

Муниципальное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа  с углублённым изучением отдельных предметов №16

г. Комсомольск- на- Амуре

Проект по математике:

«Построение линейной функции с помощью углового коэффициента касательной и коэффициента в и применение этого в решении задач на ЕГЭ и ОГЭ»

                                                                       Выполнил:  ученик 7м класса

                                                     Рожков Владислав

                                                            Руководитель: учитель

                                                                 математики Ильясова С.В.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….. 3

1. Как развивалось понятие функции ……………………………………… 4
2. Определение линейной функции и её свойства ………………………… 7
3. Применение линейной функции в различных областях знаний ………14

1. Математика ………………………………………………………… 14
2. Физика ……………………………………………………………… 15
3. Биология, экология, медицина …………………………………… 18
4. География ………………………………………………………….. 18

        Заключение……………………………………………………………………. 19

Список использованных источников ………………………………………. 20

ВВЕДЕНИЕ

«Когда ребята поймут связь математики

с другими отраслями знаний,

математика оживёт, будет увлекать,

 из трудного предмета

превратиться в отрасль знания».

 Н.К. Крупская

 На уроках алгебры в этом учебном году мы познакомились с понятием линейной функции, её графиком и свойствами, узнали частные случаи линейной функции и от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Также мы узнали, что линейную функцию можно назвать важнейшей, так как много законов природы и практических взаимосвязей выражается с помощью этой функции.

Цель данного исследовательского проекта заключалась в том, чтобы  научиться читать линейную функцию по ее графику и уметь ее строить по угловому коэффициенту касательной. Полученные знания применять при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.

Для достижения поставленной цели были определены основные задачи:

– обобщить имеющиеся знания о линейной функции;

– найти новые сведения о линейной функции и её свойствах из различных источников информации;

– узнать, в каких областях знаний находит применение линейная функция.

Актуальность моего исследования состоит в том, что задания по линейной функции есть в экзаменационных материал и хочется познакомиться с более легкими методами их решения.

1. КАК РАЗВИВАЛОСЬ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Высокого уровня математические знания достигли в Древнем Вавилоне. Для облегчения вычислений при учёте налогов, возведении своих дворцов и т.д.  вавилоняне составили громоздкий комплект специальных арифметических таблиц: таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Однако путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был ещё очень долог.

В Древней Греции в отличие от Вавилона появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку. Древнегреческие математики нашли много различных кривых, неизвестных вавилонянам, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях, но всё же не создали общего понятия функции.  

Только начиная с XVII века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.

Путь к появлению понятия функции заложил в XVII веке французский философ и математик Рене Декарт (1596–1650). Он первый ввёл в математику понятие переменной величины. Чтобы освободить алгебру от геометрического языка, Декарт ввёл фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношение других отрезков к нему. Он установил соответствия между числами и отрезками на прямой и, таким образом, ввел алгебраический метод в геометрию.  Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа –  отрезками.  При записи зависимостей между величинами, он стал применять буквы: для переменных и неизвестных величин Декарт принял обозначения x, y, z, …, а для величин известных и постоянных –  a, b, c и т.д. Как известно, эти обозначения применяются в математике до сегодняшнего дня. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений, в которых все величины заменил длинами отрезков. Он обратил внимание на то, что кривая на плоскости характеризуется уравнением, обладающим тем свойством, что координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению. Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришел другой французский математик Пьер Ферма (1601–1665). В их работах появляется отчетливое представление прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.

В 1671 году И. Ньютон (1643–1727) под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (он называл её «флюентой»).

Но у Декарта, как и у его современников, понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими (ординаты точек кривых – функция от абсцисс x), либо с механическими (путь и скорость – функция от времени t) представлениями.

Само слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем (1646–1716) в 1673 г. в письме к Х. Гюйгенсу (1629–1695) (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), а в печати введено с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа».

В XVIII веке появился новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667–1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Леонард Эйлер. «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века французские математики Жан Лерон Даламбер (1717–1783), Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) и другие видные математики.

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых XVIII века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внёс Фурье. Из его трудов следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения, и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

После работы Фурье стало ясно, что несущественно, каким аналитическим выражением задана функция, что это только, как говорят философы, кажимость (от слова «казаться»). А существо дела в том, какие значения принимает функция при заданных значениях аргумента. После длительного уточнения этой идеи, в которой приняли участие Фурье, Н.И. Лобачевский (1792–1856), немецкий математик Иоганн Дирихле (1805–1859) и другие ученые, общепризнанным стало следующее определение: переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ И ЕЁ СВОЙСТВА

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида  y=аx + b,

 где y – зависимая переменная (функция);  

       x – независимая переменная (аргумент);

       k и b – некоторые числа (коэффициенты).

Графиком линейной функции y=kx+b является прямая линия, располагающаяся относительно координатных осей различным образом в зависимости от постоянных коэффициентов k и b, которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равным нулю. Для построения графика линейной функции можно найти две точки прямой на плоскости, например, точки пересечения с осями координат, или воспользоваться геометрическим смыслом коэффициентов а и b.

Основное свойство линейной функции: равным изменениям одной величины соответствуют равные изменения другой величины (приращение функции пропорционально приращению аргумента).

Свойства линейной функции:

1. При k > 0, функция возрастает (график идет сверху вниз слева направо);

при r < 0, функция убывает (график идет снизу вверх).

Частным случаем линейной функции является функция заданная формулой  у = kх (k ≠ 0, b = 0). График  представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

К- это угловой коэффициент касательной или  тангенс угла, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, а число b является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.

.        

При k > 0, прямая образует острый угол с осью абсцисс:

При k < 0, прямая образует тупой угол с осью абсцисс:

При k = 0, прямая параллельна оси абсцисс:

На следующем рисунке видно, что равенство коэффициентов  k  – условие  
параллельности прямых, а число  b   –   ордината точки пересечения с осью OY .

Построение графика линейной функции

Итак, ты уже умеешь обращаться с линейной функцией, анализировать ее график и строить его по точкам. Кстати, сколько нужно точек, чтобы построить график линейной функции?

Скажу сразу, эта тема настолько простая, что много нового ты здесь не выучишь. Но ты научишься не теряться во всяких нестандартных ситуациях.

Итак, дамы и господа, линейная функция:

y=kx+b

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, 0 и 1), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Но бывает, что функция задана по-другому, например, неявно. Сейчас разберем, как быстро справляться с такими ситуациями.

Пример неявно заданной линейной функции

Постройте график уравнения 2y+3x=6.

Ну а что тут сложного? Чтобы произвести построение графика линейной функции выражаем y и строим по точкам.

Это да, но можно сделать проще и интересней!

Выясним, в какой точке эта прямая будет пересекать ось Ox.

Что характерно для этой точке? Правильно, y=0. Так и пишем:

2⋅0+3x=6 ⇒ x=2

А теперь проделаем то же самое с другой осью: в какой точке график пересекает ось Oy?

x=0 ⇒ 2y+3⋅0=6 ⇒ y=3

Что такое угловой коэффициент

Это, с одной стороны, коэффициент при x, а с другой – это тангенс угла между прямой и осью Ox.

Вот это мы и используем когда делаем построение графика линейной функции: ставим точку A, и рисуем прямоугольный треугольник так, что один его катет параллелен оси Ox, а другой – перпендикулярен.

При этом второй катет должен быть ровно в 0,75 раз больше первого.

Очень удобно в этом случае, чтобы первый катет был равен 4, тогда второй будет равен 3:

Разбор нескольких примеров построения графиков линейной функции

Прямая, уравнение которой имеет вид y=−2x+b (b неизвестно), проходит через точку M(1;2). Постройте ее.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ ЗНАНИЙ

Важным моментом изучения линейной функции является выделение приложений линейной функции в различных областях человеческого знания (геометрия, физика, биология, география, астрономия, экономика и т.д.).

3.1.  Математика

1. Зависимость длины окружности (C) от её радиуса (r) (чем больше радиус, тем больше длина окружности):

                                                  C=2 π r,

где  π≈3,14.

Эта линейная функция является прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом, равным k =2 π.

2. Зависимость между смежными углами:

                                                   у = 180 – х, 

где k = –1, b=180.

3.2. Физика

С помощью линейной функции описываются многие физические процессы.

1. Зависимость расстояния (s) от времени движения (t) (чем больше время движения при постоянной скорости (v), тем больше пройденный путь):

s=vt;  s=s0 +vt.

2. Зависимость веса тела (Р) от его массы (m) (чем больше масса, тем больше вес тела): 

P = mg,

         где g – ускорение свободного падения 9,81 м/с2.

3. Зависимость давления жидкости на дно сосуда (P) от высоты столба жидкости (h) – линейная зависимость и задаётся формулой:

                                                                 P=gρh,

где ρ – плотность жидкости.

4. Закон Гука (зависимость силы упругости от деформации тела):

                                                Fупр = kx.

Здесь  Fупр – сила, с которой растягивают (сжимают) стержень, х – абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а k  – коэффициент упругости (или жёсткости).

5. Зависимость распространения звука в воздухе (v, м/с) от температуры воздуха (t, С0):

v=330 + 0,6t.

Это линейная функция, в которой k=0,6, b=330.

6. Зависимость сопротивления металлов от температуры (чем больше температура металла, тем больше его сопротивление):

                                                Р=Р0 (1+αT),

где  Р0, Р – сопротивления проводника при температуре 0 (°С) и t (°С), α – температурный коэффициент сопротивления (К-1) проводника.

Зависимость сопротивления металлов от температуры учитывается, например, при изготовлении спиралей для электронагревательных приборов, ламп: длину проволоки спирали и допускаемую силу тока рассчитывают по их сопротивлению в нагретом состоянии. Зависимость сопротивления металлов от температуры используется в термометрах сопротивления, которые применяются для измерения температуры тепловых двигателей, газовых турбин, металла в доменных печах и т.д. 

7.  Закон Ома для участка цепи (сила тока I в проводнике прямо пропорциональна напряжению U на концах проводника): 

I = UR,

где R – сопротивление проводника, Ом.

3.3. Биология, экология и медицина

1. Зависимость длины волос человека от количества дней:

                                                 l=l0+0,4t,

где l – длина волос (мм), l0 – первоначальная длина волос (мм), t – количество дней, 0,4 – скорость роста волос в сутки (мм).

3.4.  География

Зависимость расстояния на местности от расстояния на карте (масштабирование):

                                                    S=1000c,

где S – расстояние на местности (км), с – расстояние на карте (см), 1000 – масштаб карты (км/см).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над проектом я приобрел и систематизировал новые знания о линейной функции, узнал много нового о применении линейной зависимости в окружающем мире, научилася использовать линейную функцию в практической деятельности, расширил свой кругозор.

Я изучил историю возникновения и этапы развития понятия «функция». Узнал много интересного о великих математиках XVII – XIX веков.

На большом количестве примеров я показал, что линейная функция является математической моделью обширного класса процессов, происходящих в реальной действительности, и описывает зависимости между реальными величинами не только в математике, но и во многих других науках (физике, биологии, географии, экологии, медицине и др.). Зависимости пути от времени при равномерном прямолинейном движении, сопротивление металлов от температуры, давление жидкости на дно сосуда от высоты столба жидкости, зависимость силы упругости от деформации тела, численность сине-зелёных водорослей от концентрации общего фосфора в воде и многие другие выражаются линейной функцией. Конечно,  нельзя считать эти исследования исчерпывающими, так как областей науки и техники, где применяется линейная функция, значительно больше. 

Также я провел работу по выявлению линейных зависимостей в своей повседневной жизни. Оказалось, что линейные зависимости встречаются прямо вокруг нас: и в обычных продуктах питания, и при измерении артериального давления, и даже в спорте. Эта работа оказалась увлекательной и интересной. Я научилася применять свои знания о линейной функции на практике.

Я думаю, что этот проект будет интересен людям, желающим расширить свои знания об изучаемой в школе линейной функции, её разнообразной прикладной направленности и большой значимости в различных областях деятельности человека.

Выражаю благодарность руководителю за постановку задачи и полезные советы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка : пособие для учащихся 4 – 8 кл. сред. шк. / Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. – 5-е изд. – М. : Просвещение, 1988. – 160 с.

2. Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике : книга для внеклассного чтения IX–X классов / Н. Я. Виленкин. – 2-е изд., испр. – М. : Просвещение, 1985. – 192 с.

3. Колягин Ю.М. Алгебра. 7 класс : учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин. – М. : Просвещение, 2012. – 319 с.

4. Звавич Л.И. Алгебра в таблицах. 7—11 классы : справочное пособие / Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 8-е издание. – М. : Дрофа, 2004. – 96 с.

5. Перышкин А.В. Физика : учебник для 6-7 классов средней школы / А.В. Перышкин, Н.А. Родина. – М. : Просвещение, 1982. – 320 с.

6. Кикоин И.К. Физика : учебник для 8 класса средней школы / И.К. Кикоин, А.К. Кикоин. – 8-е издание. – М. : Просвещение, 1986. – 240 с.

7. Дневник гимнастки

8. Интернет-ресурсы:

https://ru.wikipedia.org

http://www.krugosvet.ru

http://festival.1september.ru

http://school-assistant.ru/?class=7_algebra

http://www.openclass.ru

http://www.physics.ru

http://www.physbook.ru

http://120na80-norma.com/polezno-znat/davlenie-cheloveka-norma-po-vozrastu.html.