Математические головоломки

Исследовательский проект

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ.

Выполнил учащийся 7 б класса:

Блинов Иван.

Руководитель :

Учитель математики Трущелева В.В.

Оглавление.

1. Введение ……………………………………………………………………..3
2. Основная часть ………………………………………………………………3

1. Танграм. ………………………………………………………………….3
2. Четыре в ряд. Крестики-нолики в кубе……………………………........4
3. Мадагаскарские шашки. …………………………………………………5
4. Ханойская башня…………………………………………………………6

3. Заключение ……………………………………………………………………7
4. Список литературы …………………………………………………………...8

1. Введение.

Головоломка – это игра, задача или игрушка, которая проверяет изобретательность или знания человека. В головоломке ожидается, что решатель логически сложит кусочки вместе, чтобы прийти к правильному или забавному решению головоломки. Существуют различные жанры головоломок, такие как кроссворды, головоломки для поиска слов, числовые головоломки, реляционные головоломки и логические головоломки. Академическое изучение головоломок называется энигмистикой. Тема головоломок сильно нас заинтересовала, потому мы собрали информацию о не самых популярных, но оттого не менее интересных головоломках.

2. Основная часть.

2.4. Танграм

2.4.1. Танграм-китайская головоломка.

Танграм – одна из удивительных головоломок, которой способен увлечься практически любой человек. Для математиков она служит неиссякающим источником геометрических соотношений. Учителя используют танграм как наглядное пособие. Коллекционеры ценят танграм из дерева и слоновой кости, а также исторические издания, посвященные богатым коллекциям фигур. Можно играть с танграмом, детали которого вырезаны из листа бумаги, а для тех, кто признаёт только игры с клавиатурой и экраном, есть всевозможные компьютерные программы по танграмам.

2.4.2. Немного истории.

Как гласит легенда, однажды китайский император заказал лист стекла гигантских размеров. Пока этот хрупкий квадратный груз везли во дворец императора, лист упал, но не разбился вдребезги, а раскололся на семь геометрически правильных фигур. При попытке сложить их вместе выяснилось, что это можно сделать множеством способов, и при этом получается всевозможные фигуры. Создатели стеклянного листа продолжили путь, а во дворце показали императору свое изделие как удивительную головоломку. Император с восторгом принял подарок.
И хотя неизвестно, насколько эта легенда соответствует действительности, последние исследование  Джерри Слокама подтвердили, что танграм был изобретен в Китае в 1796-1801гг. Самое раннее издание, в котором были представлены фигуры из танграма, появилось в Китае в 1813 г., хотя сохранилось только упоминания о нем в более поздних публикациях 1815 г.

2.4.3. Парадоксы.

Парадоксами называют противоречивые фигуры, которые можно сложить из деталей танграма. Один из самых известных парадоксов изобретен Генри Дьюдени и известен под названием «Путник». Он представляет собой два одинаковых человеческих силуэта, из которых один стоит на ноге, а другой нет. Найти объяснение этому явлению легко, если сложить обе фигуры. В сущности, их площади одинаковы. Фигуры, которая стоит на ноге, немного меньше второй, но разница в размерах компенсируется ногой, на которой она стоит.
Еще один фокус того же типа можно обнаружить, если сравнить две цветочные вазы. С ними можно придумать целую детективную историю, в которой вазу сначала разбивают, а потом ищут не достающий осколок.

2.2. Четыре в ряд. Крестики-нолики в кубе.

У меня в руках игра с весьма простыми правилами.  Два игрока выбирают шарики (бусины, фишки) одного цвета и нанизывают их на штырьки до тех пор, пока одному из них не удастся первым выстроить четыре шарика одного цвета в ряд - по горизонтали, вертикали или диагонали.

Это интересная стратегическая игра, которая даёт возможность игрокам проверить свою геометрическую интуицию и узнать, насколько развито их пространственное мышление. В процессе игры участники смогут в полной мере проявить смекалку и умение просчитывать ходы.

2.2.1. Игры с выстраиванием рядов.

Настольные игры, в которых нужно выстраивать ряды из фишек, имеют длинную историю. Возможно, самая простая из них, где нужны только карандаш и бумага, — это «Крестики-нолики» и, похоже, она была известна в Египте ещё в 1400г. До н. э. В 1974г. появилась игра «Четыре в ряд», для которой используют вертикальную доску, разбитую на клетки по семь рядов по горизонтали и шесть - по вертикали. В ней тоже нужно выстроить в ряд четыре фишки, и она является прообразом нашей игры, потому что в ней сила тяжести становится главным элементом.

2.2.2. Стратегия.

Для того, чтобы увеличить количество возможностей выстроить «четыре в ряд», нужно располагать шарики так, чтобы они участвовали в максимальном количестве потенциальных рядов. Давайте разобьём 64 позиции, которые может занять шарик, на угол, ребро, сторону и центр. Мы видим, что шарик на углу может стать частью семи разных линий (вертикальной, двух горизонтальных и четырёх диагональных), и то же самое можно сказать о шарике в центре шарик на ребре или на стороне может стать частью четырёх линий - одной вертикальной, двух горизонтальных и одной диагональной.  Это приводит к тому, что в момент хода мы выбираем более удачные позиции, которые составляют четвертую часть от всех возможных, и начинаем игру с угла, стараясь занять позиции внутри, как только это будет возможно, и мешая противнику сделать то же самое.

2.3. Мадагаскарские шашки

Согласно легенде, «мадагаскарские шашки» придумал в XVII в. Во Франции один из узников Бастилии, изнывавший от скуки. Эта история так и не нашла документального подтверждения.

В 1710 г великий немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц в специальной статье, посвященной этой игре, разъяснил: «выигрывает тот, кто удалит с доски все фишки в соответствии с существующими правилами. Тот, у кого на поле находиться несколько фишек, - проиграл». В своей работе Лейбниц, помимо прочего, предложил несколько вариантов дизайна игрового поля.

Поместим 32 фишки в 33 лунки игрового поля так, чтобы Центральная лунка была пустой. По правилам игры, каждый ход заключается в том, что одна из фишек переносится в пустую лунку через любую соседнюю  фишку, которая при этом снимается с доски. Эти «прыжки» напоминают шашечные ходы.  Единственное отличие – при игре в «мадагаскарские шашки» фишки можно переставлять только по горизонтали и вертикали, но ни в коем случае не по диагонали.

Цель игры: главная цель состоит в том, чтобы после ряда «прыжков» на доске осталась всего одна фишка. Оптимальным считается решение, когда последняя фишка находится в центре игрового поля.

Есть и другие вариации игры, например, когда можно оставить одну клетку пустой, но не обязательно центральную, вот примеры.

Если нет возможности купить игру, то можно на бумаге расчертить игровое поле, но вместо фишек использовать пуговицы.

2.1. Ханойская башня.

Ханойская башня является одной из популярных головоломок XIX века, которую придумал французский математик Эдуард Люка. Изначальные правила таковы: даны три стержня, на один из которых нанизаны кольца, причём кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее.

Эдуард Люка также придумал и легенду этой головоломки. Она повествует о большом храме Варанаси, где под куполом, символизирующем центр мира, находится бронзовый диск, а нем укреплены 3 алмазных стержня высотой в один локоть и толщиной с пчелу. На один из этих стержней во время создания мира бог Брама нанизал 64 диска из чистого золота так, что каждый меньший диск лежит на большем. Это и есть башня Брамы. Монахи в храме день и ночь занимаются тем, что перекладывают эти диски со стержня на стержень так, чтобы большее никогда не оказывалось на меньшем. Когда все 64 диска будут переложены с изначального стержня на другой, башня вместе с храмом обратится в пыль, а весь мир погибнет под громовые раскаты

Количество ходов для решения головоломки из 1 кольца – 1 ход, из двух колец уже понадобится 3 хода, для трёх – 7..

Но как найти решение без перебора? Для этого стоит взглянуть на неё с конца: для того, чтобы переложить всю башню, нужно сначала переложить всю верхнюю башню без нижнего кольца, переложить нижнее, а затем снова верхнюю башню. Таким образом, для решения головоломки из n колец, нужно дважды решить ее дважды для n-1 колец и прибавить единицу. Таким образом можно быстро заполнить таблицу. Заметим, что каждое число из этих решений на единицу меньше двух в степени числа колец. Отсюда и выходит формула для вычисления минимально необходимого числа ходов для решения – .

Ханойская башня упоминается в книгах и фильмах, иногда играя важную роль, например, в фильме «Восстание планеты обезьян» Ханойскую башню используют в качестве проверки интеллекта подопытных. Обезьяна собирает головоломку из четырёх колец за двадцать ходов, что на 5 больше минимально возможного количества

3. Заключение.

В этой исследовательской работе я  постарался  выполнить поставленные перед собой цели и задачи. Мы рассмотрели лишь малую часть замечательных головоломок, которые придумали математики разных времён и сделали вывод, что решения любых задач подчинены математике.

4. Список литературы.

ДеАгостини – «Занимательные головоломки».

Рассел Эрик Фрэнк – «Ваш ход».

Гарднер Мартин – «Математические головоломки и развлечения».

 И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева - «Наглядная геометрия, 5-6 класс».

Ханойская башня на пальцах [Электронный ресурс]: научно-популярная статья. – Режим доступа: https://habr.com/en/post/200758/ (дата обращения 16.04.22).

Ханойская башня [Электронный ресурс]: научная статья. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Ханойская_Башня (дата обращения 17.04.22).

Танграм [Электронный ресурс]: научная статья. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Танграм (дата обращения 17.04.22).

Крестики-нолики в кубе [Электронный ресурс]: научная статья. – Режим доступа: https://en.wikipedia.org/wiki/3D_tic-tac-toe (дата обращения 17.04.22).