В работе рассмотрены некоторые приемы решения диофантовых уравнений в целых и натуральных числах, в том числе метод спуска, метод остатков, метод делимости, метод перебора. Выделены линейные и нелинейные уравнения.
Вложение | Размер |
---|---|
rabota_2022.docx | 58.77 КБ |
rabota_2022.pptx | 1.08 МБ |
Научно-исследовательская работа
Математика
Некоторые приЁмы решения
диофантовых уравнений
Выполнили:
Никулина Кристина Александровна
ученица 8Б класса
ГБОУ школы № 573
Приморского района г. Санкт-Петербурга
Иода Владлена Сергеевна
ученица 8Б класса
ГБОУ школы № 573
Приморского района г. Санкт-Петербурга
Руководитель:
Ганзера Анна Александровна
учитель математики ГБОУ школы № 573
Приморского района г. Санкт-Петербурга
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение | |
Основная часть | |
1. История уравнений в целых числах | |
2. Линейные уравнения в целых числах с двумя переменными: | |
2.1. Метод перебора; | |
2.2. Метод спуска. | |
3. Нелинейные уравнения с двумя переменными: | |
3.1. Метод перебора; | |
3.2. Метод разложения на множители; | |
3.3. Выделение полных квадратов; | |
3.4. Свойства делимости; | |
3.5. Метод остатков. | |
4. Задачи для самостоятельного решения | |
Заключение | |
Список литературы |
Введение.
Решение алгебраических уравнений в целых числах представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач и не достаточно глубоко представлено в школьном курсе математики. Однако такие задания, как правило, представлены в олимпиадах различных уровней, в вариантах вступительных работ в математические классы. Что и обуславливает актуальность темы исследования. В своей работе мы рассмотрели различные виды уравнений с целыми коэффициентами и с более чем одним неизвестным, классифицировали их по способам решений, описали алгоритмы их решения, и привели практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.
Объектом исследования являются уравнения в целых числах.
Предметом исследования – различные способы решения этих уравнений
Цель работы – познакомиться со способами решения уравнений в целых числах и классифицировать уравнения по способам их решения.
Задачи:
Гипотеза: анализ методов решения уравнений в целых числах и их классификация способствуют конструктивному подходу к решению уравнений данного вида и не только.
Методы исследования
1. История уравнений в целых числах
Диофант – ученый – алгебраист Древней Греции, по некоторым данным он жил до 364 года н. э. Диофант специализировался на решении задач в целых числах. Отсюда и пошло название Диофантовы уравнения. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения. «Арифметика» Диофанта — это сборник задач, каждая включает в себя решение и необходимое пояснение. В собрание входят разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофанта интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.
2. Линейные уравнения в целых числах с двумя переменными
Уравнения вида где – некоторые числа, а – переменные, - называется линейным уравнением с двумя переменными.
2.1. Метод перебора.
Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решением уравнения 49x+69y=602
Решение: выразим
Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение 170х+190у=3000 в натуральных числах.
Решение: после сокращения на 10 уравнение выглядит так,
Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются
Ответ:
Очевидно, метод перебора становится неэффективным при большом количестве вариантов и невозможным, в случае, когда количество корней не ограничивается конечным числом вариантов.
2.2. Метод спуска.
Пример 3. Решить уравнение в целых числах 2x-7y=3
Решение: выразим из данного уравнения
Пусть тогда
Ответ:
Данный метод решения уравнения называется методом спуска.
Пример 5. Решить уравнение в целых числах 4x+3y=13
Решение: выразим из данного уравнения
Пусть тогда
Ответ:
3. Нелинейные уравнения с двумя переменными
3.1. Метод перебора.
Пример 1. (Задача из материалов вступительных экзаменов в 8 математический класс). Сколько пар целых положительных решений имеет уравнение . Перечислить эти пары.
Решение: перепишем уравнение в виде
Раскладывая на множители число 500, и учитывая, что один из множителей является точным квадратом, находим подходящие пары:
Имеем 4 пары решений в целых положительных числах .
Ответ:
3.2. Метод разложения на множители
Метод разложения на множители очень интересный прием и встречается он, как в элементарной математике, так и в высшей. Напомним, что разложить на множители – значит представить это выражение в виде произведения более простых множителей. Рассмотрим примеры применения данного метода.
Пример 1. Решить уравнение х – у = ху в целых числах:
Решение: запишем уравнение в виде
Разложим левую часть уравнения на множители, получим
Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:
или
Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .
Ответ:
Можно привести целый ряд таких уравнений, решение которых основывается на разложении на множители.
Пример 2. Решить уравнения в целых числах
Решение: разложим левую часть уравнения на множители, получим
Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:
или
Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .
Ответ:
Пример 3. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению x2 – 6xy + 5y2=11
Решение: разложим левую часть уравнения на множители, получим
Уравнение имеет целые решения, если множители целые, 11 можно двумя способами разложить на целые множители .
Получим четыре системы уравнений:
Системы не имеют решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах уравнение не имеет.
Пример 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х2 – у2= 69
Решение: разложим левую часть уравнения на множители:
.
Т.к. корни уравнения – натуральные числа, то тогда , при этом сумма корней больше их разности. Число 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Получим совокупность двух систем уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:
Выразив одну переменную и подставив ее во второе уравнение, находим корни уравнений. Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .
Ответ:
Пример 5. Решить уравнение в целых числах y3 – x3 = 91.
Решение: используя формулы сокращенного умножения, разложим левую часть уравнения на множители:
Выпишем все делители числа
Для любых целых x и y выражение . Докажем это. Умножим на 2 левую и правую часть неравенства и преобразуем его левую часть
(неравенство носит название – неравенство трех квадратов). Следовательно, оба множителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем уравнений:
Решив системы, отбираем те корни, которые являются целыми числами.
Получаем решения исходного уравнения:
Ответ:
Пример 6. Доказать, что уравнение (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30 не имеет решений в целых числах.
Доказательство:
Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:
Делителями 10 являются числа Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Доказано.
3.3. Выделение полных квадратов
Пример 1. Решить в целых числах уравнение 5х2+5у2 + 8ху+2у-2х +2=0
Решение: Данное уравнение можно решить методом разложения на множители, однако этот способ применительно к данному уравнению достаточно трудоёмкий. Рассмотрим более рациональный способ.
Выделим полные квадраты двучленов
Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно 0, значит единственная пара решений
Ответ:
3.4. Свойства делимости
Пример 1. Решить уравнение в натуральных числах: mn +25 = 4m.
Решение: выразим переменную через
Поскольку натуральное число, то является натуральным делителем числа . Натуральные делители числа
Если
если (посторонние корни),
если (посторонние корни).
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение 2х2 -2ху+9х+у=2 в целых числах:
Решение: выразим из уравнения ту переменную, которая входит в него только в первой степени, то есть переменную у:
, откуда
Выделим целую часть дроби
Получим:
Поскольку – целые, то 3 нацело делится на выражение , т.е. – делитель числа 3, значит, может принимать только значения
Выполняем проверку получившихся значений и получаем решения:
Ответ: .
Помимо задания решить уравнение в целых числах, встречаются задания на доказательство того факта, что уравнение не имеет целых корней.
При решении таких задач, необходимо помнить следующие свойства делимости:
1)
2)
3)
4)
6)
7)
3.5. Метод остатков
Основная задача метода – находить остаток от деления обоих частей уравнения на целое число, на основе полученных результатов делать выводы. Часто полученная информация уменьшает возможности множеств решений уравнения. Рассмотрим примеры:
Пример 1. Решите уравнение в натуральных числах:
Решение: перенесем вправо, разложим на множители и рассмотрим делимость на 2 и 3.
Левая часть уравнения делится на 2, значит и правая часть делится на 2. 3 на 2 не делится, значит , значит при этом , значит , тогда
Ответ: .
Пример 2. Доказать, что уравнение 2x+6y=23 не имеет решений в целых числах
Доказательство: покажем, что левая часть уравнения делится на 2, а правая – не делится.
выражение делится на 2, так как один из множителей делится на 2. А 23 не делится на 2, значит, уравнение не имеет решений в целых числах.
Пример 3. Доказать, что уравнение x2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда . Рассмотрим остатки от деления каждой части уравнения на 3.
Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении
Левая часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1. Докажем это.
Все числа можно объединить в три группы по остаткам при делении на 3:
при делении на 3 дает остаток 0,
при делении на 3 дают остатки 1.
Исходя из этого, получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.
Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.
Случай, когда y – целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая – положительна.
Случай, когда x – целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что
Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах.
Доказано.
Пример 4. Доказать, что уравнение x2– 3у = 17 не имеет целых решений.
Доказательство:
Рассмотрим остатки от деления на 3 каждой части уравнения. В предыдущем примере мы уже доказали, что квадрат целого числа при делении на 3 дает остатки только 0 или 1, 3у кратно 3, значит, левая часть при делении на 3 дает остатки 0 или 1, а правая при делении на 3 дает остаток 2. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.
Доказано.
Пример 5. Может ли сумма кубов трех последовательных целых чисел быть равной сумме квадратов двух последовательных целых чисел.
Решение: Запишем данное утверждение в виде уравнения:
Раскроем скобки, упростим выражение и рассмотрим делимость на 3 левой и правой части уравнения:
Левая часть уравнения делится на 3, рассмотрим правую часть:
Если дает остаток 1 при делении на 3;
Если
дает остаток 2 при делении на 3;
Если
дает остаток 1 при делении на 3;
Значит, правая часть уравнения, не делится на 3 ни при каком значении .
Уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: сумма кубов трех последовательных целых чисел не может быть равной сумме квадратов двух последовательных целых чисел.
4. Задачи для самостоятельного решения
Заключение:
В результате исследования подтвердилась гипотеза о том, что анализ методов решения уравнений в целых числах и их классификация способствуют конструктивному подходу к решению уравнений данного вида и не только. Определены дальнейшие задачи – возможность использования данных методов для доказательства утверждений. Собран материал для самостоятельного решения уравнений.
Результаты наших исследований могут быть полезны всем ученикам, интересующимся математикой.
Литература
Слайд 1
Некоторые приёмы решения диофантовых уравнений Работу выполнили Никулина Кристина Иода Владлена Руководитель проекта Ганзера А.А . г . Санкт-Петербург 2022 г.Слайд 2
Объектом исследования являются уравнений в целых и натуральных числах. Предметом исследования – различные способы решения этих уравнений Цель работы – познакомиться со способами решения уравнений в целых числах и классифицировать уравнения по способам их решения.
Слайд 3
Задачи: Изучить учебную и справочную литературу по теме исследования; Собрать теоретический материал по способам решения уравнений; Разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида; Описать способы решения; Рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов; Подобрать задания для самостоятельного решения по теме исследования.
Слайд 4
Линейные уравнения с одной переменной Уравнение вида – некоторые числа, а - переменная Если ≠ 0, то целочисленное решение уравнение будет иметь только в том случае, когда кратно , иначе нацело делится на , и это решение . Если , то целочисленное решение уравнение будет иметь тогда, когда , и в этом случае любое число. Пример 1. Решить уравнение в целых числах 4х=12 Решение: т.к. 12 нацело делится на 4, то Ответ: 3. Пример 2. Решить уравнение в целых числах 0х=0 Решение: т.к. то х любое число Ответ: х – любое число. Пример 3. Решить уравнение в целых числах 10х=7 Решение: т.к. 7 не делится нацело на 10, то решений в целых числах нет. Ответ: целых решений нет.
Слайд 5
Линейные уравнения с двумя переменными Уравнения вида где – некоторые числа, а – переменные, - называется линейным уравнением с двумя переменными. Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решением уравнения 49x+69y=602 Решение: выразим 8 Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются Ответ:
Слайд 6
Линейные уравнения с двумя переменными Пример 2. Решить уравнение в целых числах 2 x -7 y =3 Решение: выразим из данного уравнения Пусть тогда Ответ: Количество решений – бесконечное множество. Данный метод решения уравнения называется методом спуска .
Слайд 7
Линейные уравнения с двумя переменными Пример 3. Решить уравнение в целых числах 2 x +6 y =23 Решение: покажем, что левая часть уравнения делится на 2, а правая – не делится на 2. выражение делится на 2, так как один из множителей делится на 2. А 23 не делится на 2, значит уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: решений в целых числах нет. Для доказательства отсутствия целых решений использованы признаки делимости.
Слайд 8
Нелинейные уравнения с двумя переменными Метод перебора. Пример 1. (Задача из материалов вступительных экзаменов в 8 математический класс). Сколько пар целых положительных решений имеет уравнение . Перечислить эти пары. Решение: перепишем в виде Раскладывая на множители число 500, и учитывая, что один из множителей является точным квадратом, находим подходящие пары: Имеем 4 пары решений в целых положительных числах . Ответ:
Слайд 9
Нелинейные уравнения с двумя переменными Метод разложения на множители Пример 2. Решить уравнение х - у = ху в целых числах: Решение: Запишем уравнение в виде Разложим левую часть уравнения на множители. Получим Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы: или Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение . Ответ:
Слайд 10
Нелинейные уравнения с двумя переменными Метод остатков Основная задача метода - находить остаток от деления обоих частей уравнения на целое число, на основе полученных результатов. Часто полученная информация уменьшает возможности множеств решений уравнения. Пример 4. Доказать, что уравнение x 2 – 3у = 17 не имеет целых решений. Доказательство: Рассмотрим остатки от деления на 3 каждой части уравнения. Все числа можно объединить в три группы по остаткам при делении на 3: при делении на 3 дает остаток 0, при делении на 3 дают остатки 1. Итак, квадрат целого числа при делении на 3 дает остатки только 0 или 1, 3у кратно 3, значит, левая часть при делении на 3 дает остатки 0 или 1, а правая при делении на 3 дает остаток 2. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах. Доказано.
Слайд 11
Вывод: В результате исследования подтвердилась гипотеза о том, что анализ методов решения уравнений в целых числах и их классификация способствуют конструктивному подходу к решению уравнений данного вида и не только. Нами определены дальнейшие задачи – возможность использования данных методов для доказательства утверждений. Собран материал для самостоятельного решения уравнений. Результаты наших исследований могут быть полезны всем ученикам, интересующимся математикой.
Ласточка. Корейская народная сказка
Любимое яичко
Упрямый зяблик
Как Дед Мороз сделал себе помощников
Бородино. М.Ю. Лермонтов