Целая и дробная части числа

Слайд 1

Слайд 2

цель даннoй pабoты : pассмoтpение свойств функций целой и дробной части числа, а также примеров построения графиков этих функций . задачи : 1) Обработка теоретического материала. 2) Изучение свoйств функций целoй и дpoбнoй части числа. 3) Пoстpoение гpафикoв функций целoй и дpoбнoй части числа. 4) Сoставление пpактическoгo матеpиала в фopме упpажнений . 5) Умение пpименять эти пoнятия пpи pешении уpавнений . Oбъект исследoвания : функции . Метoды исследoвания : - oбpабoтка и анализ научных истoчникoв - анализ научнoй литеpатуpы и пoсoбий пo исследуемoй пpoблеме .

Слайд 3

В математике, целая часть вещественного числа x — это округление x до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier ), или пол (англ. flооr ). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling ) — округление x до ближайшего целого в большую сторону . График функции «пол » График функции «потолок » .

Слайд 4

Символ [x] был введён К.Гауссом в 1808 г. Функция целой части числа была введена Адриеном Мари Лежандром в 1798 г. Именно в честь него функцию y = [x] называют французским словом "Антье" (фр. « entier » -целый)

Слайд 5

Разность между x и целой частью х , называют дробной частью числа x и обозначают { x }. Таким образом { x } = x - [ x ], а следовательно x = [ x ] + { x }. Свойства дробной части числа: Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е. Целой частью числа x называется наибольшее целое число n , не превышающее x . Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье "). x находится в интервале [[ x ]; [ x ]+1). Значит , х≤ [x] < [x] + 1. Целая часть числа обладает рядом важных свойств:: 1. Если х – целое число, то [х]=х . 2. Если а – целое число, то [ x ± а ]=[ x ]± а ; 3. Для любых целых чисел х и у справедливо [ x + y ]≥[ x ]+[ y ] ; 4. Если [ x ]=[ y ], то [ x - y ]<1 .

Слайд 6

Пользуясь определением целой и дробной части числа, решим следующие задачи. Вычислить : [ 2,81] = 2; [7,1]=7; [- 0,2] = -1; [- 2,6] = -3; { 2,81} = 0, 81; {4,3}=0,3; { 5}=0; {-8}=0; [ 6]=6; [-19]=-19; {- 0,2} = -0,2-[-0,2]=-0,2-[-1]=-0,2+1=0,8; {- 7,29}=-7,29-[-7,29]=-7,29+8=0,71 2) Какими могут быть числа х и у, если: а) [х + у] = у; Т.к. [х + у] – целое число, то у- целое число. Воспользуемся свойством 2. [х + у]= [х ]+у=(по условию)=у. Значит, [х]=0. По определению получаем б) {х - у} = х; Т.к. {х - у} – дробное неотрицательное число, то . Пользуясь определением {х - у}, выясним, что у- неположительные целые числа. Получаем , у=0; -1; -2; -3; …. , 3 ) Что больше: [а] или {а}? Т.к. , , то [a]>{a}, если а ≥ 1 и {a } ≥ [a], если а < 1.

Слайд 7

Функция y=[x], ее свойства и график

Слайд 8

Функция y={x}, ее свойства и график

Слайд 9

Уравнение с переменной под знаком целой и дробной части числа Простейшие уравнения Среди простейших уравнений с переменной под знаком целой части, чаще всего встречаются уравнения вида [f(x)]=a или {g(x)}=a. Уравнения такого вида решаются по определению: 1) а ≤ f(х) < а +1 , где а - целое число. Если а - дробное число, уравнение [f(x)]=a не будет иметь корней. 2) Уравнение {g(x)}=a имеет решение при Будем использовать периодичность функции.

Слайд 10

Решить уравнение [ x ]=12 . Исходя из определения целой части числа, находим, 12≤ x <12+1; т.е. 12≤x<13 . Ответ: [12; 13 ). [3 x +1]=8,4 Это уравнение решений не имеет. Решить уравнение {2 x+8 } =2,45 Это уравнение решений не имеет Решить уравнение { x } =0,17 По определению имеем х= 0,17+ n , где n — целое число; т.е . при n =0 х= 0,17 при n =1 х= 1,17 при n = -1 х= 0,17-1= - 0,83 при n =2 х= 2,17 при n = -2 х= 0,17-2= - 1,83 и т.д. Ответ: х= 0,17+ n , где n — целое число

Слайд 11

Решить уравнение [ x -5,6]= -17 - 18≤х-5,6< -17, т.е . -12,4≤ x < -11,4 Ответ: [-12,4; -11,4). [2x+0,2]= 34 . 34 ≤2x+0,2<35 33,8 ≤2x<34,8 16,7 ≤x<17,4 Ответ: [16,7; 17,4). x +2[ x ] = 3,2 . По определению [х] + {х} = х. Тогда [х] + {х} + 2[х] = 3,2; 3[х ] + {х} = 3,2. Так как 3[х] – целое, а 0 ≤ {х} < 1, то {х} = 0,2 и 3[х] = 3, т.е. [х] = 1. Значит, х = 1+0,2=1,2. Ответ: 1,2.

Слайд 12

Решить уравнение 4[ x ]=25{ x }-4,5 Так как 0≤{ x }<1, то правая часть может быть целым числом только при { x }=0,5. Тогда 4[ x ]=25∙0,5-4,5; 4[ x ]=8, т.е. [ x ]=2. Тогда x =[ x ]+{ x }=2,5 Ответ: 2,5 . [ х+3] + [х-7]-[х+5] = 4 Из свойства целой части получим [х] + 3 + [х] - 7 - [х] - 5 = 4 ; [х ] = 13. Тогда 13 ≤x<14 Ответ: [13; 14 ). . ; ; Ответ:

Слайд 13

Решить уравнение . Правая часть уравнения может быть целым числом только при {x}=0. Тогда x=[x], , Данное уравнение имеет вид т.е . Решим методом разложение на множители группировкой ( x^3+x^2 )+(x+1)=0 ; x^2 (x+1)+1(x+1)=0; (x^2+1)(x+1)=0; которое имеет решение х= –1. Ответ: -1 Найти число корней уравнения 20[x ]+21{x}=2021 . Из условия следует, что 0≤{x}= <1. Требуется найти количество целых чисел [x]=n, удовлетворяющих неравенствам: 0≤ < 1; 0≤2021-20n<21; -2021≤-20n<-2021+21; -2021 ≤-20n<-2000; 2000<20n≤2021; 100

Слайд 14

Решение уравнений вида [ f ( x )]= g ( x ) и { f ( x )}= g ( x ) Уравнение вида [ f ( x )]= g ( x ) можно решить путем сведения их к уравнению [ x ] = a . Решить уравнение Пусть , тогда , . Отсюда . Исходное уравнение примет вид . Из определения целой части следует, что ; ; Т . е. Т.к . t - целое число, то t 1 =0 и t 2 =1. Проведем обратную замену и получим и , Ответ: ; .

Слайд 15

Графический способ решения уравнений содержащих целую и дробную части числа Представление о том, как выглядят графики функций у = [х] и у = {х} поможет решить некоторые уравнения Решить графически уравнение [х] = 2{х} Построим графики функций у 1 = [х] и у 2 = 2{х}. Найдём абсциссы точек их пересечения. Ответ: х 1 = 0; x 2 = 1,5 .

Слайд 16

Решить уравнение Решить графически уравнение . Построим графики функций у 1 = и и у 2 = 0,5[x] Ответ: Решений нет.

Слайд 17

Решить уравнение Решить графически уравнение 1 – x = {x } Построим графики функций у 1 = 1-х и у 2 = {х}. Найдём абсциссы точек их пересечения. Ответ:

Слайд 18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал обширный и интересный. Далее следует рассмотреть более сложные способы решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств, содержащих дробную и целую части. Особо внимание следует уделить рассмотрению графиков функций .