Учебный исследовательский проект "Извлечение арифметического корня"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №19 им. Л.А. Попугаевой»

Проект:

«Извлечение квадратных корней из чисел

без калькулятора»

Авторы проекта:

Батура Илья Куренов Бакбеген

учащиеся 7-а класса

Удачный 2018-2019

Содержание

1. Проблема исследования и её актуальность.                                                     3-4
2. Основная часть

1. История квадратного корня                                                                             5
2. Приближенные методы извлечения квадратного корня

1. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел         6
2. Формула Древнего Вавилона                                                                7
3. Канадский метод                                                                                    7
4. Метод Ньютона                                                                                      8
5. Метод  подбора  угадыванием                                                              9

3. Точные методы извлечения квадратного корня

2.3.1 Способ разложения на простые множители                                       10

2.3.2 Способ подбора                                                                                11-12

2.3.3 Извлечение квадратного корня уголком                                             13

Заключение                                                                                                   14

Литература                                                                                                    15

«В математике следует помнить не формулы,

а процесс мышления»

Е.И. Игнатьев

Введение

1. Проблема исследования и её актуальность.

Введение

В 8 классе при изучении темы квадратных корней по алгебре и изучении теоремы Пифагора по геометрии  нам приходилось извлекать квадратные корни. Но так как на уроках математики  не разрешается пользоваться калькулятором, а таблица квадратов не всегда под рукой, то стала актуальной тема «Извлечение квадратных корней» без калькулятора  и таблицы квадратов.  Ведь на ОГЭ таблица квадратов дается только для двузначных чисел, как же быть, если подкоренное выражение шестизначное? А как  извлекать квадратные корни при решении текстовых задач на ЕГЭ (на профильном уровне таблица квадратов вообще не предлагается)? Эти вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием.

Цель проекта: изучить способы извлечения квадратных корней из чисел без калькулятора.

Задачи проекта:

1. изучить литературу по данному вопросу;
2. исследовать способы извлечения квадратного корня
3. показать практическое применение полученных знаний  и оценить

        степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов;

4. создать мини-книжечку по самым интересным способам извлечения квадратных корней из чисел.

Я заинтересовался и решил изучить этот вопрос глубже, чем он изложен в школьной программе: изучал литературу, искал информацию в Интернете. Узнал, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения электронно-вычислительных машин. Исследуя эту тему, я выяснил, что способов извлечения квадратных корней из чисел без калькулятора много, у каждого есть плюсы и минусы. Я предположил, что если сам больше узнаю об этих способах, то смогу выбрать самые интересные  и создать мини-книжечку по самым интересным способам извлечения квадратных корней из чисел, которая поможет многим интересующимся учащимся разобраться в данном вопросе.

Гипотеза: способы извлечения квадратного корня из числа без калькулятора могут вызвать интерес у учащихся, найти практическое применение в учебной деятельности.

Вид проекта: исследовательский, предметный, среднесрочный.

Объект исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: способы извлечения корней из чисел без калькулятора.

Методы исследования: поиск способов извлечения квадратного корня  из числа без калькулятора; сравнение и анализ найденных способов.

2. Основная часть

2.1 История квадратного корня

Квадратный корень из числа a, — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен  а.

Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной влат. radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой: ранее, надчёркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения его в скобки. Так что   есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения r .

Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Кристоф ( по другим источникам, Томас) Рудольф в 1525 году.

Во время работы над данным проектом я обнаружил интересную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвященный квадратному корню.

День квадратного корня - праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 5 мая 2025 года: 05-05-25).

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81). Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, Калифорния, США. По состоянию на 2010 год Гордон продолжает публиковать заметки о придуманном им празднике, активно контактируя по этому поводу со СМИ. Его дочь с помощью Facebook собрала группу поклонников этого праздника, где каждый может поделиться своим способом отметить эту необычную дату.

Главным блюдом на этом «праздничном столе» обычно являются вареные кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня.

По объективным математическим причинам этот праздник может отмечаться строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды — во второй), всегда в одни и те же дни:

      1 января хх01 года

2 февраля хх04 года

3 марта хх09 года

4 апреля хх16 года

5 мая хх25 года

6 июня хх36 года

7 июля хх49 года

8 августа хх64 года

9 сентября хх81 года

При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7 и т. д.

2.2 Приближенные методы извлечения квадратного корня

2.2.1 Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Про этот способ я узнал из Интернета. Способ очень простой и позволяет мгновенно извлечь квадратный корень из любого целого числа  от 1 до 100  с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.

(Таблица квадратов натуральных чисел до 99  есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ОГЭ предлагается в качестве справочного материала.)

Итак, воспользуемся таблицей квадратов чисел до 99. Несколько рекомендаций: цифра столбика десятков – это целая часть результата, а цифра в сроке единиц – это десятые. А дальше всё просто: закроем две последние цифры числа в таблице и найдем нужное вам, не превосходящее подкоренное  число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

Например. Найдём значение .

1. Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 74 – таких только два 7396 и 7569. Но 75 – это уже много.

Значит, остаётся только одно –7396.

2. Столбик десятков даёт ответ - 8(это целых).
3. Верхняя строчка - 6 (это десятых).  

Значит,  ≈ 8,6.

Проверим на МК:   ≈ 8,6023252.

Плюсы  метода: быстро, просто, доступно на экзамене.

Минусы  метода:

•  корни из чисел больше 100  этим способом извлечь невозможно;
•  обязательно наличие таблицы квадратов.

2.2.2 Формула Древнего Вавилона

Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин (при помощи которых деление чисел 7 сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский способ приближенного вычисления квадратных корней можно иллюстрировать на следующем примере, изложенном в одной из найденных при раскопках клинописных табличек.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b, где а2  ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а2<х), и пользовались формулой. (1)

Например. Найдём значение .

625

Проверим на МК:   ≈ 8,6023252.

Плюсы метода: способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2.2.3 Канадский метод

Этот быстрый метод был открыт  молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Вот их формула:

, где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S  - число ближайшего точного квадрата.

Попробуем извлечь  квадратный корень из 74: X = 74, S = 81. Это означает, что  = 9.

Просчитаем по этой формуле :

 = 9 + (-= 8,612.
Проверим на МК:   ≈ 8,6023252.

При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить  за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности.  

Плюсы метода: метод не сложный и удобный.

Минусы метода: его точность – не более двух – трёх  знаков после запятой.

2.2.4  Метод  Ньютона

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а1 — первое приближение числа (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а2 числа найдется по формуле

 .

Третье, еще более точное приближение     и т.д.

(n+1)-е приближение   найдется по формуле 

Нахождение приближенного значения числа  методом Ньютона дает следующие результаты: а1=8;   а2= 8,625;   а3=8,602355   и т.д.

- формула Ньютона для нахождения квадратного корня

из числа х (n=2,3,4,…, аn - n-е приближение ).

Такой способ приближенного вычисления квадратных корней называется методом итераций. Итерация (с латинского iteratio - повторение) - результат повторного применения какой-либо математической операции.

Плюсы метода: позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью.

Минусы метода:  громоздкость вычислений.

2.2.5  Метод  подбора  угадыванием

         Этот метод предлагают английские студенты математического колледжа Лондона, но каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом. Он основан на подборе разных значений квадратов близких чисел путём сужения области поиска.

Алгоритм:

Предположим, вы хотите извлечь  квадратный корень из 74.

1. Замечаем, что 82= 64 и 92 = 81, значит,  8

2. Попробуем возвести 8,52 и вы получите 72,25.

3. Попробуйте 8,62 и вы получите 73,96

4. Попробуйте 8,72 и вы получите 75,69  74 .

Итак,   8,6

5. Попробуйте возвести 8,612 и вы получите 74,1321 74 .

6. Значит, 8,60

7. Продолжайте, пока не получите ответ достаточно точный для вас.

Овладеть этим способом может каждый, но вот пользоваться вряд ли.

Минусы метода:

- требует многократного вычисления  произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел;

- проигрывает в красоте решения и по времени.

3. Точные методы извлечения квадратного корня

Как извлекать корень из большого числа без калькулятора? Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития.

2.3.1 Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Таким способом принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.

    291600│2                         

  145 800│2

    72 900│3

    24 300│3

      8 100│3

      2 700│3

         900│3

         300│3

         100│2

           50│2

           25│5

             5│5

Многие применяют его успешно и считают единственным.  Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату.

Есть одно НО! Способ хорош, если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 142129?  Разложение на простые множители дает произведение 13*13*29*29. Попробуй-ка сходу найди эти делители. Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.

Минусы метода:

• нужно знать простые числа и признаки делимости;
• трудоёмкая задача;
• не всегда приводит к желаемому результату;

-    занимает много времени.

2.3.2 Способ подбора

Суть рассматриваемого нами метода —  это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 148996.Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

1. Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 300 до 400, так как  3002=90000   и   4002=160000.

Действительно: .

2. . Т.о., первая цифра - 3.
3. Далее смотрим, где «стоит» это число: ближе к  или к ?

Число  находится гораздо ближе к . Можно сделать вывод, что результат  будет больше 360.

4. Проверим число 370:

          х370

        370

    2590

  1110

  136900,            , так как  .

5. Проверяем число 380:

     х  380

      380

  3040

1140

144400,            , так как  .

6. Проверяем число 390:

       х390

      390

  3510

1170

152100,           , так как  .

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 380 до 390.

Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:

• Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. 

Например, 21 * 21 =441.

• Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. 

Например, 18 * 18 = 324.

• Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. 

Например, 25 * 25 = 625.

• Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. 

Например, 26 * 26  = 676.

• Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. 

Например, 17 * 17 = 289.

Так как число  заканчивается цифрой 6, то это произведение либо числа 384, либо 386.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 6 в конце.

Проверяем:

                                 х     384                                  х386

                           384                                    386

                         1536                                  2316

                       3072                                  3088

                     1152                                  1158

                     147456                              148996

Значит, .

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете меньше действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

2.3.3 Извлечение квадратного корня уголком

Способ, который я хочу предложить, позволяет извлечь квадратный корень в любом случае.

Основой этого способа, является состав числа

 =.

Алгоритм:

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы

 ( - число 2). Так мы получаем первую цифру числа b.

3. Находим квадрат первой цифры (22=4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7. Ищем вторую цифру числа b: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа b.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа b.

Далее процесс повторяется.

Плюсы метода: - очень точный

 (можно вычислить корень

 из любого числа с любой точностью);

- применим к любым числам.

Минусы метода: - трудоемкий;

- требует хороших вычислительных навыков.

Заключение

Работа над данным проектом показала, что изучение квадратных корней – не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем калькулятор.

Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Но разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой,  быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня без калькулятора.

Рассматривая различные способы извлечения квадратного корня, можно сделать выводы:

• в каждом конкретном случае нужно определиться с выбором наиболее эффективного способа извлечения квадратного корня из числа;

• различные способы извлечения квадратного корня без калькулятора необходимы в школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений.

 Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней.

Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами

В предисловии к своему первому изданию “В царстве смекалки” (1908 год) Е. И. Игнатьев пишет: “... умственную самодеятельность, сообразительность и “смекалку” нельзя ни “вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову. Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью”. Я не могу не согласиться с известным русским математиком, так как в математике следует помнить не формулы, а процесс мышления.

Литература и сайты Интернета:

1. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник,  С.Б. Гашков «Примени математику».                             – М.: Наука, 1990
2. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980
3. Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»;  Книга для учителя.

–М.: Просвещение,1987

4. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакцияфизико- математической литературы, 1979
5. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса   учебных заведений.  – М.: Просвещение, 1994г.
6. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
7. Ткачева М.В. Домашняя математика.
8. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.
9. Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике.-М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с.
10. http://translate.google.ru/translate
11. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
12.  http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/