Математическое моделирование экономических задач на оптимизацию

    МБОУ «Тарбагатайская средняя общеобразовательная школа»

НПК «Шаг в будущее»

Научно-исследовательская работа на тему:

«Математическое моделирование экономических задач на оптимизацию»

Выполнил: Зарубин Алексей

Учитель: Михалева Н.А.

2020 г

 Оглавление

Введение.

1. Производная.

1. Определение производной.
2. Наибольшее и наименьшее значение функции

      1.4 Алгоритм решения задач на оптимизацию.

2. Практическое применение производной.

2.1 Задача на определение прочности балки

2.2. Задача про памятник.

2.3 Задача про пешехода

3. Заключение

4. Литература

Приложение

1. Ученые, внесшие вклад в развитие понятия производной.

2. Задачи на применение производной в физике, химии, биологии..

Введение.

Актуальность. Российский математик XIX века Чебышев Пафнутий Львович говорил, что «особенную важность имеют то методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». Среди различных математических задач встречаются задачи, в которых требуется найти наилучший вариант, кратчайший путь, наибольшее число с заданными свойствами и т.п. подобные задачи обладают своеобразной привлекательностью. По-видимому это объясняется это тем, что они чем-то похожи на наши повседневные проблемы. Мы стараемся приобрести вещи наилучшего качества по возможности за наименьшую цену; пытаемся максимально увеличить свои доходы, прилагая к этому минимальные усилия; хотим поменьше рисковать и т.д. у всех этих жизненных проблем есть одно общее свойство: необходимо добиться наилучшего результата, выполнив определенные условия. В математике таким проблемам соответствует целый класс задач, в которых при заданных ограничениях нужно отыскать наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение некоторой функции. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей.

Цель: рассмотреть применение производной при решении практических задач..

Задачи: дать понятие производной, проанализировать литературу по данной теме,   найти задачи из различных областей науки, решаемых с помощью производной.

 Методы; анализ, классификация, обобщение.

Гипотеза: дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.

1. Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел

= .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Производная обозначается символами 

y ' ,   f ' (xo),   ,   .

1.2. Наибольшие, наименьшие значения функций

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a;b].

1. Найти производную f ´(x).
2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b].
3. Вычислить значение функции в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a, b; выбрать среди них значение наименьшее (это будет y наим) и наибольшее (это будет y наиб).

1.3. Алгоритм решения задач на оптимизацию.

Задачи подобного рода носят общее название — задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum — «наилучший»). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.

Первый этап. Составление математической модели.

1. Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину (сокращенно: О.В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначитть ее буквой у (или S, V, R, t — в зависимости от фабулы).
2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., принять за независимую переменную (сокращенно: Н. П.) и обозначить ее буквой х (или какой-либо иной буквой). Установить реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О. В.
3. Исходя из условий задачи, выразить у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у = f(x) с областью определения X, которую нашли на втором шаге.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции у=f(x), хX найдите yнаим. или Утшиб.  в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые мы получили в п. 1.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Практическое применение производной.

1. Задача на определение прочности балки.

 Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению ее ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы ее прочность была наибольшей?

Решение. Первый   этап.   Составление   математической модели.

1. Оптимизируемая величина (О. В.) — прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда прочность балки будет наибольшей. Обозначим О. В. буквой у.

2. Прочность зависит от ширины и высоты прямоугольника, служащего осевым сечением балки. Объявим независимой переменной (Н. П.) ширину балки, обозначим ее буквой х. Поскольку осевое сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R , то 0 < х < 2R (при х = 0 и при х = 2R прямоугольник «вырождается» в отрезок, равный диаметру окружности) — таковы реальные границы изменения независимой переменной: X = [0; 2R].

3)        Высота h прямоугольника связана с его шириной соотношением х2 + h2 =4R   (по теореме Пифагора). Значит, h2 = 4R — х2.

Прочность балки у пропорциональна произведению xh2, т. е. у = kxh2 (где коэффициент h — некоторое положительное число). Значит, у = kx(4R2-x2), где х € [0; 2R]. Математическая модель задачи составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью. На  этом  этапе  для  функции  

у = kx(4R -х2),   x [0;2R] надо найти . Воспользуемся алгоритмом из п. 1. Имеем: у = 4kR х - kx3;     у' = 4kR2-3kx2. Критических точек нет. Найдем стационарные точки. Приравняв производную нулю, получим  4kR -3kx2 = 0;

   ,  .

Заданному отрезку [0; 2R] принадлежит лишь точка .

Осталось вычислить значения функции у = kR2x— kx3в точке хг и на концах отрезка, т. е. в точках 0 и 2R:      

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какое сечение должна иметь балка наибольшей прочности. Мы выяснили, что ширина х прямоугольника, служащего осевым сечением наиболее прочной балки, равна .  Найдем высоту:

.

Значит,    , а поэтому     .

Ответ: сечением балки должен служить прямоугольник, у которого отношение высоты к ширине равно .

Замечание. Квалифицированные мастера приходят к такому же результату, опираясь на свой опыт, но, разумеется, они принимают указанное отношение равным 1,4 (приближенное значение иррационального числа   как раз равно 1,4).

2.2 Задача про памятник.

Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня его глаз на а м, а верхняя точка постамента — на b м. На каком расстоянии от памятника должен встать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

На рисунке  представлена геометрическая модель ситуации: OF — постамент, FP — статуя, О — основание постамента, М — точка, в которой находится человек, AM — рост человека (до уровня глаз), РК = a, FK = b, PF = а - b,  KAF = .

Первый этап. Составление математической модели.

1. Оптимизируемая величина — угол PAF, обозначим его у.

528798080. Примем за независимую переменную х расстояние ОМ; реальные границы изменения х таковы: 0 < х < +  .

P                                             3) Вычислим интересующий нас угол (или какую-либо тригонометрическую функцию угла). Имеем:                   

С другой стороны,

Здесь z=tg y. Итак          ,   откуда находим:      

 В задаче речь идет об  . Но наибольшему значению угла у будет соответствовать и наибольшее значение тангенса угла, т. е. z наибольшее.        

Математический модель составлена: речь идет об отыскании наибольшего значения функции     .

Второй этап. Работа с составленной моделью

z' = 0 при х = - это единственная точка экстремума функции, причем точка максимума. Следовательно, zнаи6 достигается именно в этой точке.

Третий этан. Ответ на вопрос задачи. В задаче не требуется найти наибольшее значение функции, а требуется указать, на каком расстоянии от памятника должен стоять человек. Это расстояние ОМ мы обозначили буквой х и выяснили, что x=.

Ответ: ОМ =

2.3.Задача про пешехода

База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время он может добраться от базы до станции?

На рисунке  представлена геометрическая модель ситуации, BMS — маршрут пешехода.

Первый этап. Составление математической модели.

1. Оптимизируемая величина — время t движения пешехода от базы В до станции S.

Примем за независимую переменную х угол ВМА. Точка М может занять на отрезке AS любое положение, вне пределов этого отрезка выбирать точку М бессмысленно. Если М совпадает с S, то х = arctg  .  Если М совпадает с А, то Поэтому реальные границы

 изменения х таковы: arctg ≤ х ≤ .

3) Вычислим время t движения пешехода. Имеем:       ВМ = ;

на этом участке пути пешеход идет со скоростью 3 км/ч, значит, время tu затраченное на этот путь, выразится формулой          t  =    

Далее MS = AS — AM =12-5ctg x; на этом участке пути пешеход идет со скоростью 5 км/ч, следовательно, время t2, затраченное на этот путь, выразится формулой    

     t2=  

В итоге имеем:          

Математическая модель составлена: речь идет об отыскании наибольшего значения полученной функции на отрезке      

Второй этап. Работа с составленной модель. Найдем производную полученной функции:         .

Единственная стационарная точка, принадлежащая заданному отрезку, — точка
 , причем слева от неё, и силу убывания функции у = cos х, выполняется неравенство  ,а справа — неравенство  . Это значит, что слева от указанной точки t'< 0, и сирина t' > 0; следовательно,    единственная точка экстремума функции на заданном промежутке, причем точка минимума, поэтому именно в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Третий этап. Отвечаем

на вопрос задачи.

Если      , то       ,       и, значит

Ответ: 3 ч 44 мин.

Заключение.

Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. Рассмотрев следующие  задачи: на определение прочности балки, задачу про памятник, задачу про пешехода,  можно сделать вывод о том, что  производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники. Что подтверждает нашу гипотезу, поставленную в начале работы.

http://www.math24.ru/%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8E.html

Литература

1.Мордкович А.Г., Семенов П.В., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).-М.: Мнемозина, 2009.

2.Натансон И.П.  Популярные лекции  по математике. Простейшие задачи на максимум минимум. Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1950 г, 32 с.

3.Соломник .С. Сборник вопросов и задач по математике. М.: Высшая школа, 1978. 300 с.

4.Шипачев В.С. Начала высшей математики. М.: Дрофа, 2003, 301 с.

Приложение 1

Ученые, внесшие вклад в развитие понятия производной.

Птолемей, а полностью - Клавдий Птолемей (Claudius Ptolemaeus) родился между 127-145 гг. нашей эры в Александрии (Египет), древний астроном, географ и математик, считавший Землю центром вселенной ("Птолемеева система"). К сожалению, о его жизни в настоящее время известно очень мало. (За исключением того, что династия Птолемеев утвердилась в Египте в результате завоеваний Александра Македонского, который отдал Египет в награду одному из своих выдающихся военачальников. Известная Египетская царица Клеопатра также носила фамилию Птолемей).

Леонард Эйлер одился в швейцарском городе Базеле 15 апреля 1707 года. Отец его, Павел Эйлер, был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике. Отец предназначал своего сына к духовной карьере, но сам, интересуясь математикой, преподавал ее и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. Он стал первым, кто в своих работах стал возводить последовательное здание анализа бесконечно малых. Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление», анализ стал вполне оформившейся наукой — одним из самых глубоких научных достижений человечества.

ЛАГРАНЖ, ЖОЗЕФ ЛУИ(Lagrange, Joseph Louis) (1736–1813),

французский математик и механик. Родился 25 января 1736 в Турине. Учился в Туринском университете. Стал профессором геометрии в Артиллерийской школе Турина. В 1755 Лагранж послал Эйлеру свою работу об изопериметрических свойствах, ставших впоследствии основой вариационного исчисления. Лагранж внес существенный вклад во многие области математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию вероятностей.

КОШИ, ОГЮСТЕН ЛУИ(Cauchy, Augustin-Louis) (1789–1857),

французский математик. Родился 21 августа 1789 в Париже. Первым учителем мальчика был его отец, который занимался со своими сыновьями историей и древними языками, заставляя их читать античных авторов в подлиннике. В 1802 Коши поступил в Центральную школу в Париже, где изучал главным образом древние языки. С 1813 Коши начал публиковать работы по математике. В 1816 был назначен членом Парижской Академии наук. Научные работы Коши посвящены арифметике, теории чисел, алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, механике, математической физике и т.д. Всего Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов.

Приложение 2.

Задачи, решаемые с помощью производной из разных областей науки.

РАБОТА, ПРОИЗВОДСТВО, ТЕХНОЛОГИЯ

Дан бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем равен 108 см³. При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?

Обозначим сторону основания через х см, тогда высота параллелепипеда будет        .

Пусть S(х) площадь поверхности, тогда S(х) =х²+4·        ·х = х² +        

S´(х) = 2х-          ;    S´(х) = 0;

2х  -          = 0;              2х³ = 432; х³ = 216; х=6;

По условию задачи х  (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0;6) и на промежутке (6; ∞). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=6 точка минимума, следовательно, S(6)=108 см² наименьшее значение. Значит, сторона основания равна 6 см, высота 12см.

• Объем произведенного товара выражается формулой , где  - время в сутках. Найдите скорость освоения объема работ.
• Рабочий машиностроительного завода производит количество продукции, описываемое формулой , где  - время в часах,  - количество продукции. Найдите дневную производительность его труда (скорость производства продукции в день).
• Потребность в изделиях фабрики носит сезонный характер и определяется формулой , где  - общее количество (объем) изделий, выпущенных за время  (единица времени 1 год). Какова наибольшая и наименьшая скорость выпуска изделий в сутки в течение года, и в какие моменты она достигается?

ФИЗИКА

• Точка движется по закону . Найдите закон, по которому меняется его скорость. Найдите закон изменения ускорения. Найдите мгновенную скорость в момент времени .

• Тело удаляется от Земли по закону . Запишите закон, по которому меняется его скорость. Вычислите ускорение тела.
• Докажите, что движение по кубическому закону происходит с ускорением, меняющемся линейно.

Задан закон движения тела . Найдите моменты его остановки

ЭКОНОМИКА

• Отпуск товара со склада производится по закону , где  - время отпуска товара в часах. Через сколько часов скорость отпуска товара будет наименьшей.

• Стоимость эксплуатации автомобиля, идущего со скоростью  км/ч, составляет  руб/ч. С какой скоростью должен идти автомобиль, чтобы стоимость 1 км пути была наибольшей?

• Функция полных издержек производства имеет вид , где  - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства имеют наименьшее значение.
• Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью  км/ч, составляет  руб/ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наименьшей?

БИОЛОГИЯ, ХИМИЯ

• Количество зеленой массы растений в регионе изменяется по закону , где  - время в годах. Через сколько лет прирост зеленой массы растений будет наименьшим.

• Процент  электропроводности раствора кислоты при комнатной температуре зависит от процента ее концентрации  в соответствии с формулой ; ( - в %;    - в %). При каком значении  процент электропроводности  достигает наибольшего значения?

ГЕОМЕТРИЯ

• Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
• Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

• Составьте уравнение касательной к графику функции , проведенной в точке .

• Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы.