ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
В проекте описано решение задач, в т.ч. включенных во 2-ю часть ЕГЭ, исследующих финансовые закономерности.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 finansovaya_matematika.pptx | 132.07 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Финансовая математика, её цели и задачи............................3 Основные понятия................................................................4-6 Формулы...................................................................................7 Условные обозначения............................................................8 Примеры использования формул......................................9-13 Банковский учёт................................................................14-16 Изменение условий коммерческих сделок..........................17 Потоки платежей...............................................................18-23 Заключение.............................................................................24 2
Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. Объекты изучения - любые финансово-кредитные операции, которые предполагают наличие ряда условий, с которыми согласны участвующие стороны. К таким условиям относятся: – денежные суммы; – временные параметры; – процентные ставки и некоторые другие дополнительные величины. Задачи финансовой математики: 1) измерение конечных финансовых результатов операции для каждой из участвующих сторон; 2) разработка планов выполнения финансовых операций, в том числе планов погашения задолженности; 3) измерение зависимости конечных результатов операции от основных ее параметров; 4) расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции. 3 Финансовая математика, её цели и задачи
Основные понятия Проценты (процентные деньги) – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: – выдача ссуды; – продажа товара в кредит; – помещение денег на депозитный счет и т.д. Процентная ставка – относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени – отношение дохода (процентных денег) к основной сумме долга. Период начисления – временной интервал, к которому приурочена процентная ставка (чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками). Проценты согласно договорённости между кредитором и заёмщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга. Капитализация процентов – это присоединение начисленных процентов к основной сумме долга. Наращение – процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов. Наращение – 1)процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов. –2) Нахождение величины будущей суммы (FV) по известному значению величины денежной суммы на данный момент времени (PV) . Дисконтирование – 1)приведение к более ранней дате – 2)нахождение величины денежной суммы на заданный момент (PV) времени t по известному или предполагаемому значению в будущем (FV) , исходя из значения процентной ставки. Дисконт (скидка) – величина учтённых процентов/ Разность FV-PV, в случае, когда PV определено дисконтированием: D=FV-PV Любая из операций, как наращения, так и дисконтирования, невозможна без применения определенного уровня процентной ставки и схемы начисления процентов. Начисление процентов возможно по схеме простого процента, либо по схеме сложного процента. 4
Проценты: - Простые (применяются для краткосрочных операций )-При наращении по простым процентам, начисленные проценты не присоединяются к основной сумме долга, а периодически выплачиваются. - Сложные (применяются в средне и долгосрочных операциях)-при использовании схемы сложного процента, начисленные проценты не выплачиваются сразу, а присоединяются к основной сумме долга. Т. е. проценты начисляются и на начисленные проценты – цепной процесс. В этом случае, база для начисления процентов увеличивается с каждым шагом во времени и процесс увеличения исходной суммы происходит с ускорением. Дисконтирование: - Математическое дисконтирование (применяется процентная ставка, r ) - Банковский учёт (применяется учётная ставка, d ) Виды временной базы (K): К1=365,366 дней - точные проценты К2=360 дней (12 месяцев по 30 дней)- обыкновенные проценты Число дней операции (t) может быть: – точное, рассчитанное строго по календарю; – приближенное, определяется исходя из предположения, что все месяцы в году равны между собой (по 30 дней). В зависимости от применяемой временной базы и способа расчета t, возможны три варианта расчета простых процентов : 1. Английская методика : (365/365) – точные проценты с точным числом дней ссуды 2. Французская методика : (360/365) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды 3. Германская методика : (360/360) – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды 5 Основные понятия
Основные понятия Номинальная ставка (j) – годовая ставка сложных процентов, доход по которой начисляется несколько m раз в год. Эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов в течение года по ставке j / m . Эти ставки (номинальная и эффективная) эквивалентны в финансовом отношении, и могут заменять друг друга в рамках одной операции. (Эквивалентные ставки – это, ставки которые дают одинаковый результат за один и тот же промежуток времени) 6
Формулы FV=PV(1+nr) - наращение по простым процентам ( n =t/K Если срок операции n выражен в днях, а процентная ставка годовая ) FV=PV(1+r) n - н аращение по сложным процентам FV=PV(1+n 1 r 1 +n 2 r 2 +n 3 r 3 +…+ n x r x ) - наращение по простым процентам (плавающие ставки) FV=PV(1+r 1 ) n1 (1+r 2 ) n2 ...(1+r x ) nx - наращение по сложным процентам (плавающие ставки) где r 1 ,r 2 ,..., r x – последовательное значение ставок; n 1 ,n 2 ,…, n x – периоды, в течение которых «работают» эти ставки. FV=PV(1+ j / m ) N - начисление процентов по номинальной ставке (1+r) n = (1+ j / m ) mn - Соотношение эквивалентности для эффективной и номинальной ставки PV=FV÷(1+nr) - Математическое дисконтирование по простым процентам PV=FV÷(1+r) n - Математическое дисконтирование по сложным процентам PV=FV÷(1+ j / m ) mn - формула математического дисконтирования для случаев, когда проценты начисляются m раз в год Начисление процентов за дробное число лет: FV=PV(1+ r / m ) n1+n2 - Схема сложного процента FV=PV(1+ r / m ) n1 (1+ r / m *n 2 ) - смешанная схема (По смешанной схеме за целое количество периодов наращения начисляются сложные проценты, за дробную часть периода – простые.) n=n 1 +n 2 (где n 1 - количество целых периодов начисления, n 2 - дробная часть одного периода начисления) 7
Условные обозначения PV ( present value ) – текущая (современная) величина денежной суммы FV ( future value ) – будущая (наращенная) величина денежной суммы Разность FV - PV, в случае, когда PV определено дисконтированием, называют дисконтом (D) r – процентная ставка (десятичная дробь) n – срок операции t – число дней ссуды K – временная база начисления процентов m – количество раз начисления процентов в год j – номинальная процентная ставка N – общее количество периодов начисления (N= mn ) * - умножение 8
Пример 1. Наращение по простым процентам Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана 20.01 по 05.10 включительно (год не високосный) под 15 % годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при условии начисления простых процентов? Рассчитайте наращенную сумму с использованием трех методик начисления простых процентов. Решение: PV=100000 руб. r=0,15 FV=? Срок операции выражен в днях, следовательно, для определения размера долга в конце срока используем формулу: FV=PV(1 + t / K * r ) Для использования всех трех методик, необходимо рассчитать число дней ссуды точное и приближенное: – точное определяется строго по календарю и равно t точное =11+28+31+30+31+30+31+31+30+5=258 дней; – приближенное рассчитывается исходя из предположения, что в каждом месяце ровно по 30 дней t приближ =10+30*8+5=255 дней. 9
Рассчитаем наращенную сумму тремя способами: 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды ( 365 / 365 ) Временная база К=365 дней, t точное =258 дней, тогда: FV=100000(1+ 258 / 365 *0,15)=110603 руб 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды ( 360 / 365 ) К=360 дней, t точное =258 дней: FV=100000(1+ 258 / 360 *0,15)= 110750 руб 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды ( 360 / 360 ) К=360 дней, t прибл =255 дней: FV=100000(1+ 255 / 360 *0,15)=110625 руб Наиболее точные результаты даёт первый способ начисления процентов. 10
Пример 2. Плавающие ставки (простые проценты) Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 10 % годовых, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 0,5 п.п . (процентных пункта или процента). Определите множитель наращения за 2,5 года. Решение: В этом случае применяются изменяющиеся во времени (плавающие) ставки. r1=0,1 n1=1 r2=0,105 n2=0,5 r3=0,11 n3=0,5 r4=0,115 n4=0,5 Множитель наращения за 2,5 года равен: 1+1*0,1+0,5*0,105+0,5*0,11+0,5*0,115=1,265 11
Пример 3. Наращение по сложным процентам Какой величины достигнет долг равный 100 тыс. руб., через пять лет при росте по сложной ставке 12 % годовых? Проценты начисляются: один раз в год/раз в полгода/ежеквартально/ежемесячно. Решение: PV=100000 руб. r=0,12 n=5 лет Рассчитаем накопленную сумму долга при начислении процентов: 1) один раз в год , в этом случае можно воспользоваться формулой FV=PV(1+r) n : FV =100000(1+0,12) 5 =176234,16 руб 2) по полугодиям , т.е. два раза в год (m=2), следовательно, применяется номинальная ставка, и следует воспользоваться формулой FV=PV(1+ j / m ) N : FV=100000(1+ 0,12 / 2 ) 2*5 =179084,77 руб 3) ежеквартально , m=4 : FV=100000(1+ 0,12 / 4 ) 4*5 = 180611,12 руб 4) ежемесячно , m=12 : FV=100000(1+ 0,12 / 12 ) 12*5 =181669,67 руб Из примера видно, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). 12
Пример 4. Простые и сложные проценты На сумму 600 тыс.руб . ежеквартально начисляются проценты по ставке 12% годовых. Срок операции 14 месяцев. Определить накопленную сумму с использованием смешанной схемы. Решение: PV=600.000 руб. r=0,12 Для определения размера суммы в конце срока при начислении процентов за дробное число лет воспользуемся формулой : FV=PV(1+ r / m ) n1 (1+ r / m *n 2 ) Проценты начисляются ежеквартально (m=4), т.е. один период наращения равен трём месяцам. Выделим количество целых кварталов и оставшуюся дробную часть одного квартала: n= n 1 +n 2 = 14 / 3 =4+ 2 / 3 FV = 600000(1+ 0,12 / 4 ) 4 (1+ 0,12 / 4 * 2 / 3 ) = 688810 руб 13
Банковский учёт Банковский учёт применяется при покупке (учёте) векселей. Банк или другое финансовое учреждение до начала срока платежа по векселю приобретает (учитывает) его у владельца по цене, которая меньше цены указанной на векселе, т.е. покупает его с дисконтом. Получив при наступлении срока платежа по векселю деньги, банк реализует свой процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его продажи (учёта) имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, однако ранее указанного срока. Вексель – вид ценной бумаги, письменное долговое обязательство, установленной формы, наделяющее его владельца (векселедержателя) безоговорочным правом требовать с векселедателя безусловной оплаты указанной суммы денег к определенному сроку. Номинальная учётная ставка -это годовая ставка сложных процентов, по которой учёт процентов осуществляется несколько раз в год. Эффективная учётная ставка(d) - характеризует степень дисконтирования в целом за год. Эти ставки (номинальная и эффективная) эквивалентны в финансовом отношении, т. е. дают одинаковый результат за один и тот же промежуток времени, и определяются на основании равенства соответствующих дисконтных множителей: (1-d) n =(1- f / m ) mn d – годовая учетная ставка. n – срок от момента учета до даты погашения векселя (в годах) f – номинальная годовая учетная ставка m – количество раз начисления процентов в год 14
Формулы: FV= PV /(1-nd) - Наращение по простой учётной ставке FV= PV /(1-d) n - Наращение по сложной учетной ставке PV=FV(1-nd) - учёт по простой учетной ставке PV=FV(1-d) n - учёт по сложной учетной ставке FV= PV /(1- f / m ) mn - Наращение по номинальной учетной ставке PV=FV(1- f / m ) mn - Учёт по номинальной учётной ставке 15
Пример Вексель выдан на сумму 100 тыс. руб. с уплатой 17.11.2006. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2006 по учетной ставке 20 % годовых способом (365/365). Рассчитайте, полученную векселедержателем при учете векселя сумму и величину дисконта в пользу банка. Решение: FV=100000 руб D=0,20 Движение во времени в обратном направлении предполагает операцию дисконтирования, при учёте векселей применяется один из способов дисконтирования – банковский учёт. Определим срок от момента учёта до даты погашения. Т.к. используется способ (365/365) – это точные проценты с точным числом дней ссуды, следовательно, временная база К=365 дней, а число дней ссуды определяется строго по календарю: t=7+31+17=55 дней. Т.к. срок менее одного года, воспользуемся формулой учёта по простым процентам: PV=FV(1-nd) (n= t / K ) Определим сумму, получаемую владельцем векселя при его учете: PV=100000(1- 55 / 365 *0,2)=96986 руб Дисконт в пользу банка составил: D=FV-PV=100000-96986=3014 руб 16
Изменение условий коммерческих сделок Конверсия платежей – это изменение условий платежей. На практике часто возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим, или объединить несколько платежей в один – консолидация и т.п. Изменение любого параметра в рамках одной операции обязательно повлечёт за собой изменение остальных параметров. Общепринятым принципом в этих случаях является принцип финансовой эквивалентности обязательств, который позволяет изменять условия коммерческих сделок без нарушения прав и обязанностей каждой из участвующих сторон. На принципе эквивалентности основывается сравнение разновременных платежей. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведенными, к одному моменту времени (базовой дате), оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования – приведение к более ранней дате, или наращения суммы платежа, если эта дата относится к будущему. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется на основе простых процентов, для средне- и долгосрочных – с помощью сложных процентов. При изменении условий платежей общий метод решения заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности , в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к этой же дате. Частным случаем конверсии платежей является консолидация задолженности – объединение нескольких платежей в один . В случае консолидации платежей решение также заключается в составлении уравнения эквивалентности, при этом возможны две постановки задачи: 1) определение размера консолидированного платежа (FV 0 ), если известен срок этого платежа. В этом случае, при составлении уравнения эквивалентности, приведение удобнее осуществлять на дату неизвестного платежа. 2) определение срока консолидированного платежа (n 0 ), если известна сумма платежа. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей, т.е. базовой датой будет являться нулевой момент времени 17
Потоки платежей Поток платежей – ряд доходов или выплат, происходящих в разные моменты времени. Из определения следует, что платежи могут быть: - положительные – входящие по отношению к инвестору, например, периодическое получение доходов от инвестиций; - отрицательные – исходящие, например, погашение задолженности в рассрочку, выплаты пенсии и т.д. Потоки платежей бывают: - нерегулярные – выплаты могут быть как положительные, так и отрицательные, и происходят через разные промежутки времени; - регулярные – размеры платежей постоянные происходящие через равные промежутки времени ( финансовая рента или аннуитет ). Финансовые ренты описываются следующими основными параметрами: 1. член ренты – размер отдельного платежа; 2. период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами; 3. срок ренты – это время от начала реализации ренты до момента выплаты последнего платежа; 4. процентная ставка – это процентная ставка, которая используется для расчета текущей и будущей стоимости платежей, составляющих ренту (как правило, это сложная ставка). 18
Дополнительные параметры потоков платежей: 1. количество платежей: – конечное число выплат (ограниченные ренты); – бесконечное (бесконечные или вечные ренты – срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами). 2. момент реализации ренты: – немедленный (немедленные ренты – выплаты начинаются сразу после заключения контракта); – отложенный (отсроченные или отложенные ренты). 3. число платежей в течение года: – один раз в году (годовые ренты); – p-раз в году ( p-срочные ренты). 4. начисление процентов: – один раз в году; – m-раз в году; – непрерывно (за бесконечно малые промежутки времени). 5. момент платежа: – в начале периода (рента пренумерандо ); – в середине периода; – в конце периода (обыкновенные ренты или постнумерандо ). 6. величина выплат (членов ренты): – одинаковая (постоянные ренты); – переменная (переменные ренты). 7. вероятность выплаты ренты: – безусловная выплата, например, погашение кредита (верная рента); – в зависимости от наступления некоторого случайного события, например, страховые аннуитеты (условная рента). 19
Потоки платежей Текущая (современная) стоимость потока платежей (PVA) – это сумма всех выплат, дисконтированных на нулевой момент времени. Для потоков платежей при начислении процентов, в большинстве случаев, используется схема сложного процента. PVA= CF 1 / (1+r) 1 + CF 2 / (1+r) 2 +…+ CFn / (1+r) n ( CF n – член ренты) Наращенная (будущая) стоимость потока платежей (FVA) – это сумма всех платежей с начисленными на них к концу срока процентами, т. е. приведенных к моменту последнего платежа. FVA=CF 1 (1+r) n-1 +CF 2 (1+r) n-2 +…+CF n-1 (1+r) 1 +CF n 20
Аннуитет Аннуитет – это рассредоточенный во времени поток денежных средств, поступающих регулярно и в рамках одной финансово-экономической операции. Обыкновенный аннуитет – это ряд однонаправленных платежей одинаковой величины, происходящих через равные промежутки времени в конце периода. PVA=CF* ( 1-(1+r) -n ) /r – современная (текущая) стоимость обыкновенного аннуитета FVA=CF* ( (1+r) n -1 ) /r – наращенная (будущая) стоимость обыкновенного аннуитета (CF – годовой взнос в фонд накопления) Вечная рента (Бесконечный аннуитет) – ряд платежей, количество которых неограниченно. Например, это облигации без срока погашения, по такой облигации доходы выплачиваются через равные промежутки времени, а возврата основной суммы долга нет. Для бесконечного аннуитета имеют место следующие формулы: – современная стоимость вечной ренты определяется, как: PVA ∞ = CF / r – будущая стоимость бесконечной ренты равна бесконечности: FVA ∞ =∞ 21
Аннуитет Рента пренумерандо – это рента с платежами в начале периодов. Следовательно, каждый член такой ренты работает на один период больше, чем в ренте постнумерандо . Для расчёта основных характеристик ренты пренумерандо используются следующие формулы: – текущая стоимость ренты пренумерандо : PVA'=PVA(1+r), где PVA' – текущая стоимость ренты с выплатами в начале периода; PVA – текущая стоимость обыкновенного аннуитета – будущая стоимость ренты пренумерандо : FVA'=FVA(1+r), где FVA – будущая стоимость ренты с выплатами в начале периода; FVA – будущая стоимость обыкновенного аннуитета. Отложенная рента - Начало выплат отложенной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Для отложенной на t лет ренты: – современная стоимость равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты: PVA t = PVA / (1+r) t где PVA t – текущая стоимость отложенной ренты; PVA – текущая стоимость обыкновенного аннуитета – на величине будущей стоимости, сдвиг во времени не отражается, следовательно, для расчета может быть использована формула обыкновенного аннуитета: FVA=CF*((1+r) n -1) / r 22
Пример Какую сумму необходимо положить на депозит под 10 % годовых сегодня, чтобы затем один раз в конце года в течение пяти лет снимать по 300 тыс. руб.? Решение: CF=300000 руб. r=0,10 n=5 лет В этой задаче необходимо определить современную (текущую) стоимость всех будущих изъятий по 300 тыс.руб. в течение пяти лет. Т.к. суммы изъятий и периоды времени между ними равные, следовательно, этот поток платежей является обыкновенным аннуитетом. Для нахождения текущей стоимости обыкновенного аннуитета воспользуемся формулой: PVA=CF*(1-(1+r) -n )/r PVA=300*(1-(1+0,1) -6 )/0,1=1137 тыс. Руб. Т.о. инвестор за весь срок снимает 5*300=1500 тыс. руб. Разница между первоначальным вкладом 1137 тыс. руб. и накоплением 1500 тыс. руб. обеспечивается суммой процентов, начисляемых на уменьшающийся остаток вклада по технике сложного процента. Этот процесс предполагает, в конечном счете, нулевой остаток на депозите. 23
Заключение В этом проекте указано далеко не всё (иначе количество слайдов превысило бы сотню), но я пытался максимально сжато показать вам что такое финансовая математика и с чем её едят. Я старался избегать сложных формул так как вряд ли все их поймут (я сам их еле понимаю), к тому же здесь это не так уж и нужно. Конец Информация взята отсюда: https://hsem.susu.ru/iepm/wp-content/uploads/sites/2/2017/09/Uchebnoe_posobie_Finansovaya_Matematika.pdf (это- самое краткое пособие, что я нашёл (34 страницы)) 24
Колумбово яйцо
Сказки пластилинового ослика
Большое - маленькое
"Не жалею, не зову, не плачу…"
Как нарисовать небо акварелью