Треугольник

Слайд 1

Треугольник Выполнил работу ученик 10 б класса МБОУ «СОШ №9 с углубленным изучением отдельных предметов» Курников Максим учитель Ровенская А.Н..

Слайд 2

Содержание(1) Определение . Признаки равенства треугольников. По двум сторонам и углу между ними(первый) По двум углам и стороне(второй) По трем сторонам(третий) Отрезки и окружности, связанные с треугольником. Основные свойства треугольников.

Слайд 3

Содержание(2) Площадь треугольника. S = 0,5*АВ*СН S = 0,5 absinC S=0.5pr S=abc/4R Формула Герона S=b^2sinAsinC/2sinB S=2R^2sinAsinBsinC Теорема синусов Теорема косинусов Теорема Пифагора(определение) Теорема Пифагора(доказательство)

Слайд 4

Определение треугольника Треугольник – простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α,β,γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Слайд 5

Некоторые факты геометрии Факт 1. Треугольники называются равными, если они совпадают при наложении. Факт 2. Треугольники равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Факт 3. Треугольники равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. Факт 4. Треугольники равны, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника. Факт 5. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Факт 6. Вертикальные углы равны. Факт 7. Внешний угол треугольника больше внутреннего угла треугольника, с ним не смежного.

Слайд 6

Первый признак равенства треугольников Если в двух (и более) данных треугольниках соответственно равны одна сторона и прилегающие к ней углы, то такие треугольники равны. Пусть в двух треугольниках АВС и КLМ стороны АВ и KL и прилежащие к ним углы А, К и В, L соответственно равны. Докажем, что треугольники равны. Действительно, наложим треугольник АВС на треугольник КLМ, чтобы сторона АВ совпала со стороной КL, а сторона АС пошла по стороне КМ, что возможно в силу равенства углов А и К. Тогда и сторона ВС пойдет по стороне LМ тем самым совпадут вершины С и М, как точки пересечения совпадающих сторон. Ясно, что в условии можно предположить равенство другой пары соответствующих углов, так как из равенства двух пар углов следует и равенство третей пары углов треугольников.

Слайд 7

Второй признак равенства треугольников Если две стороны и угол заключенный между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 угол A равен углу A1, AB = A1B1, AC = A1C1. Докажем, что треугольники равны. Пусть A1B2C2- треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B2 на луче A1B1 и вершиной C2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина C1. Так как A1B1 = A1B2, то по аксиоме об откладывании отрезков вершина B1 совпадает с вершиной B2. Так как угол B1A1C1 равен углу B2A1C2, то по аксиоме об откладывании углов луч A1C1 совпадает с лучом A1C2. Но так как A1C1 = A1C2, по VI аксиоме вершина C1 совпадает с вершиной C2. Значит, треугольник A1B1C1 равен треугольнику A1B2C2, который равен треугольнику ABC.

Слайд 8

Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то треугольники равны. Для доказательства наложим сторону АВ треугольника АВС на сторону KL так, чтобы совпали точки А и К, В и L, а вершины С и М оказались по одну сторону от совмещенных сторон. Остается показать, что и вершины С и М совпадут. Допустим противное, а именно что С и М не совместились. Пусть точка О – середина отрезка между этими вершинами. Тогда, в силу равенства наклонных КМ и КС’ к прямой МС’, отрезок КО будет перпендикуляром к МС’. Также должен быть перпендикуляром к МС’ и отрезок LO, т.е. в точке О мы имеем два перпендикуляра к МС’, что невозможно. Итак, допущение что М и С’ не совпадают, ложно.

Слайд 9

Отрезки и окружности, связанные с треугольником Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам. Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средины боковых сторон треугольника .

Слайд 10

Основные свойства треугольников 1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. 2. Сумма углов треугольника равна 180 0 . 3. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. ( В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны по 60 º ). 4. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности .

Слайд 11

Высота Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O, рис.1) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O, рис.2) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Рис.1 Рис.2

Слайд 12

Медиана Три медианы треугольника (AD, BE, CF, рис.3) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести . Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Рис.3

Слайд 13

Биссектриса Три биссектрисы треугольника (AD, BE, CF, рис.4) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности . Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC . Три биссектрисы треугольника (AD, BE, CF, рис.4) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности . Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC . Рис.4

Слайд 14

S = 0,5*АВ*СН Дано: АВС- треугольник, АВ- основание, СН- высота. Доказать: S=0.5 *АВ*СН Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСД так, как показано на рисунке 4. Треугольники АВС и ДСВ равны по трем сторонам (ВС – их общая сторона, АВ= СД АС=ВД как противоположные стороны параллелограмма АВСД), поэтому их площади равны. 2. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВСД, т.е. S = 0,5*АВ*СН

Слайд 15

S=0.5absinC 2. Дано: АВС- треугольник, ВС- a, AC- b, АД-высота. Доказать: S = 0,5 absinC 1. S= 0.5AC*BH=0.5absinC AC=b; BH=asinC. S=0.5absibC

Слайд 16

S=0.5Pr 6. Дано : АВС –треугольник ; АВ=с ; AC=b; BC=a; Окружность (О ;r) , вписанная в треугольник АВС. Доказать : S=0.5Pr 1 . Соединим точку О с вершинами треугольника АВС. 2 . S=S1+S2+S3=0.5cr+0.5ar+0.5br=0.5r(a+b+c)=0.5Pr. S=0.5Pr

Слайд 17

S=abc/4R 1. S= 0.5absinC (1), но по теореме Синусов: с /sinC=2R, следовательно sinC=c/2R.(2) 2. Подставим выражение (2) в (1). S=0.5absinC=0.5abc/2R=abc/4R. S=abc/4R 3. Дано: АВС- треугольник; АВ=с; АС= b ; ВС=а; Окружность (О; R ). Доказать: S=abc/4R

Слайд 18

S=b^2sinAsinC/2sinB 4. Дано: АВС- треугольник; АВ=с; ВС=а; АС= b . Доказать: S=b^2sinAsinC/2sinB. 1. S=0.5absinC (1) 2. Найдем ab из теоремы Синусов: а /sinA=b/sinB asinB=bsinA Разделим обе части выражения на sinB и умножим на b ab=b^2sinA/sinB в (1) . 3. S=0.5absinC=0.5b^2sinAsinC/sinB S=b^2sinAsinC/2sinB

Слайд 19

S=2R^2sinAsinBsinC 5. Дано: АВС- треугольник; АВ=с; АС= b ; ВС=а; Окружность (О; R ). Доказать : S=2R^2sinAsinBsinC. 1. S=b^2sinAsinC/2sinB= =(b^2/2sinB)*sinAsinC= =2R^2sinAsinBsinC. 2. По теореме Синусов : a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R , следовательно b/sinB=2R S=2R^2sinAsinBsinC

Слайд 20

Формула Герона Выведем Формулу Герона: Для этого из формулы теоремы косинусов выразим cosa, а из теоремы синусов sina: Вспомним главное тригонометрическое тождество. Возводя оба последних равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем

Слайд 21

Теорема синусов Дано: a, b, c — стороны треугольника, α,β,γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной около треугольника окружности Доказать: Проведем диаметр | BG | для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол прямой и угол при вершине G треугольника равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π − α в противном случае. Поскольку sin(π − α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для двух других сторон треугольника получаем:

Слайд 22

Теорема косинусов Дано: a,b,c – стороны треугольника Доказать: a2 = b2 + c2 − 2bccosα. Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует: AD = bcosα, DB = c − bcosα Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC: Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и: b2 − (bcosα)2 = a2 − (c − bcosα)2 или a2 = b2 + c2 − 2bccosα. Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному. Выражения для сторон b и c: b2 = a2 + c2 − 2accosβ c2 = a2 + b2 − 2abcosγ.

Слайд 23

Теорема Пифагора Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа. Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Первоначально теорема устанавливала соотношения между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника: квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Теорема Пифагора устанавливает соотношение, позволяющее определить сторону прямоугольного треугольника по двум другим. Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, устанавливающей соотношение между сторонами произвольного треугольника.

Слайд 24

Теорема Пифагора(доказательство) Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство основанное на теореме существования площади фигуры : Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке. Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов , а развернутый угол — . Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

Слайд 25

Пифагоровы штаны Пифагоровы штаны — шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что раньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов, что породило следующее стихотворение: «Пифагоровы штаны — на все стороны равны».