Цветочная геометрия

Управление образования г.о. Солнечногорск Московской области

Муниципальная ученическая практическая конференция

«Первые исследования»

                        Цветочная геометрия

Составитель

Кузнецова Ирина Александровна,

                                                                                              ученица 8 класса

                                                                          МБОУ Тимоновская СОШ с УИОП

                              г. Солнечногорск

Руководитель

Чайкина  Яна Александровна,

                           учитель математики  

                                                          высшая квалификационная категория

                                              Солнечногорск, 2020

Составитель:

Кузнецова И. А, ученица 8 класса

С темой симметрии учащиеся впервые встречаются на уроках наглядной геометрии в 5-6 классах. В 8 классе изучаются не только понятие симметрии, но вводятся определения и рассматриваются их свойства. Большое внимание уделяется симметрии в живой, неживой природе, архитектуре, декоративном искусстве, математике. В данной работе было решено остановиться на поворотной симметрии, и рассмотреть ее в растительном (цветочном) мире. Выяснить, какие порядки поворотной симметрии наиболее часто встречаются в жизни. В работе исследуется вопрос о построении правильного многоугольника, симметрия в цветах, в архитектуре. Показано несколько практических способов построения правильного семиугольника.

Данная работа адресована широкой аудитории.

                         © Муниципальное бюджетное общеобразовательное

                         учреждение  Тимоновская средняя

                         общеобразовательная школа с углубленным изучением

отдельных предметов,  г. Солнечногорск, 2020

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………....3

Глава 1. Виды симметрии…….………………………………………………...........5

1.1 Осевая (зеркальная) симметрия ……………………………………….……...5

1.2 Центральная симметрия……………………………………………………..…6

1.3 Поворотная симметрия…………………………………………………….…...6

1.4 Зеркально-поворотная симметрия……………………………………………..6

Глава 2. Поворотная симметрия в природе……………………..…………………..8

Глава 3. Построение фигур, обладающих поворотной симметрией……………..11

   3.1 Построение правильного многоугольника по его стороне

(с использованием поворота)………………………………………………….11

  3.2  Методы приближённого построения правильных многоугольников………12

  3.3 Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки..14

Заключение……………………………………………………………………………15

Литература……………………………………………………………………………16

Приложения ..…………………………………………………………………………17

Введение

«На Земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией»

                                                                                                            М. Гарднер

Любой исследовательский проект начинается с постановки проблемного вопроса. Такой вопрос встаёт перед учениками 6 – 8 классов на уроке математики: «Зачем нужна симметрия?»

Мы думали, что симметрия встречается только в  математике. Но так ли это? Мы провели социологическое исследование среди учащихся восьмого  класса МБОУ  Тимоновская  СОШ с УИОП.  Было опрошено 16 человек, одним из вопросов был: «В каких науках, кроме математики, встречается симметрия?

Большинство ребят назвали физику, биологию. (Приложение 1)

Тема: Цветочная геометрия

Актуальность: Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш взгляд. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну их красоты. Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все ее виды – от простейших до самых сложных.

Гипотеза: существует  цветочная  геометрия

Цель: выявление и подтверждение или опровержение гипотезы о возможности или невозможности существования цветочной геометрии и построения циркулем и линейкой правильных многоугольников.

Задачи:

1. ознакомиться с  симметрией цветов  в научной литературе;
2. исследовать и обосновать явления симметрии в цветах;
3. изучить практические способы построения правильных многоугольников

 Методы исследования:  

• изучение научных источников;
•  анализ научно-популярной и занимательной литературы;
• анкетирование;
• наблюдение;
• сравнительный анализ  полученной информации;
• отбор  информации для работы;
• изучение и решение задач;

Объект исследования: Симметрия в растительном  мире и математике

Предмет исследования: цветы, правильные многоугольники

Работа состоит из введения, 3 глав и  заключения.

В работе имеются 1 таблица, 70 рисунков, список литературы.

Глава 1. Виды симметрии

 Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль

Трудно найти человека, который не имел бы какого-то представления о симметрии. “Симметрия” - слово греческого происхождения. Оно, как и слово “гармония”, означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей.

Виды симметрии:  осевая (зеркальная), центральная, поворотная, зеркально-поворотная симметрия.

1.1 Осевая (зеркальная) симметрия 

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой a, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе. (Приложение 2)

Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре. Каждой точке объекта соответствует определённая точка зазеркального двойника. Эти точки находятся на одном перпендикуляре к прямой, по разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё. (Приложение 2)

Примеры осевой симметрии

У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена  

биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. Равносторонний треугольник - три основные симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии. Квадрат имеет четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника,  разносторонний треугольник. (Приложение 2)

1.2 Центральная симметрия

Фигура называется симметричной относительно точки  О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. (Приложение 3)

1.3 Поворотная симметрия

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка. Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф».

У трехмерного объекта может быть несколько поворотных осей. (Приложение 4)

Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра.  Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну поворотную ось бесконечно высокого порядка.  Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии. (Приложение 4)

1.4 Зеркально-поворотная симметрия

Доказать, что существует такой вид симметрии можно самостоятельно следующим образом:

1. Вырежьте из плотной бумаги квадрат и впишите внутрь его косо другой квадрат  (Приложение 5)
2. Затем отогните углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны).
3. В результате получите объект  (Приложение 5)

Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей симметрии. Будем рассматривать изделия сначала сверху, а затем снизу (с противоположной стороны листа бумаги). Мы обнаружим, что никакого различия между «верхом» и «низом» нет; в обоих случаях объект выглядит одинаково. В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта.  Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, - это так называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой в результате поворота на 90° вокруг оси АВ и последующего отражения в плоскости CDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка. Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух последовательно выполняемых операций – поворота на 90⁰ и отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота.

Глава 2.  Поворотная симметрия в природе

 Природа – удивительный творец и мастер. Все живое в природе обладает свойством симметрии.

Приведем  примеры использование различных симметрий в растительном мире.  Симметрия конуса видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу а, остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть сверху.

Лепестки каждого тела расходятся во все стороны, как лучи от источника света.  В математике  - это симметрия относительно точки, в биологии – лучевая симметрия.

Среди цветов наблюдаются поворотная симметрия. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрией. Например, поворотной симметрией обладают: веточка боярышника, цветок зверобоя, веточка акации, лапчатка гусиная. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называется элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120º, для колокольчика - 72º, для нарцисса - 60º.

В мире цветов встречаются поворотные оси симметрии разных порядков. Наиболее распространенная поворотная симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у колокольчика, луговой герани, незабудки, зверобоя, вишни, груши, рябины, боярышника, шиповника.

Цветы издавна считаются символом красоты и совершенства. По словам известного математика Германа Вейля (1885-1955), человек на протяжении веков пытался постичь и то и другое посредством симметрии.  (Приложение 6)

 Как истинный учёный, он считал, что цветы достойны внимания исследователя, потому что обладают свойством поворотной симметрии, весьма распространённой в мире растений. Биологи с математиками согласны: характер симметрии в строении цветка служит одним из его существенных признаков.

Свойственная большинству цветов поворотная симметрия n-го порядка проявляется в том, что цветок совмещается сам с собой при повороте вокруг своей оси на любой из углов, где n>1, k=1,2,3…,n.  Что это означает в простейшем случае, когда располагающиеся по кругу лепестки образуют один слой? А вот что: всякий раз при повороте на угол  каждый лепесток встаёт на место соседнего и после n таких перемещений в одном направлении занимает исходное положение.

Таким образом, порядок поворотной симметрии цветка определяется, по сути, числом лепестков.

Например, для цветка молочая n=2, он совмещается сам с собой при повороте на углы 1800 и 3600. Для триллиума и ириса n=3, а подходящие углы поворота -1200, 2400,3600. Нередко встречаются цветы с поворотной симметрий 4-го порядка (сирень, чистотел), 6-го порядка (лилия, шафран), 8-го порядка (космея, сангвинария)  и более высокого порядка, но особенно часто – 5-го (герань, лютик). (Приложение 6)

 Не странно ли, что из этого стройного ряда выпадает семицветик? Природа явно отдаёт предпочтение цветам с другим числом лепестков, в частности кратным 3,4 или 5. А может, семицветик не был ею предусмотрен? Известно ведь, что в неживой природе у безупречно симметричных кристаллов, из которых состоят все твёрдые тела, поворотная симметрия 7-го порядка принципиально невозможна, а в животном мире из всех видов симметрии преобладает зеркальная; поворотная встречается куда реже и опять же другого порядка…

И всё-таки семицветик нашёлся! В малочисленном роду Trientalis (семейства первоцветных) всего-то три вида, из них два встречаются на территории нашей страны. (Приложение 6)

Вот он - похожий на звёздочку белоснежный цветок многолетнего травянистого растения седмичник европейский (или trientalis europaea). Воочию полюбоваться этим обитателем елового леса можно в период цветения, приходящийся на май-июль.

Вероятно, русское название «седмичник» произошло от слова «седмь» - семь да так и закрепилось за диковинным растением: одиночный цветок с семью лепестками в природе – явление и впрямь редкостное! И даже исключительное, если учесть, что у данного растения к тому же 7 чашелистиков и 7 тычинок, в завязи выделяются 7 частей, а плод (коробочка) раскрывается 7-ю створками и нередко содержит 7 семян. Даже листьев – и тех зачастую бывает 7!

Любопытно, что в толковом словаре В.Даля упоминаются и другие названия  этого растения. В народе его прежде величали семитычинником, и троичницей. Если первое название указывает на число тычинок цветка, то второе, от латинского «triens» - третья часть, говорит о другой особенности растения: длина его цветоножки составляет примерно треть от длины стебля.

   Остаётся добавить, что цветки с семью лепестками встречаются и у некоторых других видов, например у печёночницы благородной, но чаще лепестков бывает всё-таки шесть или восемь. (Приложение 6)

 Глава 3. Построение фигур, обладающих поворотной симметрией

В основе построения фигуры, обладающей поворотной симметрией n-ого порядка, лежит тот факт, что в такой фигуре можно выделить базовый элемент. Поворачивая данный элемент n-1 раз вокруг центра симметрии на угол  и копируя его, можно получить исходную фигуру. Возможность такого построения с помощью циркуля и линейки определяется возможностью построения угла . Таким образом, мы приходим к задаче о разбиении окружности на n равных частей или эквивалентной задачи о построении правильного n-угольника при помощи циркуля и линейки.

Эта задача, кстати, стоит наряду с тремя знаменитыми задачами древности: квадратурой круга, трисекцией угла и удвоением куба. И попала туда не только благодаря своей многовековой истории, но и потому, что не всегда разрешима с помощью упомянутых инструментов.

Ещё со времён Пифагора греческие учёные проявляли интерес к правильным многоугольникам и развивали искусство их точного построения. Впоследствии эти знания были систематизированы Евклидом и изложены в 4-ой книге «Начало». (Приложение 7)

При помощи циркуля и линейки древние геометры умели строить правильные n-угольники с числом сторон, равным 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15. (Приложение 7) При этом использовалась окружность, описанная около многоугольника.

3.1 Построение правильного многоугольника по его стороне

(с использованием поворота)

Правильным называют многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Предварительно необходимо вычислить внутренний угол правильного многоугольника. Из школьного курса геометрии известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n - 2). Исходя из этой теоремы, несложно вычислить величину внутреннего угла правильного многоугольника.  В таблице ниже приведены значения сумм углов и внутренних углов для некоторых правильных многоугольников.

Таблица 1.

Значения внутренних углов и сумма всех

углов правильных многоугольников

Зная величину внутреннего угла правильного многоугольника, построить сам многоугольник не составит труда.

1. Построим две точки - две соседние вершины многоугольника.

2. Одну из точек отметим как центр поворота, выделим вторую точку и повернём её на внутренний угол. В результате будет построена третья вершина многоугольника.

3. Только что построенную точку отметим в качестве центра поворота и повернём на внутренний угол соседнюю вершину (бывший центр). Будет построена четвёртая вершина.

4. Третий шаг будем повторять до тех пор, пока не будут построены все вершины многоугольника.

5. Последовательно соединить вершины многоугольника отрезками.

3.2  Методы приближённого построения правильных многоугольников

Пусть O-центр окружности, A-точка на окружности и Е–середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE=ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника (Приложение 7)

 Одни из указанных фигур могут получиться на основе других. Так, имея квадрат, легко построить правильный восьмиугольник: достаточно разделить пополам каждую из четырёх дуг, на которые вершины квадрата разбивают описанную около него окружность. Всего на окружности будут отмечены восемь точек–вершин искомой фигуры. Остаётся последовательно соединить их отрезками. (Приложение 7)

Умея строить правильный n-угольник, нетрудно получить правильный 2n-, затем 4n-, 8n- и вообще всякий правильный -угольник, повторяя процедуру деления необходимое число раз. Отсюда следует, что достаточно решить исходную задачу для правильных многоугольников с нечётным числом сторон. Пример 16-ти угольника (Приложение 7)

    А вот правильный n-угольник, для которого n=km, а числа k и m взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), можно построить на основе двух правильных многоугольников–с числом сторон k и m, вписанных в одну окружность. В «Началах» Евклида приводится решение этой задачи для пятнадцатиугольника 15=3·5  ( Приложение 7)

Знаменитый немецкий математик К.Ф. Гаусс (1777-1855) доказал следующую теорему.

Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители: n=2m ·p1p2…ps,   где m-целое неотрицательное число, а p1,p2,…,ps -различные между собой простые числа вида                        

После открытия Гаусса стало ясно, что, помимо ранее известных правильных многоугольников с 3;4;5;6;8;10;12;15;16;20;24;30;32;40;…сторонами, можно построить с помощью циркуля и линейки правильные многоугольники с 17;34;68; 126; 252;257;…сторонами.

С другой стороны, невозможно циркулем и линейкой построить правильные многоугольники со следующим числом сторон: 7;9;11;13;14;18;19;21;22;23; 25;27; 28;… .

Еще в древности практиковалось приближенное построение любого правильного многоугольника. Так , например, Герон Александрийский находит приближенное значение стороны правильного девятиугольника.

Задача построения правильного n-угольника сводится к делению окружности на n равных частей. Один практический приём такого деления предложил французский математик Н. Бион.

Прием этот состоит в следующем:

Пусть требуется разделить окружность, например, на 9 равных частей. (Приложение 7)

1. На диаметре окружности строится равносторонний треугольник ABC. Диаметр AB делим на 9 равных частей ( разделить данный отрезок на n равных частей можно с помощью теоремы Фалеса).
2. Соединяя вторую точку деления с вершиной треугольника C, продолжим прямую до пересечения с окружностью в точке D.
3. Дуга AD является девятой частью окружности, хорда AD- стороной правильного девятиугольника.

В общем случае метод подходит для деления окружности на частей и имеет погрешность построения не превышающую 1%.

3.3 Построение правильных многоугольников

с помощью циркуля и линейки

Построение правильного шестиугольника и треугольник, правильного четырехугольника и восьмиугольника , устройство для графического построения правильных многоугольников. (Приложение 8)

Заключение

В результате выполненной работы было выяснено, что поворотная симметрия свойственна большинству цветов. Наиболее часто встречается поворотная симметрия  n=5 порядка, а также 3,4,6,8.порядков.

Поворотная симметрия n=7 порядка нашлась у одного семейства цветов, в природе оказалась большой редкостью. Практически не встречается 7 порядок в архитектуре, декоративно-прикладном искусстве, орнаментах. Изученные способы деления окружности на n-равных или почти равных частей дают простор для развития фантазии в создании орнаментов, узоров паркетов, витражей

Список литературы:

1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Учебник геометрии 7-9класс.
2. Н.Карпушина «В поисках семицветика» Наука и жизнь №3 2009г.
3. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов Геометрия 9 кл, дополнительные главы
4. Г.И. Глейзер «История математики в школе» 7-8кл.
5. А.В. Погорелов Геометрия для 7-11 классов.
6. Ильченко В. Р. Перекрестки физики, химии и биологии,- М.:Просвещение,1986.
7. Л. Тарасов «Этот удивительно симметричный мир» М. «Просвещение» 1982.
8. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.- 79с.
9. Азевич А. И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс.-М.: Школа-пресс, 1998.-160 с.: (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып.7).