Обыкновенные дроби в необыкновенной музыке

Проанализировать литературу по данной теме.
Познакомиться с пифагорейским учением о связи между математикой и музыкой.
Установить взаимосвязь между математическими и музыкальными терминами.
Определить взаимосвязь между обыкновенными дробями и длительностью нот.
Освоить навыки выполнения исследовательской работы.
Показать, что музыкальное произведение имеет свою логику и числовые характеристики.

Актуальность темы состоит в том, что для того, чтобы играть красивые гармоничные мелодии на любом музыкальном инструменте музыкант должен знать математику. Музыкальные произведения имеют числовые характеристики, и их несоблюдение ведет к дисгармонии в звучании.

Основная часть

Исторические сведения

Многие великие ученые размышляли о связи математики и музыки. Одним из первых был Пифагор Самосский – философ и математик, он также был и отличным музыкантом, живший около 570-550 гг. до н.э. Пифагор в результате своих исследований установил связь между музыкой и математикой, создал учение о звуке, и при изучении музыки доказал свой великий тезис – «Все есть число!».

При изучении музыки Пифагор создал первый в истории струнный музыкальный струнный инструмент – монохорд, служащий для точного построения интервалов путем фиксации различных длин звучащей части, возбуждаемой щипком струны. Инструмент состоит из основания, на котором между двумя порожками закреплена натянутая струна. Между порожками находится подвижная подставка (прижимающая струну снизу), перемещением которой фиксируют звучащую часть струны. Исследуя различные звучания, Пифагор открыл, что основные гармонические интервалы (октава, чистая квинта и чистая кварта) возникают, когда длины колеблющихся струн относятся, как 1:2, 2:3, 3:4 [см. Приложение № 1].

Позднее монохорд был несколько усовершенствован. Вместо одной струны, натянули четыре. Длина первой струны была d см., а длинны остальных относились к длине первой струны, как числа ¾, 2/3 и ½. Звуки, воспроизводимые на этих струнах давали прекрасную Пифагорейскую гармонию. Так было положено начало созданию клавишных инструментов – клавесина и фортепиано.

В средние века мастера изготовления музыкальных инструментов добавляли еще больше струн. Так появились такие инструменты, как цимбалы, гусли.

Связь музыки и математики

Интервалы в музыке и в математике

В математике и музыке много общих понятий. В основе теории о математике и музыке лежит интервал. В математике интервал – расстояние между двумя объектами в пространстве или между двумя моментами времени, которое измеряется в метрах и т.п. величинах, или в часах и т.п. В музыке интервал - расстояние между двумя звуками, которое измеряется тонами и полутонами. Полутон - это ближайшее расстояние между двумя звуками, то есть два соседних звука. Если считать на фортепиано, то между двумя клавишами (черные – это тоже клавиши).

Существуют основные интервалы между звуками: прима, секунда, терция, кварта, квинта, секста, септима, октава. Их, как мы выяснили, вывел Пифагор. Интервалы бывают двух видов: консонансы и диссонансы. Консонансы звучат гармонично и приятны на слух. Диссонансы звучат резко, негармонично.

Консонансы подразделяют на:

Абсолютные (примы и октавы)
Совершенные (кварты и квинты)
Несовершенные (терции и сексты)

Диссонансы: секунды и септимы

Чередование консонанса и диссонанса образует как бы «гармоническое» дыхание музыки.

Невероятно, но оказывается можно переложить на музыку любую цифровую последовательность. Для этого нужно сопоставить цифры с какими-то нотами, например, обозначить цифрами от 1 до 8 основные ноты октавы, за 0 принять ноту, предшествующую началу основной октавы, а за 9 – ноту стоящую первой после основной октавы.

Некоторые музыканты таким образом смогли воспроизвести мелодии таких чисел, как: число ПИ, числа Фибоначчи. Получились очень красивые и необычные музыкальные композиции.

Обыкновенные дроби в музыке и в математике

Ноты в музыке отличаются длительностью звучания. Длительности нот соотносятся с дробями в математике.

Великий Альберт Эйнштейн, основатель современной физики, помимо изучения точных технических наук, также как и Пифагор, изучал музыку, и пришел к утверждению, что «Настоящая математика, равно как и настоящая музыка, требуют одинакового мыслительного процесса». Рассмотрим несколько примеров, доказывающих утверждение Эйнштейна

Итак, с нотами можно производить арифметические операции сложения и вычитания, точно так же, как и с обыкновенными дробями. Кроме того, ноты можно сравнивать друг с другом по длительности, так же, как и обыкновенные дроби. И можно заменять одну группу нот другой, главное при этом, чтобы итоговая длительность осталась прежней. Длительности нот можно увеличивать или уменьшать в одно и то же количество раз. При этом изменяется темп звучания музыкального произведения. Например, если длительности всех нот увеличить в два раза, то музыка будет играть медленней также в два раза, а если длительности уменьшить в два раза, то музыка будет играть быстрее также в два раза.

Так же и с обыкновенными дробями. Например если заменить дробь ½ на две дроби ¼ и ¼ , то сумма останется прежней. Если каждую из дробей увеличить в одно и то же количество раз, то и сумма увеличится во столько же раз.

Такт в музыке и в жизни

Тактичность (чувство такта) – это чувство меры, чувство границы в общении. Нарушив эту границу, мы обидим человека. Поэтому, чтобы отношения между людьми оставались гармоничными, необходимо постоянно следить за соблюдением чувства такта.

Тактом в музыке называется отрезок мелодии, заключенный между двумя тактовыми чертами. Счет в музыке обычно ведется четвертями. Размер такта показывает количество четвертей в такте. В музыке каждый такт имеет одинаковую длительность. Размер такта указан в начале произведения. Нарушив такт при исполнении мелодии, нарушится ее красота и гармоничность. Ниже представлены несколько вариантов музыкальных тактов.

Для музыкальных произведений различных жанров применяют различные размеры такта. Например, для польки подойдет такт 2/4, для вальса размер такта всегда составляет ¾, а вот для марша используют размер такта, равный 4/4.

Ритм в музыке и в математике

Ритм в музыке – равномерное чередование звуков и пауз разных длительностей. Ритм организует музыку во времени.

Ниже представлены несколько различных ритмических рисунков.

Ритм в математике – синоним понятия «закономерность» или чередование цифр. Например, разложим число 1/81 в десятичную дробь:

1/81 = 0,01234567912345679…=0,0(12345679).

Закономерность в данном примере – периодичность повторения цифр 12345679. Период получившейся дроби – это и есть ее ритм. Здесь он равен 8. В Приложении 2 представлено еще несколько примеров получения ритмичных чисел.

В музыке в одном и том же произведении периодически повторяются одни и те же такты (например, припевы и куплеты песен чередуются друг с другом). Во всех гаммах очень хорошо заметны такие повторения.

Числовые закономерности можно получить и в результате выявления каких-нибудь математических закономерностей, например, при определении признаков делимости. Ниже представлен ритмический рисунок, получаемый при нахождении чисел, кратных трем. Как видно, эти числа располагаются в определенной ритмичной последовательности, а также образуя параллельные закрашенные линии.

Время в математике и в музыке

Время – понятие, которое используется в любой науке. В математике есть очень много задач, где требуется учитывать время, или необходимо найти этот параметр. При написании музыки этот параметр также очень важен. Так как, если его не учитывать, то музыкальное произведение может получиться больше, чем необходимо, или наоборот – меньше. Например, у музыкантов группы QUEEN даже был конфликт с радиостанцией из-за того, что та не хотела брать в прокат их композицию, так как не был выдержан временной формат.

Рассмотрим вычисление длительности небольшого фрагмента музыкального произведения на примере детской песни «Пусть всегда будет солнце».

= 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 18

Выводы:

В данном музыкальном произведении не содержится тактовых и ритмических ошибок!
Музыкальное произведение состоит из 18 тактов, длительностью по .
Общее относительное время звучания произведения составляет*18 = 18 (ед. времени)

Заключение

В результате работы было выявлено, что математика и музыка – сестры. И великие ученые, такие, как Пифагор, Эйнштейн, и другие, правы в своих высказываниях о близости математики и музыки. Действительно, настоящая математика, как и настоящая музыка требуют одинакового мыслительного процесса. И верно сказал Пифагор – «Все есть число!»

Наиболее тесная связь определена между длительностями нот и дробями, а именно:

Длительность нот совпадает с двоичными дробями;
С длительностями нот можно выполнять арифметические действия сложения и вычитания, так же, как и с обыкновенными дробями;
Длительности нот можно сравнивать так же, как и обыкновенные дроби.
Длительности тактов должны быть одинаковыми на протяжении всего музыкального произведения.
Можно вычислить длительность музыкального произведения, зная размер такта и количество тактов.
Можно заменять одну группу нот другой группой, главное при этом, чтобы итоговая длительность такта осталась прежней.