Проектная работа на тему: «Фракталы»

Опубликовано Цапина Ирина Викторовна вкл 01.06.2021 - 22:54

Автор:

Костерева Елизавета

Проектная работа

на тему:

«Фракталы»

Скачать:

Вложение	Размер
proekt_fraktaly.odt	212.59 КБ

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 2 Г.УСМАНИ ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ ИМЕНИ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА М.П.КОНСТАНТИНОВА

( МБОУ СОШ № 2 Г. УСМАНИ)

Проектная работа

на тему:

«Фракталы»

Выполнила: учащаяся 10 класса

Костерева Елизавета

Руководитель: Цапина И. В

Усмань, 2020

Содержание

1. Проблема

2. Цель

3. Гипотеза

4. Задачи

5. Методы

6. Введение

7. Основная часть

8. Вывод

9. Литература

10. Приложение

Проблема

Как произошло открытие фрактала и правда ли, что многое в мире - это фрактал?

Цель

Понять как открыли фрактал и узнать, много ли вещей в мире, являющимися фракталами.

Гипотеза

Многое, что существует в реальном мире, является фракталом

Задачи

1. Увидеть мир фракталов вокруг нас.

2.Ознакомиться с историей появления фракталов в науке.

3.Рассмотреть построения фракталов.

Методы, используемые при работе

Методы эмпирического исследования: наблюдение, сравнение, измерение, эксперимент. Методы теоретического исследования: абстрагирование, анализ и синтез, дедукция.

Введение

Фрактал. Каждый человек хоть раз, но слышал это слово. Но что это такое? По определению фрактал - это множество, обладающий свойством подобия. Другими словами, это объект, который самовоспроизводится.

По многим источникам, фрактал - это своего рода связь между событиями, закономерность в хаосе, которые учёные-хаологи пытались найти. Это не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии — это революция. Это открытие того, что описывает мир вокруг нас и что можно увидеть и в природе и в безграничной вселенной.

Фракталы в нашем мире

Представим себе дерево. Обычное дерево Посмотрим на ее ствол.

Поднимем глаза выше. От ствола начинают выходить ветви.

А теперь посмотрим на эти ветви. От них отходят более мелкие ветки. А потом и от них отходят куда более мелкие ветки. И так далее.

Дерево воспроизводит само себя, на каждом уровне. При этом его структура постоянно усложняется, но остается себе подобной. Сюда же можно отнести многие растения.

Кровеносная система человека. Есть крупные сосуды. Потом, сохраняя свое строение, они становятся все более тонкими и разветвленными, проникают в самые отдаленные участки нашего тела, доносят кислород и другие жизненно важные компоненты до каждой клетки. Сюда можно отнести и дыхательную систему, нервную систему, сетчатку глаза. Это типичные фрактальные структуры, которые воспроизводят сами себя все в более и более мелких масштабах.

Капуста Ромасенко. Её соцветие устроено практически по принципу самоподобия, каждый бутон состоит из набора меньших бутонов. Кораллы также можно отнести к фракталам. Скалистые хребты, кристаллы, молния. Можно добавить ещё много примеров, но я остановлюсь ещё на одном .

Наша Вселенная. Конечно, в масштабах миллиардов световых лет, она, Вселенная, устроена однородно. Но давайте посмотрим на нее поближе. И тогда мы увидим, что никакой однородности в ней нет. Где-то расположены галактики (звездные скопления), где-то – пустота. А что происходит внутри галактик (еще одно уменьшение масштаба). Где-то звезд больше, где-то меньше. Где-то существуют планетные системы, как в нашей Солнечной, а где-то – нет.

Не проявляется ли здесь фрактальная сущность мира? Сейчас, конечно, существует огромный разрыв между общей теорией относительности, которая объясняет возникновение нашей Вселенной и ее устройством, и фрактальной математикой. Но кто знает? Возможно, это все когда-то будет приведено к «общему знаменателю», и мы посмотрим на окружающий нас космос совсем другими глазами.

История появления фрактала в науке.

На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. Немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха»(Приложение 1).

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. Он описал еще один фрактал — "С-кривая Леви"(Приложение 2).

Первые исследования в начале XX века связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. Они описали множества — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа и Фату среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт .

Мандельброта выпустил книгу «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения.

Давайте проделаем путь всех ученых и построим фрактал.

Построение фрактала

Для начала, нам нужно познакомиться с комплексными числами.

Это круги Эйлера, которые показывают всем нам знакомые множества: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа и множество всех чисел. Но появляется дополнительный круг С. Это и есть комплексные числа.

Почему так? Из курса математики мы знаем что мы не можем извлечь корень из -1. А вот французский математик Лазар Карно подумал что можно ввел "мнимую единицу", квадрат которой будет равен -1.

В итоге получилось, что комплексное число — это выражение вида a +bi, Число a называется действительной частью, а число b —мнимой частью комплексного числа c = a + bi.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a+bi)±(c+di)= (a±c)+(b±d)i, а умножение — по правилу (a+bi) · (c+di)= (ac–bd) +(ad+bc)i(здесь как раз используется, чтоi2=–1). Число z= a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi.

А теперь вернёмся к фракталу. Пусть c — некоторое комплексное число. Рассмотрим последовательность чисел z0,z1,z2,…z0,z1,z2,…, которая строится следующим образом:

zn+1 = zn2 + c, при z0 = 0

На каждом шаге мы берём предыдущее число, возводим в квадрат и прибавляем c. В зависимости от значения c, последовательность чисел может быть ограниченной или неограниченной. Если она является ограниченной, мы говорим, что c принадлежит множеству Мандельброта.

Поскольку число c комплексное, у него есть вещественная и мнимая части. Каждое комплексное число задаётся точкой декартовой плоскости: по горизонтальной координате будем откладывать вещественную часть, а по вертикальной — мнимую. Таким образом, множество является множеством на вещественной плоскости.

Попробуем построить множество Мандельброта. Python умеет работать с комплексными числами, так что запрограммируем этот алгоритм с помощью него.

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

%matplotlib inline

%config InlineBackend.figure_format='retina'

# библиотеки

# инициализиация

pmin, pmax, qmin, qmax = -2.5, 1.5, -2, 2

# пусть c = p + iq и p меняется в диапазоне от pmin до pmax,

# а q меняется в диапазоне от qmin до qmax

ppoints, qpoints = 200, 200

# число точек по горизонтали и вертикали

max_iterations = 300

# максимальное количество итераций

infinity_border = 10

# если ушли на это расстояние, считаем, что ушли на бесконечность

image = np.zeros((ppoints, qpoints))

# image — это двумерный массив, в котором будет записана наша картинка

# по умолчанию он заполнен нулями

for ip, p in enumerate(np.linspace(pmin, pmax, ppoints)):

for iq, q in enumerate(np.linspace(qmin, qmax, qpoints)):

c = p + 1j * q

# буквой j обозначается мнимая единица: чтобы Python понимал, что речь

# идёт о комплексном числе, а не о переменной j, мы пишем 1j

z = 0

for k in range(max_iterations):

z = z**2 + c

# Самая Главная Формула

if abs(z) > infinity_border:

# если z достаточно большое, считаем, что последовательость

# ушла на бесконечность

# или уйдёт

# можно доказать, что infinity_border можно взять равным 4

image[ip,iq] = 1

# находимся вне M: отметить точку как белую

break

plt.xticks([])

plt.yticks([])

# выключим метки на осях

plt.imshow(-image.T, cmap='Greys')

# транспонируем картинку, чтобы оси были направлены правильно

# перед image стоит знак минус, чтобы множество Мандельброта рисовалось

# чёрным цветом

В итоге программы выдала это:

То же получил Мандельброт, когда сделал все расчёты на компьютере. Но этот фрактал скучноват. Сейчас чёрным цветом закрашены точки множества Мандельброта, а белым — все остальные точки. Чтобы получить красивую картинку, нужно закрашивать точки, не входящие в множество Мандельброта, разными цветами, в зависимости от скорости «ухода на бесконечность».

Сделаем небольшие изменения в программе.

image = np.zeros((ppoints, qpoints))

# image — это двумерный массив, в котором будет записана наша картинка

# по умолчанию он заполнен нулями

for ip, p in enumerate(np.linspace(pmin, pmax, ppoints)):

for iq, q in enumerate(np.linspace(qmin, qmax, qpoints)):

c = p + 1j * q

# буквой j обозначается мнимая единица: чтобы Python понимал, что речь

# идёт о комплексном числе, а не о переменной j, мы пишем 1j

z = 0

for k in range(max_iterations):

z = z**2 + c

# Самая Главная Формула

if abs(z) > infinity_border:

image[ip,iq] = k

break

plt.xticks([])

plt.yticks([])

# выключим метки на осях

plt.imshow(-image.T, cmap='flag')

# транспонируем картинку, чтобы оси были направлены правильно

# перед image стоит знак минус, чтобы множество Мандельброта рисовалось

# чёрным цветом

# параметр cmap задаёт палитру

Вывод:

Палитру можно делать какую угодно.

Вот мы и построили фрактал Мандельброта. Правда программа будет медленной так как Python всё же медленно работает с циклами. Но я работала на результат, а не на время.

Вывод

Изучая фракталы, анализируя проявления фракталов в окружающей нас действительности, я могу подтвердить свою гипотезу. Хотелось бы ещё сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. При подготовке данной работы мне было очень интересно находить применения теории на практике. Потому что очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в стороне от жизненной реальности.