Исследовательская работа по математике "История обыкновенных дробей"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Сосьвинская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа

 по математике

Тема: «История обыкновенных дробей»

    Выполнила: Устинова Полина,

ученица 5 класса

                                  Руководитель проектной работы          

                                           Штакина Василиса Владиславовна,

учитель математики

П. Сосьва

2021 год

Содержание

Введение …………………………………………………………………....3 1.История возникновения обыкновенных дробей………………………..4

2. Старинные задачи на дроби и их решение…………………………......8

Заключение…………………………………………………………………10

Список используемой литературы………………………………………...11

Введение

После зимних каникул мы начали изучать обыкновенные дроби. Очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. Многим в классе, в том числе поначалу и мне, они были не понятны. У меня возникли вопросы: «Нужны ли мне дроби? Важны ли они?» Мне захотелось узнать, откуда пришли к нам дроби, кто придумал правила работы с ними.

Цель моей работы: исследовать историю возникновения понятия обыкновенной дроби, показать необходимость и важность использования обыкновенных дробей при решении практических задач.

Задачи: собрать материал по теме работы и систематизировать его, изучение старинных задач, обобщение обработанного материала, оформление обобщенного материала, подготовка презентации, презентация реферата.

     Объект исследования – математика.

     Предмет исследования – обыкновенные дроби.

     Гипотеза: повседневная жизнь человека не обходится без дробей.

     Актуальность и значимость моей работы вижу в том, что будет интересной для учащихся и полезной для учителей математики в качестве дополнительного материала при проведении уроков и мероприятий.

1. История возникновения обыкновенных дробей.

     Еще в древности у человека появилась необходимость в дробных числах, например: при дележе добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников. Эта ситуация могла привести первобытного человека к понятию о дробном числе.

     Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

     Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

     В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи.

Древний Вавилон

Первые упоминания о дробях найдены на глиняных табличках Древнего Вавилона. Это государство находилось в долинах рек Тигр и Евфрат примерно за три тысячи лет до нашей эры.

Вавилонские «тексты» доходят до нас в виде глиняных табличек, обычно примерно размера ладони. Они написаны клинописью, клинообразным алфавитом. Их арифметика имела основание 60, в вавилонской математике  пользовались шестидесятеричной системой для целых чисел и дробей, дроби записывались с постоянным знаменателем равным 60-ти.

Дроби на Руси

     В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять".

     В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси:

– половина, полтина, – треть,

– четь, – полтреть,

– полчеть, – полполтреть,

– полполчеть, – полполполтреть (малая треть),

– полполполчеть (малая четь), – пятина,

– седьмина, – десятина.

      Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая –

получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.

      Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

       Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.

Дроби в Древнем Риме

      Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1\12 римляне говорили «одна унция», 5\12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.

А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего применялось 18 различных названий дробей. Например, в ходу были такие названия:

“скрупулус” - 1/288 асса,

”семис”- половина асса,

“секстанс”- шестая его доля,

“семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д.

     Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция.

Дроби в Древнем Египте

      В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Египтяне ставили иероглиф  (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

     У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

     Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь  они записывали в виде ,но знак «+» не указывали. А сумму  записывали в виде . Следовательно, такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась с тех пор.

     Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа - 2/3 - у них был специальный значок. Это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби). Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом снова использовать таблицу.

Дроби в Древней Греции

  В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому «черному люду». «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать» - писал основатель афинской академии Платон.

Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Для некоторых дробей применялись отдельные обозначения, например, для 1\2 - L′′, но в целом их алфавитная нумерация с трудом позволяла обозначать дроби.

2. Старинные задачи на дроби и их решение.

     В различных книжных пособиях я нашёл интересные задачи, которые были использованы в различные исторические периоды.
                                                       Задача 1. (Китай, II век н.э.)

Дикая утка от южного     моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моя до южного моря летит 9 дней. Теперь утка и гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

1) 1:7=1/7пути утка 1 д.  

2) 1:9=1/9пути гусь 1 д.    3) 1/7+1/9=16/63 вместе
4)  1:16/63=3 15/16 дней

Ответ: через 3 15/16 дней. 

Задача 2.  (Из учебника  Магницкого Л.Ф. «Арифметика», 1703)

     Четыре плотника хотят построить дом. 1 плотник  может построить дом за год, второй- за 2 года, третий- за три года, четвёртый- за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе? Решение№2 Число 12 –делители 1, 2, 3, 4.                                                                                                       1) 12:1=12( домов) 1 плотник за 12 лет                                                                                                                                 2) 12:2=6( дом)    2 плотник  за 12 лет                                                                                                                       3) 12:3=4( дом)   3  плотник  за 12 лет                                                                                                          4) 12:4=3( дом)    4  плотник  за 12 лет                                                                                                             5) 12+6+4+3=25( домов)  вместе за  12 лет                                                                                                                        6)  12:25= 12/25( года)  1 дом  вместе.                            

Ответ: примерно  6  месяцев.

Задача 3 (Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI в.)

Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось ¼ этой суммы, на долю второго -1/7, а долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш? 

Решение: Примем выигрыш за 1.        

1) ¼+1/7=11/28(ч.) выиграли двое                  

2)1-11/28=17/28(ч.) выиграл третий

3)17/28=11/28  17 флористов есть 11/28

4)17:17*28=28(флор.)

Ответ: 28 флоринов весь выигрыш.

Задача 4. Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н.э.).

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?»   Пастух  отвечает: «Я привожу две трети от трети скота». Сочти, сколько быков в стаде?

     Решение:

1) 70:2*3=105 голов – это 1/3 от скота

2) 105*3=315 голов скота

     Ответ: 315 голов скота

Заключение.

     Цель исследования достигнута: рассмотрен вопрос об истории возникновения обыкновенных дробей, а также собраны и решены некоторые старинные задачи на применение дробей.

     Особый интерес в ходе проекта я испытала при решении старинных задач с использованием дробей. Считаю, что материал этой работы будет интересным для других учащихся. Он может быть использован как на уроке, так и для проведения внеклассных мероприятий по математике.

Список используемой литературы

1.  М. Я. Выгодский «Арифметика и алгебра в Древнем мире».

2.  Г. И. Глейзер “История математики в школе”(М. Просвещение,1964г)

3.  Г. И. Глейзер «История математики в школе».

4.  И. Я. Депман «История арифметики».

5.  А. Н. Колмогоров. Математика в её историческом развитии. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 199с.

6.  С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов. Старинные занимательные задачи.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.

7.  Д. Я. Стройк. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 198с.

8. Интернет-источники

Китайская задача.