Исследование свойств равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников.

          ГБОУ БАШКИРСКАЯ РЕСПУБЛИКАНСКАЯ

ГИМНАЗИЯ-ИНТЕРНАТ №1 ИМЕНИ РАМИ ГАРИПОВА

                                  ПРОЕКТ НА ТЕМУ:

«Исследование свойств равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников»

Проект выполнила:

Хабилова Алия

обучающаяся 11 класса

ГБОУ БРГИ №1

имени Рами Гарипова

 Руководитель:   Габдуллина Л.Т.                                                                            

                                                   Анкета

1.Муниципальное образование: Республиканское ОУ

2.Фамилия, имя, отчество участника: Хабилова Алия Ильдаровна,

3.Общеобразовательное учреждение (по Уставу): Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Башкирская республиканская гимназия-интернат №1 имени Рами Гарипова

4.Класс: 9Б

5.Домашний адрес: Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Российская, 88

6.Номинация: математика

7.Название работы: Равносторонние и равноугольные шестиугольники

8.Фамилия, имя, отчество руководителя: Габдуллина Лилия Талгатовна

Должность: учитель математики

Место работы: ГБОУ БРГИ №1 имени Рами Гарипова

Тема: Исследование свойств равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников.

Актуальность и новизна работы.  В школьных учебниках геометрии содержится очень много сведений – теорем, свойств  четырехугольников. Изучены, в том числе,   свойства следующих видов четырехугольников:

 - равносторонний четырехугольник   - ромб,

 - равноугольный четырехугольник  - прямоугольник,

 - правильный четырехугольник  - квадрат,

 - полуправильный четырехугольник – параллелограмм (у него стороны и углы равны через одного).

    Шестиугольник является одним из самых распространенных многоугольников  в окружающем нас мире, их содержат в себе кристаллические решетки  многих химических элементов. В учебниках геометрии и дополнительных источниках информации содержатся сведения  про правильный шестиугольник. Влияние на свойства шестиугольника его  равноугольность, равносторонность или же полуправильность  (равенство сторон и углов через одного) не рассмотрено, свойства изучены недостаточно,  что и вызвало актуальность данного  исследования.

       Цель работы: выявить закономерности, показывающие взаимосвязь между равенством  углов или сторон шестиугольника и его свойствами.

      Объект  исследования: стороны и углы шестиугольника.

      Предмет исследования: свойства равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников.

      Проблема и задачи. В рамках выполнения данной  исследовательской работы  решаются следующие проблемы и вытекающие из них задачи:

-  определение новых видов шестиугольников;

- изучение их свойств с помощью компьютерной программы «Живая геометрия» и доказательство;

- определение возможностей применения информационно-компьютерных технологий для открытия новых свойств геометрических фигур.

       Методы исследования:

- анализ научной и учебной литературы;

- учебный эксперимент;

- компьютерное моделирование;

- теоретический анализ.

         Основные итоги и выводы.

         Выведены следующие важные  свойства равноугольных шестиугольников:

1) Противоположные стороны параллельны.

2) Биссектрисы углов параллельны сторонам.

3) Сумма двух смежных сторон равна сумме двух противоположных смежных сторон.

4) Три средние линии пересекаются в одной точке.  

5) Середины больших диагоналей являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

             Если в шестиугольнике присутствует  равноугольность и равносторонность в каких-то комбинациях, то это становится основанием для новых свойств.

           Выведены следующие важные  свойства полуправильных шестиугольников:

1)Продолжения сторон полуправильного шестиугольника пересекаются под углом 60°.

2)Диагонали полуправильного шестиугольника равны.

3) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его углы равны между собой.

4) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его стороны равны между собой.

          Практическое значение. Результаты и выведенные свойства шестиугольников новых видов могут стать основой для дальнейшего изучения многоугольников различных видов,  помогут выяснить геометрические закономерности и соотношения между сторонами и углами многоугольников.  Полученные знания способствуют пониманию соотношения между равносторонностью и равноугольностью в шестиугольниках и подойти у изучению темы «Правильные шестиугольники» с другого ракурса.

ТЕЗИСЫ

Тема: Исследование свойств равносторонних, равноугольных, полуправильных шестиугольников.

     В школьных учебниках геометрии содержится очень много сведений – теорем, свойств  четырехугольников. Изучены, в том числе,   свойства следующих видов четырехугольников:

 - равносторонний четырехугольник   - ромб,

 - равноугольный четырехугольник  - прямоугольник,

 - правильный четырехугольник  - квадрат,

 - полуправильный четырехугольник – параллелограмм (у него стороны и углы равны через одного).

     Шестиугольник является одним из самых распространенных многоугольников  в окружающем нас мире, их содержат в себе кристаллические решетки  многих химических элементов. В учебниках геометрии и дополнительных источниках информации содержатся сведения  про правильный шестиугольник. Влияние на свойства шестиугольника его  равноугольность, равносторонность или же полуправильность  (равенство сторон и углов через одного) не рассмотрено, свойства изучены недостаточно,  что и вызвало актуальность данного  исследования.

       По итогам нашего исследования мы сделали вывод  о том, что равносторонность для шестиугольника более слабое качество, чем равноугольность,  у равностороннего шестиугольника никаких интересных свойств нет, т.е. требование равенства всех сторон слишком слабое.

       Найти свойства равноугольного шестиугольника помогла следующая конструкция: продлим стороны до пересечения через одну, получим два правильных треугольника.

        Выведены следующие важные  свойства равноугольных шестиугольников:

1) Противоположные стороны параллельны.

2) Биссектрисы углов параллельны сторонам.

3) Сумма двух смежных сторон равна сумме двух противоположных смежных сторон.

4) Три средние линии пересекаются в одной точке.  

5) Середины больших диагоналей являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

             Если в шестиугольнике присутствует  равноугольность и равностонность в каких-то комбинациях, то это становится основанием для новых свойств.

           Выведены следующие важные  свойства полуправильных шестиугольников:

1)Продолжения сторон полуправильного шестиугольника пересекаются под углом 60°.

2)Диагонали полуправильного шестиугольника равны.

3) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его углы равны между собой.

4) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его стороны равны между собой.

              Полученные знания способствуют пониманию соотношения между равносторонностью и равноугольностью в шестиугольниках и подойти у изучению темы «Правильные шестиугольники» с другого ракурса.

Содержание

     Введение…………………………………………………………….8

1. Исследование свойств равноугольных шестиугольников……..9
2. Равносторонние шестиугольники………………………………14
3. Полуправильные шестиугольники……………………………...16

Заключение…………………………………………………………20

ВВЕДЕНИЕ

     Введем три    определения для классификации многоугольников.

     Определение 1. Многоугольник называется равноугольным, если у него все углы равны.

      Примером  равноугольного четырёхугольника  является  прямоугольник. У него много интересных свойств: равны противоположные стороны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, около него можно описать окружность.  Имеются ли аналогичные или новые  свойства у равноугольного шестиугольника?  

      Определение 2. Многоугольник называется  равносторонним, если у него равны все стороны.

       Например, равносторонний четырёхугольник – это ромб. У него равны противоположные углы, диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равностороннего шестиугольника?

       Определение 3. Будем называть многоугольник с четным количеством сторон  полуправильным, если у него стороны равны через одну и углы равны через один.

        Полуправильный четырёхугольник – это параллелограмм, у него много интересных свойств, а у полуправильного шестиугольника обнаружатся ли какие-нибудь свойства?

1. Исследование свойств равноугольных шестиугольников

      Определение 1. Многоугольник называется равноугольным, если у него все углы равны.

      Примером  равноугольного четырёхугольника  является  прямоугольник. У него много интересных свойств: равны противоположные стороны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, около него можно описать окружность.  Имеются ли аналогичные или новые  свойства у равноугольного шестиугольника?  

       В ходе нашего исследования нам удалось обнаружить и доказать интересные свойства, которые мы оформили в виде задач.

Задача 1. Найти градусную меру внутреннего угла равноугольного шестиугольника.

Решение. Рассмотрим  равноугольный шестиугольник ABCDEF.

    Сумма углов внутренних углов любого выпуклого многоугольника вычисляется по формуле S=180°(n-2), где n – количество сторон многоугольника. Для шестиугольника n=6, подставим под формулу и получим:

                       S=180°(6-2)=720°

       Т.к. у равноугольного шестиугольника все углы равны, найдем внутренний угол шестиугольника: α=720° /6=120°  

Ответ: 120°

Задача 2.  Доказать, что если стороны равноугольного шестиугольника  продлевать до пересечения через одну, то получатся два правильных треугольника.

Доказательство. Рассмотрим  равноугольный шестиугольник ABCDEF.

1.Продолжим стороны  до пересечения через одну до пересечения и обозначим точки пересечения N,P,K,G,M,L (см. рис.).  Образуются треугольники MNK и LGP.

2.Рассмотрим треугольник MAF. ∠ A является смежным с внутренним углом ∠ FAB, равным 120°, значит , ∠ А =60°. Аналогично,  ∠ B = 60°.   Значит,  ∠M=180°-∠ А -∠ B =180°-60°-60°=60°.

Аналогично,  ∠N=∠P=∠K=∠G=∠ L =60°. Следовательно,  треугольники MNK и LGP равносторонние.

      Задача 3. Доказать, что противоположные стороны равноугольного шестиугольника параллельны.

  Доказательство.

 Продолжим стороны равноугольного шестиугольника ABCDEF до пересечения через одну до пересечения и обозначим точки пересечения N,P,K,G,M,L (см. рис.) и  рассмотрим четырехугольник LBPE. Так как PE-секущая для  прямых  BP и LE , а накрест лежащие углы при этом равны: ∠BPE =∠PEK = 60°, то прямые, а значит, и стороны BP и LE параллельны между собой.

     Аналогично, AB параллельна ED, СD параллельна AF. 

    Таким образом, противоположные стороны равноугольного шестиугольника параллельны.

Задача 4. Доказать, что биссектрисы внутренних углов равноугольного шестиугольника углов параллельны его сторонам.

Доказательство. Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF, проведем биссектрисы  углов шестиугольника. Рассмотрим биссектрису BE  и сторону СD. Накрест лежащие при прямых  BE , CD и секущей DE углы  равны ∠FED = ∠DEL= 60°, то   биссектриса BE  параллельна  стороне СD.  

       Аналогично, сторона  BC параллельна биссектрисе AD, сторона AB параллельна биссектрисе FС, сторона AF  параллельна биссектрисе BE, сторона FE параллельна биссектрисе AD, сторона ED параллельна биссектрисе FC.

Задача 5.  Доказать что сумма длин двух смежных сторон равноугольного шестиугольника равна сумме двух противоположных смежных сторон

Доказательство. Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF.

1. Рассмотрим треугольники CPD и MAF, они равносторонние. Пусть стороны CP= СD=DP =y, AF=MA=MF =a (стороны треугольников равны), BC =x, FE =b.
2. Рассмотрим параллелограмм MBPE. Найдем  стороны параллелограмма:

 BP=BC+CP=BC+CD=x+y,

ME= MF+FE=AF+FE=a+b.

Так как стороны BP и ME- противолежащие стороны параллелограмма, то они равны, значит, x+y=a+b. Следовательно, BC+CD=AF+FE. Что и требовалось доказать.

Задача 6.  Доказать, что три средние линии равноугольного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:  Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF.

Проведем медианы с вершин N  и G треугольников MNK, LGP. Рассмотрим треугольник MON, проведем среднюю линию JQ, следовательно, JQ параллельна MN. Рассмотрим треугольник MNK, проведем среднюю линию HW, значит MN параллельна HW. JQ=1/2 MN, HW=1/2 MN. Следовательно, JQ=HW и JQWH-параллелограмм. В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам, значит, в шестиугольнике ABCDEF-средние линии пересекаются в одной точке.

    Задача 7. Доказать, что середины больших диагоналей равноугольного шестиугольника являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

Доказательство. Рассмотрим равноугольный шестиугольник ABCDEF

1. Проведем большие диагонали BE и CF, пусть O-середина CF, O2- середина AD, O3-середина BE. Четырехугольник FBCE является трапецией, так как FC параллельна FE  (по доказанному). O1 и O3 являются серединами ее диагоналей.
2. Известно свойство: отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности. Тогда O1O3 параллелен сторонам трапеции BC и FE. Аналогично, O1O2  параллелен основаниям AF и CD трапеции AFDC;   O2O3 паралеллен основаниям AB и DE трапеции ABDE
3. Итак, доказано, что стороны треугольника O1O2O3 параллельны сторонам шестиугольника. Так как O1O3 параллельна BC, а O2O3 параллельна DE, то угол между сторонами O1O3  и O2O3 равен углу между прямыми BC и DE, то есть равен 60 ° (по доказанному). Аналогично доказываем, что углы между O1O3 и O1O2   так же равны 60 °, тогда он равносторонний. Что и требовалось доказать. 

• Следствие 1. Каждая сторона треугольника O1O2O3  равна полуразности сторон равноугольного шестиугольника, параллельных этой стороне .
• Следствие 2. Если противолежащие стороны равноугольного шестиугольника равны, то все большие диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам.

            Изготовление равноугольного шестиугольника.

      Надо взять два равносторонних треугольника и наложить их так, чтобы каждая сторона одного треугольника пересекала две стороны другого, при этом прямая проходящая через эти точки пересечения должна быть параллельной оставшейся (третьей) стороне. Соединяя шесть полученных точек, получим равноугольный шестиугольник.

           2.Равносторонние шестиугольники

Попробуем изобразить равносторонние шестиугольники , каждая сторона которой равна 2 см.

     У нас получились: правильный шестиугольник, невыпуклый шестиугольник, «конфета»-состоит из квадрата и двух равносторонних треугольников.

      Мы увидели, что  таких шестиугольников существует множество. Мы провели небольшой эксперимент. Перечислим его этапы.

1.Возьмем кусок гибкой проволоки и сделаем на нем 5 насечек через равные отрезки.

2.Соединим два конца и будем сгибать по насечкам так, чтобы получилось замкнутая ломаная.

3. У нас будут получаться шестиугольники с равными сторонами, причем их можно смоделировать бесконечно множество.

       Наши попытки найти интересные свойства не увенчались успехом, каждый раз получался равносторонний многоугольник, который опровергал гипотезу.

        Вывод: равносторонность шестиугольника без равноугольности не является основой для новых свойств шестиугольников.

3.Полуправильные шестиугольники

      В предыдущих двух частях равноугольность и равносторонность рассматривались по отдельности. Попробуем совместить в шестиугольнике эти качества не традиционным способом, а через один, получим новый вид шестиугольника. Сформулируем его определение и проведем исследование свойств.

        Определение. Будем называть многоугольник с четным количеством сторон  полуправильным, если у него стороны равны через одну и углы равны через один.

        Полуправильный четырёхугольник – это параллелограмм, у него много интересных свойств, а у полуправильного шестиугольника обнаружатся ли какие-нибудь свойства?

       В ходе нашего исследования нам удалось обнаружить и доказать интересные свойства, которые мы оформили в виде задач.

Задача 1. Доказать, что продолжения сторон полуправильного шестиугольника пересекаются под углом 60° .

Доказательство. Рассмотрим полуправильный шестиугольник ABCDEF , пусть  ∠А=∠ С=∠ Е= α,    ∠ В=∠ D=∠  Е= β,

     AB=CD=EF=x,

     BC=DE=AF=y.

    Так как сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна 720°, то 3α+3β=720°,  α + β=240°.  Итак, сумма двух соседних углов полуправильного шестиугольника равна 240°.

      Продолжим стороны до пересечения. Пусть BC пересекает СD в точке Р, CD и FE в точке М, DE и  AF в точке К, FE и AF  в точке R, AF и BC в точке L, AB и CD в точке S.

Рассмотрим треугольник CPD:

∠PCD=180°-α, ∠CDP=180°-β.

∠CPD=180°-∠PCD- ∠CDP=180°-(180°-α)-(180°-β)= 180°-180°+α-180°+β=(α+β)- 180°=240°-180°=60°

Аналогично доказываем, что  ∠M=∠K=∠R=∠L=∠S=60°

Что и требовалось доказать.

Следствие:  Треугольники PKL  и MRS-равносторонние.

     Далее будем выяснять имеются ли в полуправильном шестиугольнике свойства, аналогичные свойствам параллелограмма.

      У параллелограмма диагонали пересекаются и делятся пополам. А как соотносятся диагонали полуправильного шестиугольника? Наше исследование средствами программы «Живая геометрия» показало, что они равны. Сформулируем и докажем это свойство.

Задача 2. Доказать, что диагонали полуправильного шестиугольника равны.

Доказательство: 1) Рассмотрим полуправильный шестиугольник ABCDEF (см рис. Задачи 1),  пусть CP=a, PD=B, ▲CPD=▲EKF=▲ALB(по стороне и прилежащим к ней двум углам), значит, CP=EK=AL=a

PD=FK=LB=b.

2) Рассмотрим ▲BPE и ▲DKA:

∠P=∠K=60°, BP=DK=y+a,

PE=KF=y+b, значит, ▲BPE=▲DKA (по двум сторонам и углу между ними), тогда BE=AD.

3)Аналогично, из равенств ▲BPE и ▲FLC  следует  FC=BE. Итак, FC=BE=AD, т.е. большие диагонали полуправильного шестиугольника равны. Что и требовалось доказать.

        У вписанного в окружность  параллелограмма углы равны и диагонали равны. У описанного параллелограмма стороны равны и диагонали взаимно перпендикулярны. Какие из этих свойств есть у полуправильных шестиугольников?

       Задача 3. Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его углы равны между собой.

  Доказательство. Рассмотрим полуправильный шестиугольник ABCDEF  около которого описана окружность.      Пусть О - центр описанной окружности. Тогда:      ОA=ОB=ОC=ОD=ОE=ОF=R. Тогда все шесть полученных треугольников равнобедренные и  равны через один:

▲ОАВ=▲OCD=▲OFE (по трем сторонам),  ▲OBC=▲ODE=▲OFA  (по трем сторонам). Пусть α- угол при основании первой тройки равных равнобедренных треугольников, а β - угол при основании второй тройки равных равнобедренных треугольников. Тогда все шесть внутренних углов шестиугольника равны  (α+ β), т.е. равны между собой. Что и требовалось доказать.

Задача 4. Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его стороны равны между собой.

       Доказательство. Рассмотрим полуправильный шестиугольник ABCDEF  в который вписана окружность. Пусть  О - центр вписанной окружности, тогда точка О равноудалена от сторон внутренних углов шестиугольника, т.е. является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Проведем перпендикуляры OH, OK,OM,ON,OH,OS к сторонам шестиугольника, они равны как радиус вписанной окружности (см. рис.).

▲OAH=▲OAS=▲OCK=▲OCM=▲OEN=▲OEP  (по катету и острому углу), тогда AH=AS=CK=CM=EN=EP=а.

▲OBH=▲OBK=▲ODN=▲ODM=▲OFP=▲OFS (по катету и острому углу), тогда BH=BK=DN=DM=FP=FS=b.

Значит, AB=CD=EF=BC=DE=AF=a+b. Тогда равноугольный шестиугольник является равносторонним.

Заключение

        По итогам нашего исследования мы сделали вывод  о том, что равносторонность для шестиугольника более слабое качество, чем равноугольность,  у равностороннего шестиугольника никаких интересных свойств нет, т.е. требование равенства всех сторон слишком слабое.

       Найти свойства равноугольного шестиугольника помогла следующая конструкция: продлим стороны до пересечения через одну, получим два правильных треугольника.

        Выведены следующие важные  свойства равноугольных шестиугольников:

1) Противоположные стороны параллельны.

2) Биссектрисы углов параллельны сторонам.

3) Сумма двух смежных сторон равна сумме двух противоположных смежных сторон.

4) Три средние линии пересекаются в одной точке.  

5) Середины больших диагоналей являются вершинами равностороннего треугольника, а его стороны параллельны сторонам шестиугольника.

             Если в шестиугольнике присутствует  равноугольность и равностонность в каких-то комбинациях, то это становится основанием для новых свойств.

           Выведены следующие важные  свойства полуправильных шестиугольников:

1)Продолжения сторон полуправильного шестиугольника пересекаются под углом 60°.

2)Диагонали полуправильного шестиугольника равны.

3) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его углы равны между собой.

4) Если около полуправильного шестиугольника можно описать окружность, то его стороны равны между собой.

              Полученные знания способствуют пониманию соотношения между равносторонностью и равноугольностью в шестиугольниках и подойти у изучению темы «Правильные шестиугольники» с другого ракурса.

              Список литературы

1. А.Б. Скопенков. «Размышления об исследовательских задачах для школьников» / Мат. Просвещение. 2008. № 12.
2. А.И. Сгибнев. «Что такое исследовательская работа школьника по математике?» http://www.mccme.ru/nir/uir/vern.pdf
3. В.И. Арнольд «Задачи для детей от 5 до 15 лет». М., МЦНМО, 2004.
4. Д.Э. Шноль, А.И. Сгибнев, Н.М. Нетрусова «Система открытых задач по геометрии. 7 класс. 8 класс.» М., Чистые пруды, 2009