Числа, которые изменили мир

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза Виктора Степановича Юдина с. Новый Буян муниципального района Красноярский Самарской области

ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

ОБУЧАЮЩИХСЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ

 СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО УПРАВЛЕНИЯ МИНИСТЕРСТВА ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

2020/2021 УЧЕБНЫЙ ГОД

Секция «Математика и технические науки»

Предметное отделение: Математика

Тема: Числа, которые изменили мир

Никифоров Данила Иванович,

Класс: 8

Руководитель:

Оздоева Елена Николаевна, учитель математики высшей квалификационной категории

        с. Новый Буян, 2021 год        

Аннотация

Цель данного исследования – знакомство с комплексными числами, выяснение, как же они появились, и как производятся элементарные действия над ними. Для достижения цели и решения поставленных задач были использованы следующие методы: поисковый, анализ и синтез, обобщение и систематизация.

Предметом исследования выступают арифметические действия на множестве комплексных чисел. В ходе работы выяснилось, что комплексные числа являются расширением понятия числа в вопросе возможности извлечения квадратного корня из любого числа. В алгебраической форме действия над ними производятся достаточно просто. Применение их достаточно широко. С развитием компьютерных технологий необходимость знания комплексных чисел возросла. Теперь мир сложно представить без этих чисел.

Список ключевых слов

Мнимая единица, комплексные числа, квадратные корни, квадратные уравнения.

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………..4

Глава 1. Комплексные числа: понятие и история возникновения ….5

1. История появления комплексных чисел …………………………...5
2. Понятие комплексного числа ……………………………………….5
3. Применение комплексных чисел …………………………….……..8

Глава 2. Решение задач на множестве комплексных чисел ………....10

Заключение………………………………………………………………….13

Библиографический список …………………………………...………....14

Введение

Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Изучив на уроках алгебры квадратные корни и решая квадратные уравнения, я заинтересовался вопросом: а может все-таки существуют такие числа, квадрат которых равен отрицательному числу? Ведь когда-то люди не знали, как вычислить диагональ квадрата со стороной, равной 1, и так пришли к понятию иррационального числа. Может быть множеством действительных чисел понятие числа не ограничивается? Я слышал от учителя о так называемых комплексных числах и решил во всем разобраться.

Итак, цель моего исследования – знакомство с комплексными числами, выяснение причины их появления и как производить элементарные действия над ними.

Задачи:

1. изучить литературу по данной теме;

2. разобраться как выполняются действия с комплексными числами;

3. рассмотреть область применения комплексных чисел.

Объектом исследования выступает множество комплексных чисел, предметом – действия с комплексными числами.

Гипотеза – множество комплексных чисел есть модель, позволяющая решать задачи, которые неразрешимы на множестве действительных чисел.

Методы исследования: поисковый, анализ и синтез, обобщение и систематизация.

Актуальность данного исследования, его теоретическая и практическая значимость заключается в том, что комплексные числа появляются в школьной программе по математике профильного уровня и в перспективе задания с этими числами выйдут на итоговую аттестацию.

Глава 1. Комплексные числа: понятие и история возникновения

1. История появления комплексных чисел

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Со временем стали складываться представления о бесконечности множества натуральных чисел. Наряду с натуральными числами широко применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчётах дроби применялись уже за 2000 лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом».

Сильнейший удар по этому взгляду был нанесён открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Можно смело утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

В средние века математики с трудом принимали отрицательные и иррациональные числа. Им стало еще хуже, когда ученые совершили новое открытие, значение которого осознали далеко не сразу, - комплексные числа. Новые числа возникли, когда математики распространили операцию извлечения квадратного корня на любые числа.

Первое упоминание о комплексных числах появилось в 16 веке. Первым, кто затронул в своих работах комплексные числа, был итальянский математик Джероламо Кардано. Джероламо отметил, что при вычислении корней кубических уравнений, иногда приходится находить корень из отрицательного значения. Но Кардано не придал этому факту особого внимания. По достоинству оценил комплексные числа итальянский математик Рафаэль Бомбелли. Как раз он первым ввел простейшие правила действий с комплексными числами. Мнимая единица i была введена Леонардом Эйлером, а Джон Валлис в своем «Трактате об алгебре» в 1685 году предложил первую геометрическую интерпретацию комплексных чисел.

2. Понятие комплексного числа

Введем сначала понятие мнимого числа.

Определение. Число, квадрат которого равняется , называется мнимой единицей. Мнимая единица обозначается символом  Как следует из определения, мнимая единица удовлетворяет условию .

Числа, которые имеют вид , где  вещественное (действительное) число, называют мнимыми числами.

Комплексным числом называется число вида a + bi, где a, b - действительные числа, i - мнимая единица. Число a называется действительной частью комплексного числа, число b - его мнимой частью.

Комплексные числа обычно обозначают одной буквой, чаще всего используют букву .

Комплексное число есть упорядоченная пара действительных чисел , геометрически изображается точкой на плоскости, где ось Ох называется действительной осью (Re z), а ось Оу – мнимой осью (Im z).

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е.

Комплексное число  называется противоположным комплексному числу .

Два комплексных числа называются сопряженными, еcли они отличаются знаком мнимой части: . Обозначение: .

Модулем комплексного числа называется неотрицательное число , определяемое формулой .

Формы представления комплексных чисел:

- алгебраическая  ;

- геометрическая ;

- тригонометрическая ;

- показательная .

Мы рассмотрим пока только алгебраическую форму комплексного числа и покажем, как производятся действия с ними.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме:

• чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные и мнимые части:

• при вычитании комплексных чисел, вычитаются их действительные и мнимые части:

• произведением комплексных чисел  называется комплексное число

• при делении комплексных чисел, числитель и знаменатель дроби нужно домножить на комплексное число, сопряженное знаменателю.

Примеры.

1. Преобразуем выражения, пользуясь понятием мнимой единицы:

а)

б)

2. Вычислить:

а)

Решение:

б)

Решение:

в)

Решение:

г)

Решение:

д)

Решение:

3. Решить уравнение: .

Решение:

а) на множестве действительных чисел

Ответ: решений нет

б) на множестве комплексных чисел

Ответ:

4. Решить квадратное уравнение:

Решение:

Ответ:

Замечание: Следует обратить внимание на то, что на множестве комплексных чисел квадратное уравнение с действительными коэффициентами всегда имеет два корня. Если дискриминант , то корнями являются действительные разные числа; если , то корнями являются действительные равные числа; если , то корнями являются комплексно-сопряженные числа.

3. Применение комплексных чисел

Начиная с 19 века применение комплексных чисел возросло. Софья Ковалевская решила, используя теорию функции комплексного переменного, задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки.

Русский ученый в области механики, основоположник современной гидродинамики Н.Е. Жуковский, вывел формулу для определения подъемной силы крыла, которая теперь носит его имя. С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полет ракет и самолетов, можно описать структуру фракталов, которые являются одним из мощных приложений в компьютерной графике.

Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники. Сейчас комплексные числа активно применяются в информатике, динамике, электромеханике, радиотехнике, алгебре векторов, теории упругости, активно развиваются в других науках. Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел.

Глава 2. Решение задач на множестве комплексных чисел

Рассмотрим некоторые задачи, связанные с преобразованиями выражений и решением уравнений на множестве комплексных чисел.

Задание 1. Выполнить действия:

1)

Решение:

Ответ:

2)

Решение:

Ответ:

3)  

Решение:

Ответ:

4)  

Решение:

Ответ:

5)  

Решение:

Ответ:

Задание 2. Решить уравнения:

1)  

Решение:

Ответ:

2)  

Решение:

Ответ:

3)  

Решение:

Ответ:

4)  

Решение:

Ответ:

5)  

Решение:

Ответ:

Задание 3. Найти действительные числа  и  из условия равенства комплексных чисел:

1)  

Решение: Заданное уравнение можно рассматривать как равенство двух комплексных чисел:

Исходя из определения равенства комплексных чисел, получим систему уравнений:

Ответ:

2)  

Решение:

Исходя из определения равенства комплексных чисел, получим систему уравнений:

Ответ:

Заключение

Итак, я выяснил, почему появились комплексные числа. С их помощью действительно можно решать различные задачи, которые неразрешимы на множестве действительных чисел.

 Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счёта предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания - к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел - к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако, остались невыполнимые на этом множестве операции, например, извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятий числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

В своей работе я пока рассмотрел только алгебраическую форму записи комплексного числа и действия, производимые с ними. Изучив основные понятия тригонометрии и показательной функции, я планирую разобраться, как выполняют действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической и показательной формах. Умения работать с комплексными числами очень важно, ведь их применение очень широко.

Библиографический список

1. Бомуллоев Ш.З., Журавлев В.А. Комплексные числа в жизни человека. Современное состояние и проблемы естественных наук: сборник трудов II Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. – Томск: Изд-во ТПУ, 2015. – с. 264-266
2. Гусев И.Е. Математика. Серия «Увлекательная наука». – М.: Издательство АСТ, 2017. – 160 с.
3. Калиновская О.В. Комплексные числа. Методическое пособие для студентов 1 курса Волховского политехнического техникума. –  Волхов, 2020
4. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». – М.: «Наука», 2000. – 256 с.

Интернет-ресурсы

https://habr.com/ru/post/246747/ – Откуда пошло комплексное число

https://zen.yandex.ru/media/just_science_chanel/chisla-kotorye-izmenili-mir-mnimaia-edinica-5bfed55aae14d30aaa386193 – Числа, которые изменили мир. Мнимая единица

https://elementy.ru/posters/fractals/complex_numbers – Комплексные числа