Полезные приложения среднего арифметического

Опубликовано Рогачева Наталья Владиславовна вкл 14.02.2021 - 16:37

Автор:

Щедрова Наталья

В работе определена разница понятий "простое среднее арифметические" и "взвешенное среднее арифметическое", разобраны свойства среднего арифметического, проанализирована взаимосвязь понятия "треугольник" и среднего арифметического. Показана практическая значимость всех приложений среднего арифметического.

Скачать:

Вложение	Размер
rabota_shchedrovoy_natali.docx	337.19 КБ

Предварительный просмотр:

Тема исследовательской работы

« Полезные приложения среднего арифметического»

Автор: Щедрова Наталья Сергеевна

Россия, Калужская область., Людиновский район, село Букань

МКОУ Букановская средняя школа, 9 класс

Аннотация

Цель работы: изучить полезные приложения понятия среднего арифметического и показать

Объект исследования: понятие среднего арифметического

Предмет исследования: полезные приложения среднего арифметического

Задачи:

Изучить теорию по теме среднее арифметическое
Выяснить разницу в понятиях «Простое среднее арифметическое» и «взвешенное среднее арифметическое»
Определить взаимосвязь фигуры «треугольник» с понятием «среднее арифметическое»
Рассмотреть свойства среднего арифметического
Показать практическую значимость всех полезных приложений при решении задач
Сделать выводы

Гипотеза исследования: полезные приложения среднего арифметического находят широкое применение при решении математических задач.

Методы исследования:

поисковый

аналитический

описательный

Вывод:

Работа по данному исследованию помогла мне упорядочить и систематизировать имеющие у меня знания по этой теме, и конечно, приобрести новые знания и новый опыт. Понятие среднего арифметического гораздо глубже, чем кажется на первый взгляд. Знание всех его практических приложений предполагает широкий спектр их применения при решении задач в разных разделах математики.

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЗАОЧНЫЙ КОНКУРС

«ЮНОСТЬ. НАУКА. КУЛЬТУРА»

Секция математика

Полезные приложения

Среднего арифметического

-2019-

Содержание

Введение……………………………………………………………………….4

Часть I

Среднее арифметическое. Среднее взвешенное…………………………….5

Свойства среднего арифметического………………………………………..6

Среднее арифметическое в геометрии………………………………………7.

Понятие разностного треугольника. Его свойства…………………………8

Часть II

Решение задач…………………………………………………………………10

Заключение……………………………………………………………………16

Список используемых источников…………………………………………..17

Введение

Понятие среднего арифметического я проходила в пятом классе. У меня тогда еще мелькнула мысль. « Как все легко и просто». Но с каждым последующим годом обучения моя уверенность в этом постепенно уменьшалась. На уроках иногда слышала: «Опираясь на свойства среднего арифметического….», «Используя геометрическую интерпретацию среднего арифметического….», «Не путайте понятия среднего и средневзвешенного». Именно эти слова подтолкнули меня к данному исследованию. Я поняла, что среднее арифметическое совсем не такое простое понятие, каким кажется на первый взгляд. И тогда я решила разобраться в этом детально, т.е. «разложить все по полочкам», выяснить какие теоретические аспекты по данной теме имеют наибольшую практическую значимость.

Цель работы: изучить полезные приложения понятия среднего арифметического и показать их применение в решении математических задач.

Задачи:

Изучить теорию по теме среднее арифметическое
Выяснить разницу в понятиях «Простое среднее арифметическое» и «взвешенное среднее арифметическое»
Определить взаимосвязь фигуры «треугольник» с понятием «среднее арифметическое»
Рассмотреть свойства среднего арифметического
Показать практическую значимость всех полезных приложений при решении задач
Сделать выводы

Объект исследования: среднее арифметическое

Предмет исследования: полезные приложения среднего арифметического

Обоснование выбора темы:

В учебнике недостаточно материала о средней арифметической величине. К тому же, вся имеющаяся по данной теме информация не систематизирована, разбросана по различным источникам. Хотелось бы более основательно разобраться в данном вопросе с целью его практического применения.

Актуальность исследования обусловлена ежегодным усложнением заданий итоговой аттестации по математике, что требует более углубленных знаний.

Среднее арифметическое. Среднее взвешенное.

Среднее арифметическое входит в категорию классических средних, составленных для двух положительных чисел.

Классическими средними значениями для двух положительных чисел а и Ь принято считать: — среднее арифметическое

Определение среднего арифметического обобщается для n чисел:

В одном из древнегреческих текстов, который приписывают древнегреческому математику Архиту (примерно 428—365 гг. до нашей эры), среднее арифметическое m определялось как равные члены арифметической, «пропорций»: а – m =m – b

Немного позднее, когда математики заинтересовались бесконечными рядами чисел, были выделены ряды чисел, в которых каждый член, начиная со второго был равен одной из средних величин двух соседних членов. В случае, если это среднее было арифметическим, такие ряды стали называть арифметическими прогрессиями.

ПРИМЕРЫ

Скорость движения по озеру — среднее арифметическое скоростей по течению и против течения,

Vпо = Vс + Vт Vпр = Vс + Vт (Vпо + Vпр )/2 = Vс

Это речь шла о простом среднем арифметическом. Существует взвешенное среднее арифметическое, которое от средней арифметической простой отличается лишь способом расчета, но не сутью и интерпретацией. Оно первоначально появилось в математике из рассмотрения некоторых физических процессов, а сейчас находит широкое применение в математической статистике и экономике.

Если привезено п сортов конфет с массами m1 m2 mn и ценами с1, с2, сn соответственно, то цена 1 кг смеси может быть найдена по формуле

т.е. c - это среднее взвешенное.

Вычисление средней скорости Vср. есть не среднее арифметическое скоростей, а их взвешенное среднее арифметическое!

если массы исходных сплавов равны m1 m2 , а процентное содержание в них меди равно р1% и Р2 0/о соответственно, то процентное содержание меди в новом сплаве равно т.е. — является взвешенным средним арифметическим.

Свойства среднего арифметического

если к каждому из чисел некоторого набора прибавить одно и то же число, то среднее арифметическое нового набора чисел получится из среднего арифметического исходного набора прибавлением этого же числа.
если каждое из чисел некоторого набора умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то среднее арифметическое нового набора чисел получится из среднего арифметического исходного набора умножением на это же число.
если в набор из нескольких чисел добавить число, большее их среднего арифметического, то среднее арифметическое нового набора будет больше, Если в набор из нескольких чисел добавить число, меньшее среднего арифметического, то среднее арифметическое нового набора будет меньше.
среднее арифметическое любого набора чисел, среди которых есть различные, больше, чем наименьшее число этого набора, но меньше, чем наибольшее.
если в набор чисел добавить число, равное среднему арифметическому этого набора, то среднее арифметическое новой группы будет равно среднему арифметическому начальной группы.

Среднее арифметическое в геометрии

Рассмотрим случаи появления среднего арифметического в геометрии.

1) На одной прямой последовательно отложены отрезки АО и DB с длинами а и Ь соответственно и построена полуокружность с диаметром АВ = а + Ь. Из точки D восставлен перпендикуляр к АВ до пересечения с полуокружностью в точке С. Затем проведены радиус ОС полуокружности и перпендикуляр DM к этому радиусу. Выполнив чертёж, найдем на нём отрезок, длина которого равна среднему арифметическому.

ОС =R = ½ АВ=(а+в)/2, т.е. ОС(радиус) - есть среднее арифметическое

2) Рассмотрим трапецию, основания которой имеют длины а и Ь. Найдем на ней отрезок, длина которого равна среднему арифметическому. Проведём в трапеции среднюю линию МК , тогда МК пусть G – точка пересечения луча ВК с прямой АО, тогда ∆ВСК =∆ ДОК (по стороне и двум прилежащим углам), поэтому ВС = GD и ВК = КG Следовательно, МК — средняя линия треугольника ABG, значит,

МК ǁ АD и МК = 1/2 AG = ½ (АD + DG) = ½ (АD +ВС).

Разностный треугольник и его свойства

Термин «разностный треугольник» ввел И. А. Кушнир. Треугольник, одна из сторон которого является средним арифметическим двух других, называется разностным (иначе говоря, разностным треугольником называется треугольник, стороны которого составляют арифметическую прогрессию. Например, равносторонний треугольник.

Используемые обозначения:

треугольник АВС (ВС= а, АС= Ь, АВ = с); Пусть О и r — центр и радиус вписанной окружности этого треугольника, hb — высота треугольника, проведённая из вершины В; S— точка пересечения луча BO и описанной окружности треугольника АВС, т.е.

Если АВС — разностный треугольник, то b

Для доказательства свойств разностного треугольника необходимо знать, так называемую, теорему о «трилистнике».

В любом треугольнике АВС выполняется равенство SA = SC = SO

1)Так как биссектриса делит угол B на равные углы ABS и SBC, то и дуги AS и SC, на которые опираются эти углы, равны, а значит, и хорды AS и SC равны, т.е. SA = SC(1)

2)Обозначим углы: <ВАС=α <АВС= β, тогда <ОАВ= α/2, <ОВА= β/2. <АОS – внешний для треугольника АОВ, значит < АОS = α/2 + β/2. Кроме того,

3) Из (1) и (2) следует SA = SC = SO

Из данной теоремы вытекают два важных утверждения:

точка S является центром окружности, описанной около треугольника AOС
на этой же окружности лежит центр О1 вневписанной окружности треугольника АВС, касающейся стороны АС (так как О1 — точка пересечения луча BО и биссектрисы внешнего угла А треугольника АВС, которая перпендикулярна АО).

Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности (в отличие от единственной вписанной).

Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.

Cвойства разностного треугольника.

В разностном треугольнике АВС ВО = ОS

Доказательство: Опустим из точки О перпендикуляр ОN на сторону ВС, а из точки S — перпендикуляр SK на сторону АС.

Так как N — точка касания стороны треугольника и вписанной окружности, BN = р - b =1/2b = AK. Кроме того . Тогда ∆BON = ∆ASK (по катету и острому углу), следовательно BO = AO

2) В разностном треугольнике АВС r = 1/3 hb

Доказательство: r = S/P = bhb / (a+b+c) = bhb / 3b = 1/3 hb

Практическая часть

Во второй части своей работы я рассмотрю задачи, решения которых основываются на различных приложениях среднего арифметического.

Используемое приложение среднего арифметического

Условие задачи

Решение задачи

Среднее арифметическое

1.Из команды ушёл баскетболист ростом 192 см, при этом средний рост команды не изменился. Чему он мог быть равен?

Пусть в команде было п баскетболистов, а их суммарный рост был равен S, тогда средний рост команды был равен S/n. После ухода игрока суммарный рост стал равен (S – 192)/(n-1), значит, средний рост равен Так как средний рост команды не изменился, то. Решая это уравнение, получим S*n - 192*n = S*n - S, то есть S/n = 192.

Ответ: 192

2. Говорят, что средний доход 10% самых богатых жителей города в 15 раз превосходит средний доход всех жителей этого города. Докажите, что это выдумки.

Пусть в городе n жителей со средним доходом х, тогда суммарный доход всех жителей города равен п*х. Если десятая часть жителей города имеет средний доход 15х, то их суммарный доход равен

0,1n • 15х =1,5пх, то есть больше, чем суммарный доход всех жителей, а это невозможно.

Ответ: нет, не следует.

3. Тринадцать индюшат клевали зерно. Первый индюшонок склевал 40 зёрен; второй — 60, каждый следующий — среднее арифметическое зёрен, склёванных всеми предыдущими индюшатами. Сколько зерён склевал тринадцатый индюшонок?

Третий индюшонок склевал

(40 + 60) : 2 50 (зёрен).

Четвёртый склевал (40 + 60 + 50) : З = 50 (зёрен), и так далее, то есть последний также склевал 50 зёрен.

Ответ 50 зерен

Взвешенное среднее арифметическое

4. Смешали четыре раствора, содержание соли в которых составляло 10% , 20%, 30% и 40% . При этом в одну ёмкость было слито 10г первого раствора, 20г второго, 30г третьего и 40г четвёртого. Каково процентное содержание соли в полученном растворе?

Искомая величина равна суммарной массе всей соли, делённой на массу полученного раствора и умноженной на 100%

• 10+ 20 + 30 + 40

100% = 30%

(то есть взвешенное среднее арифметическое 10% , 20% , 30% и 40%).

Ответ: 30 % .

5. Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых он выставляет испытуемому средний балл. Закончив отвечать, Джон понял, что если бы он получил за последний тест 97 баллов, то его средний балл составил бы 90, а если бы он получил за последний тест всего 73 балла, то его средний балл составил бы 87. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

Пусть количество тестов в серии равно n, тогда сумма баллов, набранных Джоном в первом случае, равна 90n, а во втором случае эта сумма равна 87n. Разница в сумме баллов возникает из-за результата последнего теста, поэтому 90n- 87n= 97 - 73. Таким образом, n= 8.

Ответ: 8 тестов.

Свойства среднего арифметического

6. По окружности расставлены 100 чисел так, что каждое из них равно среднему арифметическому двух своих соседей. Докажите, что все числа между собой равны.

Предположим, что это не так, тогда среди этих ста чисел есть наименьшее число а (возможно, что не единственное). Пусть Ь и с — числа, соседние с а, тогда

a. Так как Ь с или

с Ь,

то либо одно из чисел Ь или с меньше, чем а, либо Ь с а. Первый случай противоречит нашему предположению, значит, эти три числа равны. Проведя аналогичное рассуждение для чисел Ь и с, получим, что соседние с ними числа также равны а, и так далее, пока не рассмотрим все данные числа.

7. На сколько уменьшится средний возраст команды из 11 футболистов, если закончившего выступление 32-летнего игрока заменит игрок в возрасте 21 год?

Пусть S — сумма возрастов футболистов, тогда средний возраст команды был равен S/11 лет, а стал равен ( S-11)/ 11 = S/11 лет , т.е. на 1 год.

Ответ: на один год.

Среднее арифметическое в трапеции

8. На луче с началом D отложены отрезки DA= а и DB = b, где а < b. Затем проведены окружность с диаметром АВ и касательная DP к этой окружности.

а) Выполнив чертёж и проведя дополнительные построения, найдите отрезок, длина которого равна среднему арифметическому чисел а и b

Пусть О — середина отрезка АВ,

ОМ радиус окружности, перпендикулярный АВ, С — основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на прямую АВ

1) DO = DA + AO =( a + b)/2 = (a + b)/ 2

9. Две окружности с диаметрами а и Ь касаются внешним образом. О и О1 - центры данных окружностей. Докажите, что отрезок ОО1 есть среднее арифметическое для а и b

Пусть АВ — общая касательная к окружностям с центрами О1 и О2, которые касаются в точке К (рис. 7). Тогда О1АВО2 — прямоугольная трапеция,

О1 А = а/2, О2 В =b/2, О1 О2 = О1 А + О2 В =

= (а + b)/2

Понятие разностного треугольника

10. Докажите, что треугольник АВС является разностным тогда и только тогда, когда:

а) прямая IM, где М -центр тяжести треугольника, параллельна стороне АС;

б) сторона АС пересекает отрезок IW в его середине;

в) середина стороны и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой же стороны и вписанной окружности;

г) высота треугольника равна радиусу вневписанной окружности, касающейся той стороны, к которой проведена высота;

$C:\Users\Наталья\Desktop\классические средние.bmp$

Рис. 8

а)Пусть прямая IM пересекает высоту ВЕ треугольника АВС в точке Р; L — основание биссектрисы, проведённой из вершины В, D — основание перпендикуляра, опущенного из точки I на сторону АС

а)Если в треугольнике

тогда из подобия треугольников LID и LBE получим, что IL=1/3BL. Учитывая, что МК =1/3ВК, получим, что IMǁǁАС. Обратно, если IMǁǁАС, то r = ID = РЕ = 1/3 ВЕ = 1/3hb, так как МК =1/3ВК. Таким образом, треугольник АВС — разностный.

б) Если b=(a+c)/2 , то КW = IN = r = ID, поэтому, ∆AWLK = ∆ILD (по катету и острому углу), следовательно, IL = LW. Обратно, из равенства этих же треугольников по гипотенузе и острому углу следует, что КW =ID = r = IN. Тогда ∆BIN=∆AWK (по катету и острому углу), следовательно, BI=AW=IW, то есть треугольник АВС — разностный.

в) Если b=(a+c)/2 то IL = LW=1/2BI. Следовательно, KL = DL (из равенства прямоугольных треугольников WKL и IDL) и LD/DE=LI/IB=1/2 (по теореме о пропорциональных отрезках). Значит, DK=DE, что и требовалось.

Обратно, пусть D — середина отрезка КЕ, тогда спроектируем точки К, D и Е на касательную к описанной окружности в точке W(см. рис. 8). Так как ID' ǁǁ ВЕ', для их проекций — точекW, D' и Е' соответственно выполняется равенство D'W=D'E'. Значит, точка I — середина отрезка ВW, то есть треугольник АВС — разностный.

г) Вычислим площадь данного треугольника двумя способами: S=1/2bhb и S=(р-b)rb,. Следовательно, bhb(а + с -b) rb. Тогда если hb = rb, то b = (a+c)/2 , то есть треугольник — разностный; обратно, если b = (a+c)/2 , то

h b = rb

Заключение

Выполнив данную работу, я пришла к следующим выводам:

Понятие среднего арифметического гораздо шире, чем кажется на первый взгляд
Среднее взвешенное – есть как бы «подтип» среднего арифметического
Понятие вневписанной окружности и разностного треугольника тесно связаны с средним арифметическим
Свойства среднего арифметического и другие его приложения широко используются при решении задач
Таким образом, поставленная цель достигнута: изучить полезные приложения понятия среднего арифметического и показать их применение в решении математических задач
Работа по данному исследованию помогла мне детально упорядочить и систематизировать имеющие у меня знания по этой теме, и конечно, приобрести новые знания и новый опыт.
Продолжением моей работы будет исследование понятия среднего геометрического

Список использованной литературы и других источников

Блинков А. Д. Классические средние в арифметике и геометрии.2-е изд., стереотип.— М.: МЦНМО, 2013.—168 с
Гольдман А., Звавич Л., Числовые средние и геометрия/ Гольдман А., Звавич Л.//Квант. – 1990. - №9. – С. 62 – 64.
Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд., Учебник для 5 класса средней школы Математика, М, Мнемозина, 2004.

Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, Учебник Алгебра 9 класс М., Просвещение, 2014г.

С.Л. Василенко. Статья «Средние значения и математические пропорции: от Античности до наших дней»( http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163146.htm )

Тигрёнок на подсолнухе

Ломтик арбуза. Рисуем акварелью

О путнике

Лупленый бочок

3 загадки Солнечной системы