Использование метода инвариантов при решении нестандартных математических задач (исследовательская работа)

Содержание

1. Введение………………………………………………………………..стр.2
2. Инвариант. ……………………………………………………………..стр. 3
3. Решение задач методом инвариантов………………………………...стр.4-6
4. Значимость решения задач методом инвариантов в математике и

 в повседневной жизни…………………………………………………стр.7

5. Заключительная часть…………………………………………………стр.8
6. Список используемых источников……………………………………стр.9

1. Введение

Математика – волшебная наука, которая помогает развивать логическое мышление.

Как найти правильный ответ, не зная решения. При решении математических задач важную роль играет анализ задач, успех решения задачи во многом определяется качеством анализа. Смысл анализа состоит в извлечении из формулировки задачи полезных сведений. Однако объём извлеченных сведений иногда оказывается недостаточен для решения. С помощью перебора вариантов во многих случаях можно убедиться в правомерности ответа “нельзя”, но доказательство правильности полученного результата будет сложным. Математическим методом решения таких задач считается метод инвариант.

"Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, целью всякой математической классификации является построение некоторой полной системы инвариантов (по возможности, наиболее простой), то есть такой системы, которая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности" [1].

Актуальность темы: тема «Использование метода инвариантов при решении нестандартных математических задач» интересна и актуальна в данное время при решении логических и олимпиадных задач в школе.

Предмет исследования: инварианты в решениях задач.

Гипотеза: повышение уровня подготовки к олимпиадам будет достигнуто, если внимательно изучить инварианты и понять, как найти инвариант и научиться решать нестандартные логические задачи.

Проблема: как решать логические задачи методом инвариантов.

Цель исследования: развитие умений и навыков исследовательской работы при решении олимпиадных задачи  в качестве результата исследования создать презентацию об инвариантах.

Задача: расширение и углубление представлений о методах решений олимпиадных задач, потренироваться в решении логических задач и найти для себя принципы  их решения. 

Методы исследования: изучение специальной литературы, работа с ресурсами Internet, размышления и наблюдения, практический метод,  сравнение и анализ условий, практическое применение задач.

Новизна: раньше не рассматривали инварианты как конкретный раздел математики, поэтому вся работа с ними будет для нас новой деятельностью.

1. Инвариант.

Инварианты - это довольно сложный и интересный раздел математической науки, задачи которого часто встречаются в различных конкурсах и олимпиадах.

Понятие инвариант употреблялось ещё немецким математиком Отто Гессе (1811-1874) еще в 1844 году, но систематическое развитие теория инвариантов получила у английского математика Джеймса Сильвестра (1814-1897) в 1851—52 годы, предложившего и термин «Инвариант».

Инвариант – (от лат. invarians — неизменяющийся), величина, которая не изменяется в результате некоторых операциях или преобразованиях (например, разрезание и перестановка частей не меняет суммарной площади фигуры).

В некоторых задачах инвариант — это величина, которая изменяется монотонно, то есть только увеличивается или только уменьшается и называется полуинвариантом.

Алгоритм решения инвариантных задач: убедится, что задача – инвариантная и выполнить условия эксперимента (сделать схему решения в тетради); найти что-либо неизменяемое из условия задачи во всех ваших экспериментах; найти инвариант и условия для решения;  сделать вывод исходя из этого соотношения (Ч+Ч=Ч, Н+Н=Ч, Ч+Н=Н, Н+Ч=Н). Решения задач и головоломок с использованием четности и нечетности чисел отличаются логической безупречностью и абсолютной обоснованностью выводов, которые требует знание на простейших свойств арифметических операций сложения и вычитания.

Здесь действует следующие основные правила четности:

- Сумма четных слагаемых - четна.

- Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.

- Если сумма двух чисел - четное число, то и их разность тоже четное число.

- Если сумма двух чисел - нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.

- Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.

- Если один из множителей - четное число, то и произведение четно.

- Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.

Нестандартные задачи на инвариант (полуинвариант) можно условно разбить на два вида: те, в которых требуется доказать инвариантность данной величины, и те, в которых инвариант используется при решении и сразу не очевиден. Принцип решения задач основан на поиске действий, которые относятся к задаче (инвариант объекта). Стандартным является рассуждение: пусть на некотором шаге получился объект А. Осуществим над ним допустимые действия и получим объект В. Что в них общее? Что изменилось?  Главное в решении подобных задач – придумать сам инвариант.

2. Решение задач методом инвариантов.

Главная идея применения инварианта заключается в следующем. Берутся некие объекты, над которыми разрешено выполнять определенные операции, и задается вопрос: «Можно ли из одного объекта получить другой при помощи этих операций?». Чтобы ответить на него, строят некоторую величину, которая не меняется при указанных операциях. Если значения этой величины для двух указанных объектов не равны, то ответ на заданный вопрос отрицателен. Пример. На доске написано 11 чисел – 6 нулей и 5 единиц. Предлагается 10 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и, если они были одинаковы, дописать к оставшимся числам один ноль, а если разные – единицу. Какое число останется на доске? Решение. Нетрудно заметить, что после каждой операции сумма всех чисел на доске остается не четной, какой она и была вначале. Действительно, сумма каждый раз меняется на 0 или 2. Значит, и после 10 операций оставшееся число должно быть нечетным, т.е. равным 1. Ответ: 1. В этом примере инвариант — это четность суммы написанных чисел. Главное в решении задач на инвариант – придумать сам инвариант.

Подробно разберем следующие задачи:

Задача 1. Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000? Ответ: четно.

Задача 2. Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100 = 20002007? Ответ: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.

Задача 3. Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное. Ответ: первое - четное, второе - четное, третье - нечетное.

Задача 4. Можно ли квадрат размером 25х25 разрезать на прямоугольники 1х2? Ответ: нет, число 625 не делится на 2.  

Задача 5. Квадрат 5×5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел так же отрицательно.  

Решение: Найдем произведение всех чисел в квадрате. Так как произведение чисел в каждой строке отрицательно, то и произведение всех чисел будет отрицательно. Но с другой стороны, произведение всех чисел равно и произведению чисел в столбцах. А так как произведение всех чисел отрицательно, то найдется столбец, в котором произведение чисел является отрицательным. Инвариантом в этой задаче является знак произведения всех чисел в квадрате – оно отрицательное.

Задача 6. На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

Решение. Что являлось инвариантом?         Нечетность суммы написанных на доске чисел, сумма написанных чисел нечетна (она равна 21). За каждый̆ ход эта сумма увеличивается на 2, т.е. всегда остается нечетной̆, а сумма шести равных чисел всегда четна. Это значит, что сделать числа равными невозможно.

Задание 7. Алёша Попович сказал: «У Змея Горыныча больше трёх голов».

Добрыня Никитич сказал: «У Змея Горыныча больше четырёх голов».

Илья Муромец сказал: «У Змея Горыныча больше пяти голов».

Князь Киевский сказал: «У Змея Горыныча больше шести голов».

 Известно, что двое из них сказали неправду. Сколько голов у Змея Горыныча?

Решение: если двое из них сказали неправду, то это были последние два. Так как, если бы Князь Киевский сказал правду, то тогда, были бы все правы. Аналогично и с Ильёй Муромцем. Следовательно, у Змея Горыныча больше четырёх голов, а значит, ответ 5.

Задача 8.  На Марсе есть 40 амеб типа A, 32 амебы типа B и 31 амеба типа C. Любые две амебы двух разных типов могут слиться и образовать амебу третьего типа. Через некоторое время на Марсе осталась одна амеба. Какого она может быть типа?

Выберите все правильные варианты ответа. типа Aтипа Bтипа C

Решение: В этой задаче инвариантом, который помогает решить задачу, является совпадение чётностей числа амеб типов A и C. При каждом слиянии общее число амёб уменьшается на 1. Если осталась одна амёба, то слияний было (40+32+31) -1 =102 (чётное число) и при каждом слиянии участвовало 2 амёбы (чётное число), значит должна остаться амёба нечётного вида, то есть вида С, так как общее число всех амёб 103 (нечётно).  Тогда амёб каждого вида стало А-38, В-30, С=29 , то есть значение чётности А  и В сохранилось и амёб каждого вида уменьшилось на 2, С -  нечетное число. Ответ: С

Задача 9: На шахматной доске стоит черный слон и белая ладья. Белые, как водится, ходят первыми. Доказать, что при правильной игре черные никогда не выиграют.

Решение: Слон всегда останется на полях одного цвета (это и есть инвариант данной задачи). Поэтому если ладья каждым своим ходом будет останавливаться на поле другого цвета, её невозможно будет побить.

Инвариант – остаток от деления.  Если в задаче, при делении данных чисел на какое-то число, остаток не изменяется, то, возможно, он является инвариантом. Для того, чтобы понимать, будет ли тот или иной остаток от деления инвариантом, решим следующие задачи.

Задача 10. Мише учитель математики поставил в дневник отметку «2». Миша, желая скрыть от мамы данный факт, порвал свой дневник на 4 части. Этого ему показалось мало, поэтому некоторые из этих частей (может быть и не все) он порвал на 4 части и так далее. Мама нашла 20 «кусочков» дневника. Все ли куски нашла мама?

 Решение: Для того  чтобы решить задачу, необходимо ответить на вопрос: «Какое число обрывков могло получиться?» Сначала Миша порвал дневник на 4 части. Если он порвал на 4 части один из четырех кусочков, то их станет 4+ 3 = 7. Если Миша и дальше будет рвать кусочки на 4 части, то их будет получаться 4 +6 = 10, 4 + 9 = 13, 4 + 12 = 16, 4 + 15 =19, 4 +18 =22 и так далее. Таким образом, кусочков может быть 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, … Значит, мама нашла не все кусочки. Можно заметить, что при делении каждого из этих чисел на 3 получается остаток 1.В данной задаче в качестве инварианта выступил остаток от деления на 3.

Задача 11. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?

Решение:  Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно (- 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен (+1).  Ответ: нельзя.
Задача 12. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по веселому чижу. Время от времени какие-то два чижа перелетают на соседнее дерево - один по часовой стрелке, а другой - против.  Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

Решение: Пронумеруем деревья по кругу с 1-го по 44-е. Сумма номеров деревьев, на которых сидят чижи либо не меняется, либо уменьшается на 44, либо увеличивается на 44. Тем самым, остаток от деления этой суммы номеров на 44 не меняется. Изначально этот остаток равен 22, а если все чижи усядутся на одно дерево, то он будет равен нулю. Поэтому чижи не смогут собраться на одном дереве.

4.  Значимость решения задач методом инвариантов в математике и в повседневной жизни.

Слово инвариант не часто встречается  в повседневной жизни, и некоторым людям оно может показаться непонятным, хотя мы инвариантность используем в повседневной жизни. Например, инвариантом могут быть четность или нечетность какой-то величины, остаток при делении на число, алгебраическое выражение (сумма чисел, произведение чисел, сумма обратных величин), количество дней в месяцах, смена времен года, день рождения и праздники. Также инвариантами являются количество часов в сутках, порядок течения дня (вечер не может наступить раньше, чем утро), режим дня, площадь какой-либо фигуры, угол между двумя прямыми, инвариант движения, из курса физики известно, что угол падения равен углу отражения, что скорость при равномерном движении постоянна.

Математика - один из предметов, на котором можно научиться думать, строить умозаключения, делать выводы, развивать абстрактное мышление. В любом деле все эти качества всегда пригодятся. Думающего человека сложнее обмануть, он предвидит последствия своих действий и склонен отвечать за результат. В целом значение теории инвариантов в математике очень велико и отнюдь не сводится к полученным конкретным результатам. Об этом убедительно свидетельствует следующая цитата, взятая из "математического энциклопедического словаря" [2]: Для прикладных исследований - теории моделирования, распознавания образов, управления, идентификации, классификации, технической диагностики - основной интерес представляет именно классическая теория инвариантов. Она дает в руки инженерам полезную методологию и математический инструмент, которые позволяют успешно решать многие технические задачи. Применение идеи четности и нечетности позволяет понять сходную логику с методом доказательства от противного. При самом распространенном ответе «не может» требуется объяснить, почему именно этого не может быть. Если говорить: «Может», то достаточно привести пример такого расклада, распределения или комбинации. Решая нестандартную задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи.  При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке - навык, что повышает уровень математического образования.

5. Заключительная часть

Я достигла своей цели, так как научилась решать инвариантные задачи и создала обучающий видеоролик про инварианты и исследование считаю результативным. Работа над проектом показала мне, что инварианты не так сложно искать, как это кажется новичку, и на самом деле инварианты - один из самых занимательных разделов математики. Мне понравилось исследовать инварианты, так как это очень интересно, развивает логику, трудолюбие и практическое мышление, особенно терпения, ведь бывает, что нужный компонент находится не сразу. Потом, чтобы до конца решить задачу требуется умение логически мыслить и устанавливать причинно-следственные связи, те качества, тренируемые решением инвариантных задач. Решение данных задач  полезно для мозговой деятельности.

Я думаю, что желающих решать олимпиадные задачи и развивать логическое мышление будут многие учащиеся нашей школы, изучение данной темы может быть бесконечным и будет появляться все больше различных вариантов решения задач.

Финальным этапом нашего исследования стало создание презентации, с помощью которого обучающиеся тоже смогли бы научиться решать инвариантные задачи.

6. Список используемых источников

1. . В.Л.Попов Инвариант// Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 526. Математика. 5-6 класс. Под ред. Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, - 4-е изд. – М., Просвещение, 2016 - 216с.

2. Математический энциклопедический словарь (М.,1988,с.226)

3. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. - М.: Просвещение, 2003.

4. Медников Л.Е.Четность.М.: МЦНМО,2009.

6. С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин. Математический кружок, 2-й год. Инвариант.

7. Источник: Вольфсон Г. И. ВПР. Математика: 4 класс: 25 вариантов. Типовые задания, 2017 год.

8. https://belmathematics.by/shkolniku/olimpiady/sposoby-resheniya-zadach