4

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

”ФРОЛОВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА“

ИНФОРМАЦИОННО-ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по математике на тему

«Необычные геометрические фигуры»

Выполнил: ученица 7 класса

Гордиенко Екатерина

Руководитель: Татьяна Михайловна Горншу

Красноармейский район д. Фроловка

2019

Содержание

Введение. . . . . . . . . . .

1. Теоретическая часть:

1. Обзор необычных геометрических фигур

2. Практическая часть:

1. Додекаэдр. Изготовление фигуры

Заключение.

Список литературы...... Приложение.

Объект исследования: необычные геометрические фигуры

Цель работы - исследовать геометрические фигуры и тела, понять их роль и место в повседневной жизни.

Задачи:

1. Узнать о некоторых необычных геометрических фигурах;
2. Узнать некоторые свойства геометрических фигур;
3. Умение самостоятельно определять цели и составлять планы; использовать различные ресурсы для достижения целей; выбирать успешные стратегии в трудных ситуациях;
4. Готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
5. Сделать своими руками геометрическую фигуру

Введение

Геометрия - (греч. «geometria», от «geo» - «Земля» и «metreo» - «мерю»), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

Считается, что данная наука была открыта (создана) египтянами для измерений и составления расчетов в рамках Земли. Изначально, эта наука была исключительно интуитивной, но в связи с тем, вероятно, что интуиция - это невидимая, а оттого всегда спорная величина, решено было как-то структурировать данную систему исчислений. Известно, что в геометрии расчеты ведутся в трёх измерениях - длина, высота, ширина. Но также, на данный момент, человечество оперирует не менее чем четырьмя понятиями о пространственных величинах.

Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии, Лауреат премии Вольфа по физике Бенуа Мандельброт говорил: «Геометрию часто называют ”холодной” и ”сухой”. Одна из причин этого состоит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не попрямой. Многие природные объекты настолько иррегулярны и фрагментированы, что по сравнению со стандартной геометрией Евклида природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня».

В данной работе рассказывается о тех геометрических фигурах, которые мы не изучаем на уроках геометрии в школе, но именно они окружают нас в действительности, в архитектуре, в компьютерных играх и головоломках.

4

1. Теоретическая часть.

Треугольник Рёло

Треугбльник Рёлб представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Его можно построить с помощью одного циркуля, не прибегая к линейке (рис. 1) . Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выберется произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей. Треугольник Рёло является плоской геометрической фигурой.

История

Треугольник Рёло назван по имени Франца Рёло — немецкого учёного-инженера, подробно исследовавшего его. Кроме того, Франц Рело использовал его в своих механизмах. Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно изучил её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась. Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в ХУ веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло. В XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон. Следует отметить, что треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат, а также в правильный шестиугольник.

Треугольник Рёло в искусстве, архитектуре и литературе Форма треугольника Рёло, его свойство симметричности, используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло использовали еще в VIII веке в церкви

Богоматери в Брюгге, а также в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив (рис. 2)

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру.

Применение в некоторых механических устройствах. Крышки для люков Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия. Так, в 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий (рис. З), с 1916 года сверла находятся в серийном производстве. Сверло Уаттса представляет собой треугольник Рело, в котором заточены кромки и прорезаны углубления для отвода стружки.

В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — опытным путем доказано, что благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк. В СанФранциско, для системы рекуперирования воды корпуса люков имеют форму треугольника Рёло. За счет того, что у треугольника Рёло площадь меньше, чем у круга, себестоимость люков в форме треугольников Рёло была бы ниже, чем у традиционно круглых. Перейдя на серийное производство люков в форме треугольника Рёло, на мой взгляд, можно было бы быстрее решить проблему открытых колодцев и избежать травматизма и смертей людей.

Тессеракт

Тессеракт — четырёхмерный гиперкуб — аналог куба в четырёхмерном пространстве (рис. 4). Согласно Оксфордскому словарю, слово «tesseract» было придумано и начало использоваться в 1888 году Чарльзом Говардом Хинтоном (1853— 1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом— четырёхмерным кубом.

Тессеракт в искусстве

1. В серии фильмов Кинематографическая вселенная Marvel тессеракт — это ключевой элемент сюжета, космический артефакт в форме гиперкуба.
2. Сюжет фильма «Мстители» сосредоточен на использовании куба «Тессеракт» как неиссякаемого источника космической энергии, для открытия портала в другое «измерение» с целью осуществления плана по захвату мира.
3. Телесериал «Андромеда» использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены для того, чтобы управлять пространством и временем.
4. Роберт Э. Хайнлайн упоминал гиперкубы в трех научно-фантастических рассказах. В «Доме четырех измерений» он описал дом, построенный как развертка тессеракта (рис. 4), а затем вследствие землетрясения «сложившийся» в четвертом измерении и ставший реальным тессерактом.
5. Рассказ Генри Каттнера «Все тенали бороговы» описывает развивающую игрушку для детей из далекого будущего, по строению похожую на тессеракт.
6. Кресты на некоторых христианских храмах и монастырях Египта напоминают развертку тессеракта.
7. Картина «Распятие на кресте» (Corpus Hypercubus) Сальвадора Дали (рис. 5)

Полимино

Полимино, или полиомино (англ. «polyomino») — плоские геометрические фигуры, образованные путём соединения нескольких равных квадратов по их сторонам (рис. 6). Это полиформы, сегменты которых являются квадратами. Иначе говоря, клетки каждого полимино можно обойти за конечное число ходов шахматной ладьи. Название «полимино», или «полиомино» было придумано Соломоном ГОЛОМбОМ в 1953 году, и затем популяризировано Мартином Гарднером. По аналогии с полимино

строятся полиамонды, сформированные из равносторонних треугольников; полигексы, сформированные из правильных шестиугольников, а также другие плоские полиформы. Полимино также обобщаются на случай более высоких размерностей (сформированные из кубов — поликубы, или из гиперкубов — полигиперкубы).

Применение полимино

Полимино использовались в занимательной математике по крайней мере с 1907 года, а известны были ещё в древности. Многие результаты с фигурами, содержащими от 1 до 6 квадратов, были впервые опубликованы в журнале «Fairy Chess Review» в период с 1937 по 1957 г., под названием «Проблемы рассечения» (рис. 7). Кроме того, полимино широко используются в различных головоломках и логических задачах (рис. 8) Одна из популярнейших игр в истории была создана малоизвестным российским программистом Алексеем Пажитновым. Он работал в Вычислительном Центре при Академии Наук СССР и занимался изучением проблем искусственного интеллекта, компьютерной графикой и вопросами компьютерного распознавания голоса. В основу идеи «Тетриса» была положена американская головоломка «Pentomino Риде», придуманная математиком Соломоном Голомбом. Она состояла из пяти квадратов (пентомино — от греч. «пента» — пять) и ставила задачей правильно расположить в коробке геометрические фигуры. Планируя создать компьютерный вариант «Пентомино», Пажитнов успешно дополнил идею: собирать фигурки предстояло в реальном времени, и по задумке во время падения они должны были переворачиваться (рис. 9).

Полиамонд

ПолиамонД — геометрическая фигура в виде многоугольника, составленного из нескольких одинаковых равносторонних треугольников (рис. 10). Наряду с полимино, широко распространена в занимательной математике, в основном в задачах на составление фигур. Одним из основных вопросов о полиамондах является вопрос о количестве полиамондов, которые можно составить из данного числа треугольников. Как и в случае полимино, различают «свободные» полиамонды, для которых повороты и отражения не считаются различными формами; «односторонние», когда фигуры при зеркальных отражениях считаются различными, и «фиксированные», различаемые также и при поворотах. Применениеполиамондов аналогично с использованием полимино в практической жизни. Эти геометрические фигуры широко применяются в различных логических задачах и головоломках.

История

Название «полиамонды» придумано математиком Т.О'Бейрном по аналогии с «полимино» и одним из английских названий ромба — диамонд. Поскольку диамонд можно составить из двух равносторонних треугольников, то фигуру из трёх равносторонних треугольников О'Бейрн назвал триамондом, из четырёх — тетриамондом и т. д. О'Бейрн также придумал большинство названий гексиамондов.

Фрактал

Фрактал (лат. «fractus» — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает следующим свойством: фигура является самоподобной или приближённо самоподобной.

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа

Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Природные объекты часто имеют фрактальную форму (рис. 11).

Применение

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных и т. д. (рис. 11). Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера. Так, например, в физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузииадсорбции, пламя, облака и т. п. (рис. 11). Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Радиотехника. Фрактальные антенны

Фрактсиьная антенна — это антенна, активная часть которой имеет вид самоподобной кривой или какой-либо другой подобно делящейся или состоящей из подобных сегментов фигуры (рис. 12). Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск. Дальнейшие исследования в этой области привели к широкому практическому использованию фрактальных антенн в мобильных устройствах (рис. 13). Их компактность и широкополосные свойства сделали их незаменимыми в беспроводной связи, в Bluetooch, Wi-Fi и GSM стандартах. Таким образом, в одном гаджете, например, в мобильном телефоне, смартфоне удалось разместить все эти устройства. Многие микроволновые устройства тоже используют фрактальные антенны. Отличная работа фрактальных антенн в телевизионном диапазоне так же была отмечена. Отсутствием широкого применения фрактальной конструкции таких антенн в производстве, объясняется тем, что патентом на производство и внедрение фрактальных систем в антенной промышленности владеет, весьма, ограниченное количество компаний.

Информатика. Компьютерная графика

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике (рис. 13). Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых, построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Оно основано на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили. Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio МАХ, фрактальные горы в WorldBuilder.

4

Фракталы в архитектуре

Архитектура, начиная с фрагментов, деталей и заканчивая пространством города в целом — это система, обладающая фрактальными свойствами, которые нельзя не учитывать при формировании городской среды и проектировании новых объектов внутри неё (рис. 14). Город по своей сути — уникальное явление соединения творческих и технических усилий человека, социальных взаимодействий и воздействий природных процессов.

Представление города как особой архитектурной системы — естественно сложившейся фрактальной структуры, развивающейся по не всегда понятным на первый взгляд алгоритмам, вполне оправдано. Фрактальными свойствами обладают не только здания, сооружения, кварталы, улицы, районы, но вся городская среда в целом, рассматриваемая как непрерывная структура в пространстве и во времени, развивающаяся функционально во взаимосвязи с изменяющейся пространственной организацией города.

Принципы фракталоподобного формообразования в архитектуре применяются с давних времен, и хотя использование фрактальных правил построения в архитектуре далеко не всегда оказывалось математически выверенным, но в поиске и создании художественно выразительных пропорций архитекторов вели их интуиция и талант, чувство гармонии и высокий профессионализм.

2. Практическая часть. Додекаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Додека» означает двенадцать, «хедра» - означает грань (додекаэдр — двенадцатигранник).

Поэтому на вопрос - ”что такое додекаэдр?”, можно дать следующее определение: ”ДоДекаэДр это геометрическое тело из ДвенаДцати граней, кажДая их которых правильный пятиугольник”.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.

Додекаэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани — правильный пятиугольник;
• Число сторон у грани — 5;
• Общее число граней — 12;
• Число рёбер примыкающих к вершине — 3;  Общее число вершин — 20;  Общее число рёбер — 30.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников.

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0 .

Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Математические характеристики додекаэдра

Додекаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы додекаэдра

где а - длина стороны

Сфера может быть вписана внутрь додекаэдра.

Радиус вписанной сферы додекаэдра

10 +

Площадь поверхности додекаэдра.

Для наглядности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить, как площадь одной из сторон додекаэдра (это площадь правильного пятиугольника) умноженной на 12. Либо воспользоваться формулой:

S = за2

Заключение

Великий русский ученый Михаил Ломоносов говорил: «Математику уже только потому учить надо, что она в порядок ум приводит». Доказано, что математика развивает уровень общего развития, скорость мышления и сообразительность человека.

Для того чтобы процесс познания этой воистину великой науки проходил более увлекательно, и подготовлена эта работа.

Освещение информации о геометрических фигурах, изучение которых не входит в разделы познаваемые в рамках школьной программы, позволяет слушателям приобрести новые знания и иными глазами посмотреть на знакомые предметы. Список литературы:

1. Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991;
2. Голомб С. В. Полимино. — Пер. с англ. В.Фирсова. — М.: Мир, 1975.— с. 143—147;
3. Гарднер М Математические головоломки и развлечения. — Пер. с англ. Ю.А.Данилова.

— м.: мир, 1971.—511 с.;

4. Интернет —

Приложение

Рис- 1. Построение тт.еольника Рато циркулем

Окно церкви Богоматери в Брюгге

Окно собора Святого Сальватора в Брюгге

Окно собора Парижской Богоматери

«Кельнский треуголь

Окно церкви Святого Михаила в Люксембурге

Окно церкви Богоматери в Брюгге

Окно собора Святых Михаила и Гудулы в Брюсселе

Окно собора Святого Бавона в Генте

Puc 3 Ceepno Yammca u ðeueamœlb Bamceqg

z*

Puc 4 Teccepa»cm. Pa3eepmxa meccepaxma

Puc- 5 «Pacngmue Ha Rpecme"

Рис. 6 Полимино

Рис. 7 Фигурки полимино

Рис. 8 Головоломки из полимино

Рис. 9 Игра «Тетрис»

Рис. 10 ПолиамонД

Рис. 11 Фрактаты в прироДе