Проектная работа по теме: "Обобщённые формулы сокращённого умножения"

Министерство образования и науки Российской Федерации

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №59»

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

по теме:

«Обобщённые формулы сокращённого умножения»

Ученика 7 «Б» класса

Жальских Тимура

Руководитель:

Шахов Денис Эдуардович

учитель математики

г. Новосибирск, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..3

Основная часть………………………………………………………………………4

Заключение…………………………………………………………………………..9

Список литературы…………………………………………………………………10

Введение

Тема «Формулы сокращённого умножения» является традиционной для изучения в курсе алгебры 7 класса. Соответствующие формулы находят широкое применение при упрощении алгебраических выражений, при решении текстовых задач, при рационализации вычислений и т.д.

Однако, эти формулы распространяются только на случаи второй и третьей степеней: соотношения со степенями, начиная с четвёртой, либо не изучаются вообще, либо рассматриваются только на занятиях математического кружка с учащимися, проявляющими повышенный интерес к математике. В то же время эти формулы часто оказываются полезными при решении разнообразных задач, а выводятся они совсем несложно. Их можно часто встретить, например, при решении олимпиадных задач по теории делимости.

Таким образом, обобщение традиционных школьных формул для произвольных степеней является весьма актуальным.

Цель работы: вывести формулы сокращённого умножения для произвольной натуральной степени.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) Вывести формулы сокращённого умножения до пятой степени путём стандартного перемножения многочленов;

2) Выдвинуть гипотезу относительно общих формул;

3) Составить общие формулы и доказать их справедливость

Основная часть

Исторические сведения

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад. Их знали вавилоняне, греки и некоторые другие народы древности. Начиная с VI века до н. э., у древнегреческих математиков встречаются общие утверждения о преобразовании многочленов, применении формул и правил, которые установил древнегреческий ученый Пифагор, живший в 6 в. до н.э.

Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не «аb», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b».

Много полезного узнали греческие ученые у вавилонян. Но история математики сложилась так, что эти открытия стали потом приписывать грекам. Например, одно из самых замечательных утверждений во всей геометрии до сих пор называют именем греческого математика – теоремой Пифагора. Оно формулировалось так: “Для любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах”. Многое из Вавилона ушло потом в другие восточные страны, в том числе в Индию. И в одной из древних индийских рукописей сохранился чертеж, взглянув на который можно убедиться в справедливости теоремы Пифагора.

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту.

Также вопросами исследования многочленов занимался и иранский поэт, математик, астроном, философ, живший в XI-XII вв. в Персии Омар Хайям. Ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена a+b в степень n. (К сожалению, результаты работы математиков Востока были неизвестны в Европе до XVII в., поэтому их пришлось открывать заново).

Формулы сокращённого умножения, изучаемые в школе, и их применение

Как уже было сказано, в школьном курсе математики традиционно изучаются формулы сокращённого умножения для второй и третьей степеней. Формулы эти выводятся путём стандартного перемножения многочленов с использованием определения степени с натуральным показателем. Выведем эти формулы.

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Формула (a - b)2 = a2 – 2ab + b2 выводится аналогично предыдущей

(a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 +b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Формула (a - b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 выводится аналогично предыдущей

(a + b) (a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b +ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3

Формула (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 выводится аналогично предыдущей

        Выведенные формулы наиболее часто применяются при упрощении алгебраических выражений.

Примеры

1) Выполнить преобразование по соответствующей формуле

2) Сократить дробь

Обобщённые формулы сокращённого умножения: наблюдения и гипотеза

        Изучим структуру формул разности одинаковых натуральных степеней. Пока будем получать эти формулы искусственно, опираясь на известные.

Предположим, что формула для разности пятых степеней имеет вид

Формула верна, что очень легко проверяется непосредственно.

Наблюдения показывают, что общая формула должна иметь вид:

Формула эта также проверяется непосредственным перемножением выражений, стоящих в скобках.

        Теперь рассмотрим формулу суммы кубов и выдвинем гипотезу об общей формуле суммы одинаковых нечётных степеней.

Первая формула известна из школьного курса, а вторая опять-таки проверяется непосредственным перемножением многочленов.

Гипотеза об общей формуле:

Доказательство формулы аналогично предыдущим.

        Теперь рассмотрим формулы возведения суммы и разности двух величин в натуральную степень. Начнём с известных формул:

Начнём искусственно выводить формулы для более высоких степеней и постараемся найти закономерность:

Выпишем коэффициенты из первых полученных формул в виде треугольника:

1

1    1    

1    2    3

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

Наблюдаем следующие свойства этих коэффициентов:

1) Крайние коэффициенты равны единице;

2) Второй и предпоследний коэффициенты равны показателю степени бинома;

3) Коэффициенты каждой из строк треугольника расположены симметрично относительно её центра;

4) Второй коэффициент равен сумме первого и второго коэффициентов предыдущей строки, третий коэффициент равен сумме второго и третьего коэффициентов предыдущей строки и т.д.

Тогда, продолжая треугольник ещё на несколько строк, получим:

1

1    1    

1    2    3

1    3    3    1

1    4    6    4    1

1    5    10    10    5    1

1    6    15    20    15    6    1

1    7    21    35     35    21    7    1

1    8    28    56    70    56    28    8    1

Изучая переход от степени  к степени , видим, что эта закономерность сохраняется.

Формулы для возведения разности в степень получаются аналогичными, но знаки их коэффициентов чередуются. Например:        

Заключение

Итак, в ходе данной работы:

1) Выведены формулы сокращённого умножения до пятой степени путём стандартного перемножения многочленов;

2) Выдвинута гипотеза относительно общих формул;

3) Составлены общие формулы и доказана их справедливость.

Таким образом, можно считать, что цель работы достигнута.

Список использованной литературы

1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, Москва, 1958
2. Галицкий М.Л и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся школ. И классов с углубл. изучением математики/ М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И Звавич. 2-е изд.- М.: Просвещение 1994.- 271с., с.7-8, с.53
3. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 кл. Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.
4. Задачник «Кванта»: Математика. Часть 3./ Под ред. Н.Б.Васильева. – М.: Бюро Квантум, 1997, с 47-56
5. Математика в школе. Научно – методический журнал, № 6. М. – «Педагогика». 1989г, с. 136.
6. Материал из Википедии — свободной энциклопедии, тема: Формулы сокращённого умножения многочленов
7. Материалы заочной математической олимпиады «Атомных станций», московская школа «Авангард» 2011г.
8. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5-8 классах: пособие для учителя. – Львов, журнал «Квантор» №3, 1991год, с. 20-21