Практическое применение линейной функции

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ №85»

Научное общество учащихся

Практическое применение линейной функции.

Работу выполнила: ученица 7 «А» класса

Орлова Дарья.

Научный руководитель: учитель математики

 Репьева Марина Вениаминовна.

Нижний Новгород

2017 год

Содержание

Введение……………………………………………………………… 2

1. История появления линейной функции…………………………3

Ⅱ. Линейная функция и её график (краткая информация………… 4

Ⅲ. Практическое применение линейной функции………………... 7

1.  Линейная функция в реальной ситуации………………………. 7
2.  Использование линейной функции в банковских расчётах……7
3.  Линейная функция при равномерном движении……………… 8

3.4 Применение   линейной функции к физике……………………10

3.5 Применение линейной функции в биологии, анатомии и

медицине ……………………………………………………………. 11

6.  Применение линейной функции в литературе ………………...12

         Ⅳ. Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни……...14

1. Изучение зависимости цены букета от количества роз………..14
2.  Зависимость калорийности молочного продукта от его

жирности…………………………………………………………..14

4.3 Исследование зависимости поездки в такси от расстояния…...15

Заключение……………………………………………………………16

Список использованных информационных ресурсов……………...17

Введение

На уроках алгебры в 7 классе мы будем знакомиться с понятием линейной функции, ее графиком и свойствами. Но я не знаю, где в реальной жизни мне понадобятся эти знания.

Моя исследовательская работа посвящена первому знакомству с линейной функцией и её практическим применением в науке и жизни человека.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что с помощью линейной функции можно описать многие реальные процессы, происходящие в природе и повседневной жизни, на языке математики.

Цель: изучить функциональные зависимости между величинами и выявить среди них линейные зависимости.

Задачи:

1. Изучить историю появления линейной функции;
2. Обобщить элементарные знания о линейной функции;
3. Добыть новые знания по теме проекта из различных источников информации;
4. Выяснить, находит ли применение линейная функция в других областях знаний, в повседневной жизни;
5. Сделать вывод по результатам исследования.

I. История появления линейной функции

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад), пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре.

Начиная с 17 века, французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; разработали единую буквенную математическую символику. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z.

Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени.

Ⅱ. Линейная функция и её график (краткая информация)

Определение.

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b – числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения прямой достаточно взять две точки. Если x = 0, то y = b.

Если y = 0, x = - b / k

Таким образом, график линейной функции проходит через точки (0; b) и  

 (-b / k; 0).

Свойства линейной функции.

1) Область определения линейной функции состоит из всех чисел:

D: x ∈ (-∞; ∞).

2) Область значений линейной функции состоит из всех чисел:

E: y ∈ (-∞; ∞).

3) Нуль функции (y = 0) x = - b / k

4) При k  > 0 линейная функция возрастает.

При k  <  0  — убывает.

5) При  k > 0

Функция принимает положительные значения при x > - b / k, или

Функция принимает отрицательные значения при x < - b / k, или

При k < 0

Функция принимает положительные значения при x < - b / k, или

Функция принимает отрицательные значения при x > - b / k, или

Число k называется угловым коэффициентом прямой. По значению k можно определить угол α, который прямая y = kx + b образует с положительным направлением оси Ox.

При  k > 0 угол α острый, при k < 0 угол α — тупой.

Если k = 0, линейная функции принимает вид y = b. График этой функции — прямая, параллельная оси Ox.

Например, на рисунке изображены графики линейных функций y = 2  и y = -4.

Ⅲ.  Практическое применение линейной функции

3.1 Линейная функция в реальной ситуации.

Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции.

Задача 1. На складе было 500т угля. Ежедневно стали подвозить по 30т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней?

Решение.

Пусть х – дни, y (тонн) – количество угля на складе. Линейная функция

 у = 500 + 30х, где х є N (N- множество натуральных чисел) есть математическая модель ситуации.

При х = 2 имеем у = 500 + 30*2 = 560(т).

При х = 4 имеем у = 500 + 30*4 = 620(т).

 При х = 10 имеем у = 500 +30*10 = 800(т).

 Ответ: 560т; 620т; 800т.

3.2 Использование линейной функции в банковских расчётах.

 Задача 2. Вкладчик открыл в банке счёт и положил на него S0 = 150000руб. сроком на 4 года под простые проценты по ставке n = 18% в год. Какой будет сумма S4, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за p = 4 года.  Чему равен коэффициент наращивания?

Решение.

1. По формуле для простых процентов

SN = SO (1 + np/100) (руб.)

S4 = 150000 (1 + 18*4/100) = 258000(руб.)

2. 258000 – 150000 = 108000(руб.) денежный прирост за 4 года.
3. S4 : SO =  258000 : 150000 = 1,72 коэффициент наращивания.

Ответ: 258000руб.; 108000 руб.; 1,72.

3.3 Линейная функция при равномерном движении.

Задача 3. Дачник отправился из дома на автомобиле в поселок. Сначала он ехал по шоссе, а затем по проселочной дороге, сбавив при этом скорость. График движения дачника изображен на рисунке. Ответьте на вопросы: а) Сколько времени ехал дачник по шоссе и сколько километров он проехал? Какая скорость автомобиля была на этом участке пути? 

б) Сколько времени ехал дачник по проселочной дороге и сколько километров он проехал?  Какова была скорость автомобиля на этом участке?

в) За какое время дачник проехал весь путь от дома до поселка?

Решение.

 12 клеток – 1ч = 60 мин; тогда 1 клетка – 5 мин

1). t = 5мин * 6 = 30мин = 0,5 ч ехал дачник по шоссе; при этом он проехал 40 км.

2). V = S : t;   V = 40 : 0,5 = 80 (км/ч) скорость на первом участке.

3). t = 5мин * 8 = 40мин = 4/6 ч ехал дачник по просёлочной дороге;

4). S = 70км - 40км = 30км проехал дачник по просёлочной дороге;

5). V = S : t;   V = 30 : 4/6 = 45 (км/ч) скорость на втором участке.

6). 0,5 + 4/6 =1/2 + 4/6 = 1 1/6(ч)

Ответ: 0,5ч; 40км; 80км/ч; 4/6ч; 30км; 45 км/ч; 1 1/6ч.

Задача 4. Из пункта A выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта B, отстоящего от A на расстоянии 20км, выехал мотоциклист 16км/ч. Велосипедист ехал со скоростью 12км/ч. На каком расстоянии от пункта A мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение с помощью графика линейной функции:

1. Зададим координатную плоскость SOt с осью абсцисс Ot, на которой отметим интервалы времени движения, и ось ординат OS, на которой будем отмечать расстояние, пройденное мотоциклистом и велосипедистом

2. Нанесём деления в масштабе: по оси ординат – в 2 клетках 8 км; по оси абсцисс–в 2 клетках 1ч.

3. Построим график движения мотоциклиста II: начало его движения отметим в начале координат В (0;0). Мотоциклист ехал со скоростью 16км/ч, значит, прямая II должна пройти через точку с координатами (1;16).

4. Построим график движения велосипедиста I: её начало будет в точке А (0;20), т.к. пункт B расположен от пункта A на расстоянии 20км, и он выехал одновременно с мотоциклистом. Велосипедист ехал со скоростью 12км/ч, значит, прямая I должна пройти через точку с координатами (1;32).

5. Найдем Р (5; 80) – точку пересечения прямых I и II, отражающих движение мотоциклиста и велосипедиста: ее ордината покажет расстояние от пункта В, на котором мотоциклист догонит велосипедиста.

Т. к. Р (5;80), SB = 80км, SA = 80 – 20 = 60(км) – расстояние от пункта А, на котором мотоциклист догонит велосипедиста.

Ответ: 60км.

Решение с помощью уравнения:

Пусть x км - расстояние от пункта А до места встречи;

x/12 ч -  время велосипедиста;

(x+20)/16 ч -  время мотоциклиста.

Составим уравнение:

x/12=(x+20)/16

16x=12x+240

4x=240

x=60

Ответ: 60 км расстояние от пункта А, на котором мотоциклист догонит велосипедиста.

3.4 Применение линейной функции в физике.

В 7 классе у нас появился новый предмет – физика. С первых уроков стало ясно, что физика и алгебра существуют бок о бок. Физические законы можно записывать с помощью математических выражений, отражающих взаимосвязь физических величин, описывающих те или иные явления природы.

Так, масса вещества прямо пропорциональна объёму: m = ρ * V, ρ - плотность вещества.

Вес тела и сила тяжести прямо пропорциональны его массе: P = m * g,

 Fупр = m * g, где  g = 9,8 Н/кг.

Давление, производимое жидкостью на дно сосуда, в котором она находится, зависит от высоты столба жидкости. Если плотность жидкости – ρ, то расчёт давления ведут по формуле: p = ρ* g* h. Очевидно, что все приведённые выражения есть ничто иное, как линейная функция вида y = kx + b, при b = 0.

Это далеко не все примеры применения линейной функции в физике.

3.5 Применение линейной функции в биологии, анатомии и медицине

В биологии тоже встречаются линейные функции.

Задача 5. Так, например, из энциклопедии я узнала, что волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Таким образом, имеет место формула: l = l0 + Δ l = l0 + 0,4t, где l – длина в мм, l0 – первоначальная длина волос в мм, t – количество дней.

Я рассчитала, на сколько см вырастут мои волосы за 1 год. Прирост волос из формулы Δ l = 0,4 * 365 = 146 (мм) =14,6 (см)

Ответ: 14,6 см.

Задача 6. Мне стало интересно, какой должен быть мой идеальный вес.

Я нашла формулу для расчета идеальной массы тела по методу Devine: Одна из формул, позволяющих рассчитать «идеальную» массу тела взрослого человека (ИМТ) по методу Devine m , выраженную в килограммах при данном его росте L (в сантиметрах) выглядит следующим образом:

Для мужчин: (1)  m = 50 + 2.3  · (0.394 ·  L - 60) =  0,9 · L – 88;
Для женщин: (2) m = 45.5 + 2.3 · (0.394 · L - 60) =  0,9 · L - 92,5;

По формуле (2) я рассчитала свой идеальный вес m = 0,9 · L - 92,5;

Где L – рост (в сантиметрах).

m= 0,9 · 170 - 92,5 = 60,2 (кг)

Ответ:60,2 кг.

Задача 7. Медиками установлено, что для нормального развития ребёнок или подросток, которому Т лет должен спать t часов. Зависимость продолжительности сна t (ч) от возраста человека T (лет) задаётся формулой: t = 17 -  Т/2.

Решение.

t = 17 -  13/2 = 10,5 (ч)

Ответ: 10,5 часов составляет продолжительность сна поростка в тринадцатилетнем возрасте.

Таким образом, для нормальной работоспособности в моем возрасте надо спать 11 часов.

3.6 Применение линейной функции в литературе.

Есть ли линейные функции в устном народном творчестве, например, в поговорках? Вероятно, да! Вот как, на мой взгляд, можно было бы изобразить некоторые из них с помощью графиков линейных функций.

1. Каково проживёшь, такую славу наживёшь (прямая пропорциональность, к – больше нуля.)

2. Чем больше гвоздей, тем крепче дом (прямая пропорциональность, к – больше нуля).

3. Больше почёт, больше хлопот (прямая пропорциональность, к – больше нуля).

4. Как аукнется – так и откликнется. (y=x)

5. Тише едешь – дальше будешь (прямая пропорциональность, к – меньше нуля).

6. Светит, но не греет (ось абсцисс).

Ⅳ. Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни

   Открытия, сделанные в первой части работы, подтолкнули меня к мысли, что линейные зависимости окружают нас и в повседневной жизни.  Эта работа оказалась увлекательной и интересной. Захотелось найти линейные зависимости в нашей реальной жизни, вывести их задающие формулы, построить графики этих зависимостей.

    Так же можно заметить, что скорость развития общества находится в прямо пропорциональной зависимости от скорости обмена информации.

1. Изучение зависимости цены букета от количества роз.

Мое первое исследование должно ответить на вопрос: «Как зависит цена букета (у) от количества роз (х)?»  Была собрана информация, произведены подсчёты, составлена формула зависимости, по полученным данным построен график зависимости (см. приложение 1). Пусть стоимость одной розы – 90 рублей, а стоимость упаковки - 100 рублей. Отсюда следует, что найти цену букета можно по формуле: y = 90*x + 100.  

Таблица 1.

Можно сделать вывод: «Зависимость цены букета от количества роз – линейная зависимость».        

4. 2. Зависимость калорийности молочного продукта от его жирности

Чтобы ответить на вопрос: «Как зависит калорийность молочного продукта от его жирности?», я отправилась в магазин «Магнит». Анализ информации показал, что с увеличением процента жира в сметане   калорийность продукта увеличивается.

Таблица 2.

Можно предположить, что эта зависимость линейная и сделать подсчёты. Работая с данными, я получила: y = 10,44 * x.

После чего я построила график зависимости калорийности сметаны от массовой доли жира в продукте (см. приложение 2).

Вывод: эта зависимость линейная.  

4. 3. Исследование зависимости стоимости поездки в такси от расстояния.

Время от времени нам приходится пользоваться услугами такси. Моё внимание привлекла проблема зависимости стоимости поездки в такси от расстояния. Моя семья предпочитает фирму «Сатурн». Посадка стоит 30 рублей, не зависимо от дальности поездки. При поездке на расстояние до 4км тариф составляет 13рублей за каждый километр. а при поездке на большие расстояния – 20 рублей за километр.  

Очевидно, что стоимость проезда (y) зависит от расстояния (x) по линейному закону: y1 = 13 * x + 30, если x <= 4км, если же   x >4км, то

 y2 = 20* x + 30.

Заключение.

Работая над проектом, я убедилась, что тема: «Линейная функция», является одной из важнейших в курсе алгебры 7 класса, т. к. линейная зависимость находит широкое практическое применение.

Конечно, проведенные мной исследования нельзя считать исчерпывающими. Остается много вопросов о линейности и нелинейности окружающих величин. Но, я считаю, что цель моей работы достигнута и выдвинутая мною гипотеза о том, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями нашла свое подтверждение. Надеюсь, что этот проект будет полезен моим сверстникам, которым предстоит познакомиться с линейной функцией и её применением.

Список использованных информационных ресурсов

1. Муравин Г. К., «Исследовательские работы в школьном курсе алгебры»-М.: Педагогика, 2008 г.
2. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры / Книга для учащихся / - М.: Просвещение, 1990 г.
3. Савин А. П.. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989г.
4. Савин и др. Я познаю мир: математика: М.: АСТ, 1995 г.
5. Сайты сети Интернет