Негеометрические задачи с геометрической вероятностью

                Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Школа с углублённым изучением отдельных предметов № 85»

Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное общество учащихся

«Негеометрические задачи с геометрической вероятностью»

Выполнила: Сазонова Татьяна,

ученица 9 «А» класса

научный руководитель:

Репьева М.В.,

учитель математики

Нижний Новгород

2017 г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

Цели и задачи……………………………………………………………………..4

Глава 1. Геометрическая вероятность…………………………………………..5

           1.1 Историческая справка………………………………………………...5

           1.2  Основные понятия……………………………………………………6

                1.2.1 Некоторые понятия теории вероятности……………………….6

                1.2.2 Случайная точка на плоскости………………………………….7

                1.2.3 Случайная точка на прямой……………………………………..8

                1.2.4 Случайная точка в пространстве………………………………..9

            1.3 Задачи на нахождение геометрической вероятности…………...…10

Глава 2.  Негеометрические задачи с геометрической вероятностью………..15

            2.1 Геометрическая вероятность вокруг нас…………………………...15

            2.2 Случайный момент времени………………………………………...18

Глава 3. Приложения и парадоксы геометрической вероятности……………21

            3.1 Метод Монте-Карло…………………………………………………21

            3.2  Парадокс Бертрана………………………………………………….23

Заключение………………………………………………………………………26

Список литературы………………………………………………………………27

Введение.

В этом году на олимпиаде по математике была задача об остроугольном треугольнике, которую мне правильно решить не удалось. Звучит эта задача так: «На окружности случайно выбираются три точки. Какова вероятность того, что треугольник с вершинами в этих точках – остроугольный?». С моим учителем в классе мы разбирали задания из этой олимпиады, и именно эту задач. Как оказалось, можно решить очень просто с помощью понятия геометрической вероятности. Меня это очень заинтересовало, оказалось, что существует целая наука, занимающаяся нахождением вероятности происхождения того или иного события. Причем один из её разделов посвящен геометрической вероятности. Я решила глубже изучить данную тему.

Цели и задачи

Цель: исследование понятия «геометрическая вероятность» и применение полученных знаний для решения геометрических и негеометрических задач.

Задачи:

- познакомиться с историей возникновения теории вероятности как науки и, в частности, её раздела о геометрической вероятности;

- изучить теорию по данной теме;

- классифицировать задачи, которые можно решить с помощью понятия «геометрическая вероятность»;

- рассмотреть приложения и парадоксы геометрической вероятности.

Глава 1. Геометрическая вероятность.

1.1 Историческая справка.

Люди еще в 17 веке пытались найти закономерность или определить количество благоприятных исходов для того или иного события. После первых работ итальянских ученых Дж. Кардано, Н. Тарталья, относящихся к 16 веку, такие задачи изучали французские математики Б.Паскаль и П.Ферма. Опыты проводились на игральных костях и были рассчитаны на прогнозирование выигрыша. Из автобиографии Кардано известно, что одно время он был страстным игроком. Вместе с Тартальей они подсчитали различные варианты выпадения очков и  составили таблицу, которую впоследствии повторял (в другой форме) Паскаль. Он придал ей форму треугольника и обнародовал ее («Трактат об арифметическом треугольнике», около 1654 г.).

Под влиянием поднятых и рассматриваемых этими учеными вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей, вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он  доказал закон больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря Андрею Николаевичу Колмогорову и его книге «Основные понятия теории вероятностей» (1936).

В результате, появившаяся некогда из игры теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

1.2 Основные понятия.

  1.2.1 Некоторые понятия теории вероятности

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятностью называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Также вероятность случайного события А это число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное событие), а единице, если все исходы благоприятны (достоверное событие).

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого опыта следует:

1. найти число N всех возможных исходов данного опыта;
2. найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
3. найти частное; оно и будет равно вероятности события А.

Однако иногда встречаются испытания с бесконечным числом исходов. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. Формула  классической вероятности здесь уже неприменима.  Посмотрим, как все же и в этом случае вычислить вероятность без обращения к опыту.

1.2.2  Случайная точка на плоскости.

Пример 1.

Случайная точка на карте.

Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем в нее указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России? Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

Такую же картину мы имеем и в общем случае, когда в некоторой ограниченной области плоскости  случайно выбирается точка:

Если считать, что попадание в любую точку области  равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество A будет равна отношению площадей

(где P- вероятность, а S- площадь). Если A имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в A равна нулю. Например, вероятность попадания на отрезок или в конкретную точку будет нулевой. Такое определение вероятности называется геометрическим.

Ситуация напоминает классическое определение вероятности: как и там, здесь важна равновозможность всех исходов, то есть всех точек области. Но теперь число исходов эксперимента бесконечно, поэтому приходится считать не их количество, а занимаемую ими площадь.

Пример 2.

В квадрат со стороной  a бросают случайную точку. Какова вероятность, что она попадет во вписанный в этот квадрат круг?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо найти площадь всей области  (квадрат) и площадь благоприятной области  (вписанный круг), а затем поделить на:

, , .

Как и следовало ожидать, полученный результат не зависит от.

1.2.3.Случайная точка на прямой.

Но бывают задачи, в которых сама случайная точка выбирается не на плоскости, а на линии – на отрезке, окружности и т.д. Тогда, по условиям эксперимента мы всегда попадаем в область нулевой площади. Как же быть в этом случае? Ответ почти очевиден – вместо площади для вычисления вероятности нужно брать длину:       ,

где  - длина той линии, на которой выбирается случайная точка, а  - длина той ее части, на которую мы хотим попасть.

Пример 3.

На автомобильной магистрали через каждые 20 км установлены станции технического обслуживания. Какова вероятность, что сломавшийся на трассе автомобиль придется толкать до ближайшей станции меньше 1 км.

Решение: на языке геометрической вероятности мы имеем дело с выбором случайной точки на отрезке длиной 20 км. Благоприятными для нашего события исходами будут точки, отстоящие от концов отрезка не более, чем на 1 км:    .

Заметим, что магистраль может и не быть прямой линией – тогда точка выбирается уже не на отрезке, а на кривой. Но поскольку вероятность зависит только от длины, то ответ не изменится.

1.2.4. Случайная точка в пространстве

Точно так же, как для плоскости и прямой, можно определить геометрическую вероятность в пространстве - вместо площадей здесь надо брать объемы тел:

.  

Пример 4.

Внутри куба с длиной ребра  выбирается случайная точка. С какой вероятностью расстояние от этой точки до поверхности куба будет меньше ?

Неблагоприятным для нашего события множеством точек будет куб с ребром , расположенный в центре основного куба. Благоприятным – то, что останется после его удаления. Таким образом, искомая вероятность будет

Таким образом, общую ситуацию, связанную с геометрическим определением вероятности можно описать следующим образом. Имеется некоторая область  на прямой (на плоскости, в пространстве). В этой области наугад выбираются случайные точки так, что вероятность попадания точки в любую часть  области  пропорциональна ее длине (площади, объему) и не зависит от расположения и формы подобласти . Тогда вероятность попадания точки в область  можно вычислить по одной из формул:

 (- длина) - для случайной точки на прямой;

 ( - площадь) - для случайной точки на плоскости;

 ( - объем) - для случайной точки в пространстве.

1.3 Задачи на нахождение геометрической вероятности.

Задача №1. На отрезке МN длины l  выбирается наудачу точка Х. Найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение:  пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

 Тогда   .

Ответ: 0.5

Задача №2. Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6, 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри данного куба, ребро которого 3 см?

Решение: пусть событие А – точка оказалась внутри куба с ребром, равным 3см. Будем считать, что исходы испытания распределены равномерно. Тогда вероятность наступления события А пропорциональна мере этого куба и равна P (А) = Vкуба  / Vпараллелепипеда. Но объем куба равен 27 см3, а объем параллелепипеда – 240 см3.

Следовательно, Р (А) = 27/ 240 ≈ 0.113

Ответ: 0.113

Задача №3.Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?

Решение: точка удалена от границы квадрата на расстояние  более чем , если она принадлежит внутреннему квадрату со стороной равной

Чтобы найти площадь фигуры, составляющей разницу между внутренним и внешним квадратами (G), нужно из площади всей фигуры (F)вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Ответ: 0.75

Задача №4. На окружности радиуса r случайно выбираются две точки. С какой вероятностью расстояние между ними будет меньше r?

Решение:  Расстояние меньше r значит, что хорда, соединяющая эти две точки, должна быть меньше r или меньше стороны вписанного шестиугольника.  Зная центральный угол, равный 72˚ , найдем длину дуги, заключенной между двумя точками при хорде меньше радиуса.

Ответ: 0.2

Задача №5. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.

Решение:  средние линии треугольника разбивают его на 4 равновеликих  треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Ответ: 0.25

Задача №6. Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Решение: Первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом. Контурами показаны возможные расположения второй кляксы - в случае касания первой и второй.

Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Найдем площадь кольца:  . Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек, либо пересекаются.

В этом случае область для попадания  - прямоугольник с вырезанным кольцом. Найдем площадь этой фигуры .

Вероятность Р = = (500-8*3,14) / 500 ≈ 0,95

Ответ:0,95

Задача №7.  На окружности случайно выбираются три точки. Какова вероятность того, что треугольник с вершинами в этих точках – остроугольный?

 Решение.

При любом повороте окружности вероятности событий и условие "остроугольности" сохраняются. Мы можем считать, что одна из трёх вершин, например С- фиксирована, а две других выбираются случайно. Будем задавать их положение величинами дуг СА=α, СВ=β, отсчитываемых против часовой стрелки. Будем измерять дуги в радианах, тогда пара (α,β) - это точка в квадрате 0<α<2π, 0<β<2π.

По теореме о том, что величина вписанного угла измеряется половиной дуги, на которую она опирается, углы треугольника АВС равны:

(Мы считаем, что

 Все углы треугольника АВС – острые:

1.                   2)                3)  

                                          β < π

Изобразим систему координат:0αβ. 0 ≤ α ≤ 2π, 0 ≤ β ≤ 2π:

Точки (α;β) для которых все три угла меньше π/2 заполняют внутренность меньшего треугольника, образованного средними линиями большего треугольника. Ситуация в нижнем треугольнике β<α<2π симметрична относительно диагонали α=β квадрата. Поэтому искомая вероятность равна:   Р(А)==

Ответ:

Глава 2. Негеометрические задачи с геометрической вероятностью.

2.1 Геометрическая вероятность вокруг нас.

Бывает, что геометрический подход к определению вероятности оказывается весьма полезным даже в тех ситуациях, где никакой геометрии не видно. Чтобы свести такую ситуацию к геометрическому определению, нужно попытаться представить каждый исход опыта как случайный выбор точки на прямой, плоскости или в пространстве.

Каждая такая точка однозначно задается набором своих координат: на прямой – одной координатой, на плоскости – двумя, в пространстве – тремя. Таким образом, для сведения вероятностной ситуации к геометрическому определению нужно:

• придумать способ кодирования каждого исхода опыта набором из нескольких чисел (от одного до трех);
• определить из какого множества  эти числа выбирают, и будет ли этот выбор действительно «случайным»;
• описать на языке координат подмножество благоприятных исходов ;
• вычислить длину (площадь, объем) полученных множеств и найти вероятность.

Задача №1.Согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.

Решение.

Воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком [0;1]. Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 от каждого перехода, т.е. 0,1.

Ответ: 0.8

Задача 2.

Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится стержень длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину стержня с  центром диска перпендикулярна стержню. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы на стержень, если расстояние между стержнем и центром диска равно l.

Решение.

Событие F-частица слетела с диска и попала на стержень АВ.

Α-характеризует положение точки (непрерывная случайная величина).

0≤α≤2π

Р(F)=

ω-множество всех возможных исходов.

F- множество благоприятных исходов

M(ω) =2π

Нас устраивает только случай, когда частица находится между точками С и D.

Δ α= αD-αC

Рассмотрим треугольник АОС и треугольник ВОD (они прямоугольные). (ОС  АС, ОD  BD по свойству касательных)

DO=OC=R

Треугольник DOB получается при повороте треугольника АОС на угол   , поэтому  АОС равен  треугольнику DОВ, и, следовательно,   АОС= ВОD.

∠ АОС = Δ α + ∠ АОD

∠ ВОD = ∠ АОВ + ∠ АОD

Из этого следует, что Δ α =∠ АОВ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник А ( =)

.

= arctg

M(F)=2 arctg

P(F)= =  =

Ответ:

2.2 Случайный момент времени.

Геометрическое определение вероятности успешно работает в целой категории задач, связанных с выбором одного или нескольких случайных моментов времени из определенного промежутка . Если выбирается один такой момент, то это равносильно случайному выбору точки на отрезке; если два момента x и y - выбору точки в квадрате.

К числу таких задач принадлежит известная «задача о встрече».

Задача 1. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12-ю и 13-ю часами. Пришедший первым ждет другого не больше 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет.

Решение.

Пусть x - момент времени прихода первого студента, y- момент времени прихода второго студента. Тогда  [0;60] (определение того, что встреча произойдет между 12 и 13 часами, то есть в промежуток времени в 60 минут) - задает область G. |x-y| ≤ 20 (определение того, что студент, пришедший первым, ждет второго не больше 20 минут) - задает область g. Тогда области, задаваемые неравенствами, будут выглядеть следующим образом. Вероятность можно будет найти как отношение площадей двух областей g и G.

Ответ:.

Задача 2.

Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?

Решение.

Сначала выясняем длительность временного промежутка, на котором может состояться встреча. В данном случае, это полтора часа или 90 минут. При этом здесь не имеют особого значения фактические временные рамки – погрузка автомобилей, может состояться, например, утром с 8.30 до 10.00, и решение будет точно таким же.

Изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц; при этом одна из вершин квадрата совпадает с началом координат, а его смежные стороны лежат на координатных осях.

Общему множеству исходов будет соответствовать площадь данного квадрата:  

Далее по оси  от начала координат откладываем время погрузки одного автомобиля, а по оси  – время погрузки другого автомобиля  (можно наоборот, это не повлияет на решение): 

Теперь из точки с координатами (15;0)  и из точки с координатами (0;10) под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата.

Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во времени) соответствует площадь  заштрихованной фигуры. Найдем  суммарную площадь верхнего и нижнего треугольников:

Из площади квадрата вычитаем площади треугольников, получая тем самым благоприятствующую площадь:

По геометрическому определению

  – вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой.

Ответ: 

Глава 3. Приложения и парадоксы геометрической вероятности

3.1 Метод Монте-Карло

Так называют метод, с помощью которого оценивают какие-либо неизвестные величины с помощью статистических испытаний.

Заметим, что свое имя метод получил по названию столицы княжества Монако – города Монте-Карло, который считается центром игорного бизнеса: каждый вечер в его многочисленных казино проходят тысячи статистических испытаний.

Одно из наиболее известных применений метода Монте-Карло – вычисление площадей. Для того, чтобы оценить площадь произвольной фигуры , ее помещают внутрь какого-нибудь квадрата или прямоугольника с известной площадью :

После этого начинают бросать в прямоугольник случайные точки и подсчитывают относительную частоту  попадания точек в фигуру. С ростом числа опытов эта частота приближается к вероятности  .

.

Получаем, что

,

причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше опытов было проведено. Заметим, что для практической реализации описанного метода нужно научиться решать две задачи:

• моделировать случайный выбор точки в прямоугольнике;
• проверять, попала ли очередная точка в заданную фигуру .

Причем оба этих действия придется выполнять многократно: ведь ошибка при оценке вероятности по частоте обратно пропорциональна . Так, например, чтобы оценить площадь фигуры с точностью до 1%, нужно провести порядка 10 000 опытов. Провести такой объем вычислительной работы можно только с помощью компьютера.

Пример 2. Вычисление площади треугольника.

 В этом примере мы будем бросать точки в единичный квадрат, внутри которого находится треугольник . Поскольку квадрат имеет единичную площадь, то частота попадания в треугольник будет приближенно равна его площади:

2. Парадокс Бертрана

   Парадокс Бертрана — проблема классического определения теории вероятностей. Жозеф Бертран описал парадокс в своей работе Calcul des probabilités (1888) в качестве примера того, что вероятность не может быть чётко определена, пока не определён механизм или метод выбора случайной величины.

    Парадокс Бертрана заключается в следующем: рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Наудачу выбирается хорда окружности. Какова вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника?

Бертран предложил три решения, очевидно верных, но дающих различный результат.

Решение 1. Выберем на окружности случайную точку  - первый конец хорды. Второй конец хорды может попасть на одну из трех равных частей окружности: . Причем только при выборе точки  на дуге  длина хорды  будет больше стороны равностороннего треугольника:

 Значит, интересующая нас вероятность равна .

Решение 2. Зададим сначала случайное направление хорды – для этого выпустим из центра окружности случайный луч , которому наша хорда перпендикулярна:

Чтобы задать случайную хорду остается выбрать на радиусе  случайную точку, в которой наша хорда пересекает этот радиус. Если  - середина , то для всех хорд, пересекающих радиус на участке , их длина будет больше стороны правильного треугольника, а на участке - меньше. Значит, искомая вероятность равна .

Решение 3.  Чтобы полностью определить положение хорды, достаточно задать точку C - ее середину. Выберем эту точку случайным образом в нашем круге. Чтобы длина хорды была больше стороны правильного треугольника, ее середина должна попасть в круг, радиус которого вдвое меньше исходного:

 По правилам вычисления геометрической вероятности, интересующая нас вероятность будет равна отношению площадей маленького и большого кругов, т.е. .

Итак, три разных решения – три разных ответа.

В первом случае мы задали хорду, выбрав случайную точку на окружности, во втором - на радиусе, а в третьем - внутри окружности. Каждый раз мы честно исходили из равномерности распределения точки по носителю, чтобы получить равномерность распределения хорд. Но ответы у нас получились очень разные.

Задача в такой формулировке не имеет решения. Ответ зависит от способа задания случайной хорды. Поскольку он в условии явно не указан, то однозначного ответа быть не может.  

1-й вариант верен, когда выбирается случайная точка на окружности.  

2-й вариант - когда задаётся случайная точка на радиусе.

3-й вариант - когда хорда задаётся точкой внутри окружности.

Заключение.

В результате проделанной работы я изучила новый для меня раздел математики «геометрическая вероятность» путем ознакомления с разнообразными источниками, анализа информации и, непосредственно, решения задач. Выделила классы задач, которые могут быть решены с помощью этого понятия.  В  дальнейшем можно продолжить изучение данной темы, т.к. существует множество заданий более высокого уровня сложности.

Некоторые аспекты данной работы могут быть использованы для подготовки к ОГЭ по математике, факультативным занятиям по теме «Геометрическая вероятность», подготовке к олимпиадам. Исследовательская работа является наглядным примером, демонстрирующим, что более глубокое изучение тем, не освещенных достаточно подробно в главах стандартного учебника, может быть не только интересным и познавательным, но также служить для решения каких-либо практических задач или нестандартных вопросов.

Список литературы

1. Е.А.Бунимович, В.А.Булычев «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы» - Москва, «Педагогический университет «Первое сентября», 2005
2. М.Кендаль, П.Моран «Геометрические вероятности» - Москва, «Наука», 1972
3. «Квант», 1991г. №1
4. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник, часть 1. 11 класс» - Москва, «Мнемозина», 2009
5. А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика» - Москва, «Педагогика», 1989
6. З.А.Скопец «Дополнительные главы по курсу математики» - Москва, «Просвещение», 1974
7. А.Шень «Вероятность: примеры и задачи» - Москва, «Издательство МЦНМО», 2007
8. http://www.historydata.ru