МАОУ «Школа с углубленным изучение отдельных предметов № 85»

Научное общество учащихся

 «Модуль и его применение»

Выполнил:

Ученик 8 «А» класса

Григорьев Олег

Научный руководитель

Репьева М.В.

Нижний Новгород

2017 г.

Содержание: 

Введение                                                                                         3        

I.  Определения и основные термины

1.1         Определение модуля                                                        4        

1.2         Свойство модуля                                                                4

1.3         Геометрический смысл модуля                                        5        

II.   Графики.                                                                                

1.     График функции  у = f│х│ .                                                6
2.         График функции  у = │ f (х)│                                                9
3.         График функции  у = │ f │х││                                        12
4.         График функции │у│ =  f (х), где f (х) ≥ 0                                13
5.         График функции   у = |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fn(x)|.                        14
6.     График функции   |у| = f(x).                                                15
7.         График функции   |у| = |f(x)|.                                                17
8.     График функции   заданных неявно, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величин.                        18

III. Уравнения.        

3.1 Уравнения вида |f(x)| = a, где а ≥ 0                                        20

3.2 Уравнение вида  f |x|= а                                                        21

3.3 Уравнение вида  f│х│ = ȹ (х).                                                22

3.4 Уравнение вида │Ʀ1х +b1│±│Ʀ2х +b2│±…± │Ʀnх +bn│ = а         23        

IV.  Неравенства.

4.1 Неравенства с одним неизвестным.                                        25

4.2 Неравенства с двумя неизвестными.                                        26

V.  Решение уравнений и неравенств графическим способом.                28

VI. Заключение                                                                                29        

VII. Список используемой  литературы                                                 30                                        

Введение

Изучая математику можно встретиться с таким математическим понятием, как модуль. Это одно из важнейших понятий алгебры. Меня очень заинтересовала эта тема, и я решил глубже изучить ее.

Цель работы:

показать применение понятия модуля  для решения нестандартных задач.

Задачи:

• познакомиться  с различными способами построения графиков функций с модулем;
• научиться решать уравнения и неравенства с модулем.

I.   Определения и основные теоремы.

1.1 Определение модуля.

Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: │х│=  х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число;    │х│= х.

Это записывается так:

│х│=

1.2 Свойства  модуля.

1) |–a| = |a|

2) |a·в| = |a|·|в|

Докажем это свойство, рассмотрев все случаи:

а) если а = 0, в = 0, или в ≠ 0, или а ≠ 0, но в = 0, то очевидно |a·в| = |a|·|в| = 0;

б) если а > 0 и в > 0, тогда а = |a|; в = |в| и ав > 0.

Значит, |a·в| = ав = |a|·|в|;

в) если а < 0 и в < 0, тогда –а = |a|; –в = |в| и ав > 0.

Значит, |a·в| = ав = (–а)·(–в) = |a|·|в|;

г) если а > 0 и в < 0, тогда а = |a|; –в = |в| и ав < 0.

Значит, |a·в| = –ав = а·(–в) = |a|·|в| и свойство (2) доказано.

3) , где в ≠ 0.

4) |a + в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

5) |a| + |в| = а + в тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

6) |a – в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда ав ≤ 0.

7) Для а1, а2 … ап справедливо

|a1 + а2 + … + ап| ≤ |a1| + |а2| + … + |ап|.

8) .

9) |a|2 = а2.

10) |a| – |в| ≥ 0 тогда и только тогда, когда а2 – в2 ≥ 0.

1.3 Геометрический смысл  модуля.

Известно, что каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояния начала отсчета, или длина отрезка,  рассматривается всегда как  величина неотрицательная.

Вместе с этим каждой точке числовой прямой можно поставить в соответствие направленный отрезок (вектор), который характеризуется длиной и направлением.

Множеству действительных чисел  соответствует множество точек  ориентированной прямой т. е. такой прямой, на которой, кроме начала отсчета и масштаба, установлено положительное направление.

Тогда можно считать, что геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей число.

Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией абсолютной величины данного действительного числа.

Геометрическое толкование смысла │а│ наглядно подтверждает, что │-а│=│а│.

Отсюда легко понять, что │х - а│=│а - х│.

II.   Графики.

                2.1 График функции  у = f│х│ .

Нетрудно доказать, что фунция у = f│х│ яляется четной.

        В самом деле, т.к. │х│= │- х│, то

                                f │х│=  f │- х│,

        Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси  о-у. Отсюда следует, что достаточно построить график функции

                        у = f (х)

для х > 0, а затем достроить его левую часть, симметричную правой относительно оси о-у.

        Если графиком функции

                у = f (х)

является кривая, изображенная на рис.1

                Рис.1

То графиком функции

                у = f │х│

будет кривая, изображенная на рис.2

                Рис.2

Примеры.

1. Построить график функции

у = │х│.

а) Строим график функции функции у = х  для  х >  0 (рис. 3)

                Рис.3

б) Строим для х < 0 часть графика, симметричную построенной относительно оси о-у.

2.  у = 2·│х│- 2

а) Строим график функции 2·│х│- 2 для х >  0 (рис. 4)

Рис.4

б) Достраиваем для  х < 0 часть графика, симметричную построенной относительно оси о-у.

3.  Построить график функции

а) Для х ≥ 0 строим график функции  (рис.5)

                Рис.5

б) для х < 0 строим левую часть графика симметрично правой относительно оси о-у.

2.    График функции  у = │ f (х)│.

По определению абсолютной величины, можно данную функцию рассматривать как совокупность двух функций:

        Отсюда вытекает практическое правило построения графика функции

                у = │ f (х)│.

а) Строим график функции у = f (х) (рис.6)

                Рис.6

б) на участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е. где f (х) < 0, строим кривые, симметричные построенным относительно оси о-х  (рис7).

                Рис.7

        Значит, на промежутках (-∞; а), (b;c) (d; ∞) график функции    у =  f (х) остается без изменения, а на промежутках ), (а;b) и (с;d) график снизу преобразовывается вверх симметрично оси о-х      (рис. 6,7)

        Примечание:  График функции у =  f (х) + Ʀ следует рассматривать как перемещение графика функции у = │ f (х)│по вертикали на величину Ʀ (Ʀ – действительное число).

Примеры:

1. Построить график функции у =│ х - 2│

а) строим график функции у =│ х - 2│ (рис.8 а)

б) график нижней полуплоскости преобразовываем вверх        (рис.8 б ) симметрично оси о-х .

                Рис.8

Ломанная АВС является графиком данной функции.

2. Построить график функции у =│ х²- х - 6│

а) строим график функции у =│ х²- х - 6│

Графиком этой функции будет парабола, пересекающая оси координат в точках (0;- 6), (-2;0) и (3;0), имеющая вершину в точке ½; -25/4) и обращенная вогнутостью вверх.

        На участке, где у< 0, чертим график пунктиром.

б) Симметрично пунктирной кривой относительно оси о-х достраиваем линию графика данной функции (рис 9)

                Рис.9

Графиком служит кривая АВС.

3.  График функции  у = │ f │х││.

График данной функции может быть построен в следующем порядке:

а) Строим график функции у =  f (х) для х ≥ 0.

б) Строим график функции у =  f (- х), для х < 0 (или строим кривую графика, симметричную построенной относительно оси о-у, т.к.  данная функция четная).

                Рис.10

        в) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси о-х.

Пример.

1. Построить график функции у = │ 1 - │х││.

                        Рис.11

4.  График функции │у│ =  f (х), где f (х) ≥ 0.

По определению абсолютной величины, будем иметь:

у =± f(х), где f (х) ≥ 0.

        Следовательно, данная функции является двузначной, а график ее будет симметричен относительно оси о-х.

        Областью определения данной функции являются промежутки значений аргумента х , на которых функция  у =  f (х) неотрицательна.

Порядок построения графика данной функции:

а) Установить область определения функции из условия:

                        f (х) ≥ 0

б) На промежутках определения функции построить график функции

                у = f (х),

в) Построить кривые, симметричные построенному графику относительно оси о-х.

Пример.

 Построить график функции │у│= 1/2·х + 1.

а) Область определения:

1/2·х + 1 ≥ 0  или  х ≥ - 2

б) Для х ≥ - 2стриом график функции у= 1/2·х + 1.

в) Строим кривую, симметричную построенной относительно оси о-х,  и график данной функции построен (рис. 12).

                Рис. 12

Проверим: пусть х = 2, тогда │у│=1/2·2 + 1=2.

Из │у│= 2 следует, что у= ± 2, что подтверждает и график.

5.   График функции   у = |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fn(x)|.

При построении графиков функций такого рода наиболее распространенным является метод, при котором знак модуля раскрывается на основании самого определения модуля.

Как правило, область допустимых значений данной функции разбивают на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве функцию записывают без знака модуля и строят график. Объединение множества решений, найденных на всех частях области допустимых значений функции, составляет множество всех точек графика заданной функции.

Пример.

Построить график функции у = |х – 1| + |х – 3|.

Рис.13

2.6 График функции   |у| = f(x).

Учитывая, что в формуле |у| = f(x), f(x)  0, и на основании определения модуля |у| =

Перепишем формулу |у| = f(x) в виде у =  f(x), где f(x)  0.

Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.

Для построения графиков вида |у| = f(x) достаточно построить график функции у = f(x) для тех х из области определения, при которых f(x)  0, и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |у| = f(x) состоит из графиков двух функций: у = f(x) и у = –f(x).

Пример.

Построить график функции |у| = 1 – х.

1-й способ.

|у| = 1 – х  ⇔ 

2-й способ.

1) Строим график функции у = 1 – х.

2) Отражаем ту часть графика, которая находится выше оси абсцисс симметрично относительно оси абсцисс.

                                                Рис.14

2.7  График функции   |у| = |f(x)|.

Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполняем построение сначала графика у = |f(x)|, а затем множество точек, координаты которых удовлетворяют условию |у| = |f(x)|.

а)  Строим график функции у = f(x).

б) Часть графика f(x) < 0, симметрично отображаем относительно оси ОХ.

в)  Полученный график симметрично отражаем относительно оси ОХ.

Пример.

Построить график уравнения |у| = |1 – х|.

Р е ш е н и е.

1-й способ.

у| = |1 – х|  ⇔ 

8. График функции, заданных неявно, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины.

а) Построить график функции  |у| + |x| = а. Здесь необходимо а ≥ 0. Из данного равенства видно, что   |x| ≤  а     и     |у| ≤ а, т.е.область определения функции: - а ≤  x ≤ а и область изменения функции  - а ≤  x ≤ а.

Так как |- у|=| у| и  |- x |=| x |, то график данной функции симметричен относительно осей координат. Поэтому строим график в 1-й четверти, а затем достроим его во 2-й, 3-й и 4-й четвертях.

При  x ≥ 0 и у ≥ 0, у+x = а; график этой прямой достроить легко. Графиком данной функции являются стороны квадрата (рис. 16)

                Рис.16

б) Построить график функции  |у| - |x| = а, где а ≥ 0. По определению абсолютной величины, имеем: | у|=| x |± а.

График данной функции симметричен относительно осей координат, поэтомй строим график для x ≥ 0 и у ≥ 0. Тогда  у = x  +  а   и у = x  -  а (рис.17). Достраиваем график во 2-й, 3-й и 4-й четвертях.

        Рис.17

III. Уравнения.

3.1 Уравнения вида |f(x)| = a, где а ≥ 0        

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f(x)= а и  f(x)=- а, все решения которых будут решениями данного уравнения.

Пример.

Решить уравнение | x -3|=2

По смыслу абсолютной величины имеем совокупность уравнений  или

                                           откуда х1=5 х2=1

3.2 Уравнение вида  f |x|= а

        По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

  или  

        В силу четности  F = f |x|= а    ее  корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. если а- корень данного уравнения, то и              (-a )также будет корнем данного уравнения.

        Следовательно, достаточно решить лишь одну из этих двух систем.

Пример.

Решить уравнение  х²-| х| =6 Рассматриваем систему

Уравнению х²-| х| =6 удовлетворяют числа x1=-1 и  x2=3, из которых условию х≥ 0  удовлетворяет лишь x2=3

        Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и -3.

Для построения графика введем функции y= х²- х  и y=6.  Абсцисами их точек пересечения будут точки 3 и -3.

 Рис.18

3.3 Уравнение вида │ f(х)│ = ȹ (х).

Данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

Пример.

Решить уравнение │2х - 5│ = х – 1

Решению подлежат две системы:

удовлетворяют данному уравнению.

                Рис.19

3.4 Уравнение вида │Ʀ1х +b1│±│Ʀ2х +b2│±…± │Ʀnх +bn│ = а.

Пример 1.

│ х-1 │+ │ х-2 │=1

х-1=0,          х-2=0

х=1                х=2

                  1             2                        х

I        -                +                +

II        -                -                +

1. х≤1                                                2) 1 <  х ≤  2

( 1- х )+ ( 2- х )=1                                ( х - 1)+ ( 2- х )=1

1. х + 2- х =1                                         х - 1+  2- х =1

-2 х +3=1                                        х - х =1+1-2

-2 х =1-3                                                0* х=0

-2 х =-2                                                х – любое число

х =1                                                 

3. х>2

2 х = 1+1+2

2 х = 4

х = 4/2

х =2

Ответ: 1 ≤  х ≤  2.

IV.  Неравенства.

4.1 Неравенства с одним неизвестным.

Рассмотрим неравенство:

 |f(x)| < a   и    |f(x)| <b

Где  a и b действительные неотрицательные числа, а f(x) – функция одного аргумента.

1. Если |f(x)| < a , тогда по определению абсолютной величины

f(x) < a , если  f(x)≥0, или  0≤ f(x)< a

и

- f(x) < a, если  f(x)≤0, или  - a <  f(x)≤ 0,

откуда следует, что данное неравенство эквивалентно системе неравенств:

- a <  f(x) <  a.

2. 2. Если |f(x) |>  b, то по определению абсолютной величины

f(x) > b , если  f(x)≥0, или  f(x) > b

-f(x) > b , если  f(x) ≤0, или  f(x) <- b,

откуда следует что данное неравенство эквивалентно совокупности неравенств:

f(x) > b и f(x) <- b.

Проверка  верности решения выполняется по общим правилам, т.е. состоит из двух пунктов: установления верности найденного предела и установления верности выбора знака  >  или <.

Пример.

│2x - 5│= 7

По смыслу данного неравенства переходим к системе:

-7< 2x-5 < 7

Откуда  -2 < 2x <12 (после прибавления числа 5 к обеим частям неравенства), или -1 < 0 < 6.

Проверка. 1. При x= - 1, │2(-1) - 5│= 7, при x=6  │2*6  - 5│= 7

2.При x=0, т.к. -1< 0 <6,  │2*0  - 5│= 5<7  (все верно).

Ответ:  -1 < x < 6.

4.2 Неравенства с двумя неизвестными.

Рассмотрим решения неравенств с двумя аргументами – неизвестными.

Решениями таких неравенств чаще всего являются плоские фигуры.

Пример.

Решить неравенство │х- y │< 2

По смыслу неравенства имеем:   -2   <   х- y   <   2

Или       или      или  

Каждому значению х соответствует целый промежуток значений 

Графическое представление решений данного неравенства.

Неравенству  удовлетворяет полуплоскость вниз от прямой  , а неравенству   - полуплоскостьвверх от прямой . Следовательно, данному неравенству удовлетворяет множество точек полосы, заключенной между прямыми  и

                Рис.22

V.  Решение уравнений и неравенств графическим способом.

Решите уравнение |х – 1| + 2х –5 = 0.

VI.  Заключение.

Итак, в процессе  проделанной работы я научился строить графики с модулем различных видов. Выяснил, что  для построения всех типов графиков надо достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе. Также я ознакомился с понятием четной и нечетной функции.

Научился решать уравнения и некоторые типы неравенств.

Презентация, созданная мной в процессе работы может послужить в качестве учебного пособия для подготовки к экзаменам и олимпиадам различного уровня.

VII.  Список используемой литературы:

1. И.И. Гайдуков. Абсолютная величина./  Москва. Просвещение.1968. – с.24-70
2.  Алгебра/  8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович / Москва. Мнемозина.2010. – с.76-82.
3. Этот коварный модуль. Методические рекомендации.