Проект "Неполные квадратные уравнения"

Слайд 1

«Неполные квадратные уравнения» т ема: Выполнили ученики 8д класса: Петку Витя, Петку Виктория, Андреев Д, Чудакова М. МАОУ « Полесская СОШ» учитель математики: Орлова С.Г. 2018 год « Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике». Лодж О .

Слайд 2

Краткая аннотация проекта. Проект разработан с использованием ИКТ и элементами модульной педагогической технологии. Он может быть проведен с учащимися 8-9 классов. Проект охватывает изучение тем: « Квадратное уравнение и его корни » , « Формула корней квадратного уравнения » . Основная цель - создать такую систему, которая бы обеспечивала бы образовательные потребности каждого ученика в соответствии с его склонностями, интересами и возможностями. Данный проект формирует понятия квадратного уравнения, умение решать неполные квадратные уравнения, умение применять формулу корней квадратного уравнения. Знакомит учащихся с методом выделения полного квадрата, с формулой корней приведенного квадратного уравнения, формула корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом., а также рассмотрены некоторые нестандартные приемы решения квадратных уравнений. При проведении проекта с опорой на формирующее оценивание учитель помогает ученикам в развитии их навыков решению квадратных уравнений разными способами, организует самостоятельные исследования по учебной теме. План оценивания в ходе проекта направлен на реализацию деятельного подхода в обучении, в центре внимания учебные потребности ребенка, развитие навыков самоуправления обучением, самооценивание , взаимное оценивание.

Слайд 3

1.Аннотация проекта. 2. Цели. 3. Ожидаемые результаты. 4. Вопросы, направляющие проект. 4.1 Основополагающий вопрос; 4.2 Проблемные вопросы; 4.3 Учебные вопросы. 5. Теоретический материал. 6. Дидактический материал. 7. Критерии оценивания. 8. Литература. Содержание.

Слайд 4

Изучив этот проект, учащиеся должны: Знать, что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, терему Виета и обратную ей. Уметь решать квадратные уравнения выделением квадрата двучлена, решать квадратные уравнения по формуле, решать неполные квадратные уравнения, решать квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета, использовать теорему Виета для нахождения коэффициентов и свободного члена квадратного уравнения. Цели: Ожидаемые результаты обучения: После завершения проекта учащиеся смогут: Решать квадратные уравнения различными способами

Слайд 5

Вопросы, направляющие проект Основополагающий вопрос: Можем мы решать неполные квадратные уравнения, не изучая их отдельной группой . Облегчает ли их изучение в дальнейшем решение квадратных уравнений Проблемные вопросы: Какая роль представляется неполным квадратным уравнениям в математике. Почему их нужно изучать отдельной группой ? Учебные вопросы: 1. Что такое квадратное уравнение? 2. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями ? 3. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов 4. Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида ? Показать на примерах

Слайд 6

Определение квадратного уравнения, его виды. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х - переменная , а, b и с -некоторые числа, причем, а ≠ 0. Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением . Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах 2 + с = 0, где с ≠ 0; 2) ах 2 + b х = 0, где b ≠ 0; 3) ах 2 = 0. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a : х 2 + px + q = 0

Слайд 7

Различные способы решения квадратных уравнений. 1) Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х ( х + 12) – 2 ( х +12) = ( х + 12)( х – 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: ( х + 12)( х – 2) = 0. Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х – 24 = 0.

Слайд 8

2) Метод выделения полного квадрата Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3. В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х , а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = ( х + 3) 2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2. Имеем: х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 = ( х + 3) 2 – 9 – 7 = ( х + 3) 2 – 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: ( х + 3) 2 –16 = 0, т.е. ( х + 3) 2 = 16. Следовательно, х = 3 = 4, х 1 = 1, или х +3 = - 4 , х 2 = – 7.

Слайд 9

Решение неполных квадратных уравнений. 1. Если ах 2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму: 1) найти х 2 ; 2) найти х. Например, 5х 2 = 0 . Разделив обе части уравнения на 5 получается: х 2 = 0, откуда х = 0. 2. Если ах 2 + с = 0, с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму: 1) перенести слагаемые в правую часть; 2) найти все числа, квадраты которых равны числу с. Например, х 2 - 5 = 0, х 2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два и - Таким образом, уравнение х 2 - 5 = 0 имеет два корня: x 1 = , x 2 = - и других корней не имеет. 3. Если ах 2 + b х = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму: 1) вынести общий множитель за скобки; 2) найти x 1 , x 2 . Например, х 2 - 3х = 0. Перепишем уравнение х 2 – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x 1 = 0, x 2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.

Слайд 10

Вывод: 1) если уравнение имеет вид ах 2 = 0, то оно имеет один корень х = 0; 2) если уравнение имеет вид ах 2 + b х = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах + b ) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x 1 = 0; x 2 = - ; 3) если уравнение имеет вид ах 2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах 2 = - с и далее х 2 = - В случае, когда - 0,уравнение х 2 = < - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах 2 +с=0 ). В случае, когда - > 0, т.е. = m , где m >0, уравнение х 2 = m имеет два корня - = = - Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

Слайд 11

Решение полных квадратных уравнений ах 2 + bx + c = 0, где a , b , c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0. 1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Например, 2х 2 + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7. D = b 2 – 4ас = 4 2 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней. 2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах 2 + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле Например, 4х – 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = - 20, с = 25. D = b 2 – 4ас = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле 3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах 2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; (1) Например, 3х 2 +8х – 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = -11. D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4*3*(-11) = 64 + 132 = 196. Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

Слайд 12

Вывод: Если D < 0, то квадратное уравнение ах 2 + bx + c = 0 не имеет корней. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле Если D > 0, то квадратное уравнение ах 2 + bx + c = 0 имеет два корня ; .

Слайд 13

Решение приведенных квадратных уравнений Теорема Виета . Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иначе говоря, если x 1 и x 2 - корни уравнения х 2 + px + q = 0, то x 1 + x 2 = - p , x 1 x 2 = q . Теорема, обратная теореме Виета . Если для чисел x 1 , x 2, p , q справедливы формулы то x 1 и x 2 - корни уравнения х 2 + px + q = 0 . а) Если свободный член q п риведенного квадратного уравнения положителен ( q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p . Если p >0 , то оба корня отрицательные, если p <0 , то оба корня положительны. б) Если свободный член q приведенного квадратного уравнения отрицателен ( q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p <0 , или отрицателен, если p >0.

Слайд 14

Метод переброски. Рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0; (1) Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта: D = b 2 – 4ac и если D > 0 , то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x 1 и x 2 : Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение y 2 + by + ac = 0 . (2) Первый коэффициент у этого уравнения равен 1 , а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1) . Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c ). Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b 2 – 4ac , т.о. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1 ). Корни уравнения (2): y 1,2 = (- b ± √D ) / 2 .

Слайд 15

Если теперь корни x 1,2 сравнить с корнями y 1,2 , то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a . Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски». Пример 1 . Решить уравнение 6x 2 – 7x – 3 = 0. Решение. Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета: y 2 – 7y – 3 · 6 = 0; y 2 – 7y – 18 = 0. По теореме Виета y 1 = 9; y 2 = - 2. Теперь вернемся к переменной x . Для этого разделим полученные результаты y 1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим: x 1 = 9/6; x 2 = - 2/6. После сокращения будем иметь x 1 = 1,5; x 2 = - 1/3. Ответ: -1/3; 1,5.

Слайд 16

Свойства коэффициентов квадратного уравнения . А. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0. 1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = 2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = – 1, х 2 = – Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0. Решение . Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = Ответ : 1; – Решим уравнение 132х 2 + 247х + 115 = 0 Решение. Т. к. а- b +с = 0 (132 – 247 +115=0), то х 1 = - 1, х 2 = - Ответ: - 1; -

Слайд 17

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то D = k 2 – ac и формулу корней х 1,2 = можно записать в виде х 1,2 = Решим уравнение 3х 2 – 14х + 16 = 0. Решение . Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7; D = k 2 – ac = (– 7) 2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D >0, два различных корня; х = Ответ : 2;

Слайд 18

Графическое решение квадратного уравнения Если в уравнении x 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x 2 = – px – q . Построим графики зависимостей у = х 2 и у = – px – q . График первой зависимости – парабола , проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая . Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; - прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Слайд 19

Решим графически уравнение х 2 – 3х – 4 = 0. Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4 Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х 1 = – 1 и х 2 = 4. А В

Слайд 20

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 ( см. Брадис В.М . Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990). Таблица XXII . Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ = Полагая ОС = р , Е D = q , ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и С DF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы. 1. Для уравнения z 2 – 9 z + 8 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 8, 0 и z 2 = 1, 0 (рис. 12). 2. Решим с помощью номограммы уравнение 2 z 2 – 9 z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,получим уравнение z 2 – 4, 5 + 1 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Слайд 21

Геометрический способ решения квадратных уравнений. В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми . Примеры Решим уравнение х 2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39». Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х , на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 , следовательно, площадь каждого равна 2 Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВС D , достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2 , а площадь 6 6 2 6 2 x 2 2 6 2 6 D x C A х B S = х 2 + 10х = 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВС D , т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - 2 – 2 = 3 Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6 ), т.е.

Слайд 22

2 . А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у – 16 = 0. Решение представлено на рис., где у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9. Решение . Выражения у 2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = – 8. у 2 3у 3у 9 у у 3 3

Слайд 23

Дидактический материал к работе. Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители: а) х 2 – х = 0; е) х 2 – 4х + 4 = 0; б) х 2 + 2х = 0; ж) х 2 + 6х + 9 = 0; в) 3 х 2 – 3х = 0; з ) х 2 + 4х +3 = 0; г) х 2 – 81 = 0; и) х 2 + 2х – 3 = 0. д ) 4 х 2 – = 0; 2. Решите уравнения по формуле: а) 2х 2 – 5х + 2= 0 г) 4х 2 – 12х +9 = 0 б) 6х 2 + 5х + 1=0 д ) 10х 2 – 6х + 0,9 = 0 в) 3х 2 – 7х – 1 = 0 е) 2х 2 – 3х + 2 = 0 3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня: 1) х 2 – 2х – 15 = 0 7) х 2 – 2х + 1 = 0 2) х 2 + 2х – 8 = 0 8) х 2 + 4х + 4 = 0 3) х 2 + 10х + 9 = 0 9) х 2 – 6х + 9 = 0 4) х 2 – 12х + 35 = 0 10) 4х 2 + 7х – 2 = 0 5)3 х 2 +1 4х + 16 = 0 11) 5х 2 – 9х – 2 = 0 6) х 2 – 5х + 6 = 0 12) х 2 – 11х + 15 = 0 4. Решите уравнения, используя метод «переброски»: 1) 2х 2 – 9х +9 = 0 5) 3х 2 + х – 4 = 0 2) 10х 2 – 11х + 3 = 0 6) 5х 2 – 11х + 6 = 0 3) 3х 2 +11х +6 = 0 7) 2х 2 + х – 10 = 0 4) 4х 2 +12х + 5 = 0 8) 6х 2 +5х – 6 = 0 5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов: 1) 5х 2 – 7х + 2 = 0 5) 839х 2 – 448х – 391 = 0 2) 3х 2 + 5х – 8 = 0 6) 939х 2 + 978х +39 = 0 3) 11х 2 + 25х – 36 = 0 7) 313х 2 + 326х + 13 = 0 4) 11х 2 + 27х +16 = 0 8) 2006х 2 – 2007х + 1 = 0 6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента: 1) 4х 2 – 36х + 77 = 0 3) 4х 2 + 20х + 25 = 0 2) 15х 2 – 22х – 37 = 0 4) 9х 2 – 12х + 4 = 0

Слайд 24

7. Решите приведенные квадратные уравнения по формуле: 1) х 2 – 8х – 9 = 0 3) х 2 + 18х + 81 = 0 2) х 2 + 6х – 40 = 0 4) х 2 - 56х + 64 = 0 8. Решите графически уравнения: 1) х 2 – х – 6 = 0; 4) х 2 – 2х – 3 = 0; 2) х 2 – 4х + 4 = 0; 5) х 2 + 2х – 3 = 0; 3) х 2 + 4х +6 = 0; 6) 4х 2 – 4х – 1 = 0. 9. Решите с помощью номограммы уравнения: 1) z 2 – 7 z + 6 = 0; 4) z 2 – z – 6 = 0 ; 2) z 2 + 5 z + 4 = 0; 5) z 2 – 11 z + 18 = 0; 3) z 2 – 4 z + 4 = 0; 6) z 2 – 2 z + 3 = 0.

Слайд 25

Критерии оценивания Формы оценивания: промежуточное (формирующее) оценивание: - самооценка, взаимооценка участников проекта своей деятельности для выявления потребности в необходимой или дополнительной информации; процесса в понимании теоретического материала. Способы оценивания : тесты, проверочные работы, самостоятельные работы, подготовленные учителем и соответствующие учебной программе и стандарту (Раздаточный материал, дидактический материал). Итоговое оценивание : - оценка содержания итогового материала, его соответствие стандарту и учебной программе; - оценка навыков совместной деятельности (групповой) и индивидуальной; - оценка навыков мышления (достигнута цель).

Слайд 26

1.Ю.Н Макарычев, Н.Г. Миндюк , К.И. Нешков , С.Б. Суворов. Под ред. С.А. Теляковского . Алгебра: Учебник для 8 класса- изд.- М:Просвещение,2010. 2.Жохов В.И., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидиктические материалы по алгебре для 8 класса.- 15изд.- М.: Просвещение, 2010. 3. Энциклопедический словарь юного математика.А.П.Савин-М:Педагогика,1985- 4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – М., Просвещение, 1990 5 . http :// www . uchportal . ru / load /27-1-0-29503 http :// ru . wikipedia . org / wiki /% CA % E 2% E 0% E 4% F 0% E 0% F 2% ED % EE % E 5_% F 3% F 0% E 0% E 2% ED % E 5% ED % E 8% E 5 http :// www . egesdam . ru / page 221. html 6.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004 7. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988 8. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982 Литература:

Слайд 27

Номогра́мма ( греч. νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных , позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул