Проектная работа "Оптимальное расположение пешеходных дорожек во дворах многоквартирных домов

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся

“ШАГИ В НАУКУ”

Направление: математика

Тема: «Оптимальное расположение пешеходных дорожек во дворе»

Макарова Ангелина

МБОУ СОШ №14 г. Красногорск
8 класс

Научный руководитель:
Хлебанов В.Н.

учитель физики, математики

г. Красногорск 2019/2020 учебный год

Аннотация

Как проложить пешеходные дорожки во дворе, чтобы, с одной стороны, было удобно перейти с одного угла двора на другой, а с другой стороны, затратить минимальное количество материалов при постройке этих дорожек? В данной работе предлагается решение этой проблемы.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение………………………………………………………………………………………2

2. Обзор литературы…………………………………………………………………………….2

3. Методы исследования………………………………………………………………………...3

4. Результаты и обсуждения…………………………………………………………………….3

     4.1. Определение оптимальной схемы конфигурации дорожек в случае

            квадратного двора..……..………………………………………………………………..3

     4.2. Определение условия минимальной протяженности дорожек для двора в

            форме квадрата…...………………………………………………………………………4

     4.3. Определение условия минимальной протяженности дорожек для двора в

            форме  прямоугольника………………………………………………………………….4

5. Выводы………………………………………………………………………………………...5

6. Список литературы……………………………………………………………………………6

1. ВВЕДЕНИЕ

Городские дворы в районах новостроек обычно имеют квадратную или прямоугольную форму. Очень часто возникает необходимость пересечь двор наискосок. Для этого во многих дворах проложены пешеходные дорожки.

В данной работе производится попытка определить оптимальную конфигурацию пешеходных дорожек, чтобы, с одной стороны, проходимое расстояние из угла в угол было минимальным, а с другой стороны, общая протяженность дорожек также была минимальной.

Рабочая гипотеза состоит в том, что можно определить условия (вывести формулу), при которых длина пешеходных дорожек во дворе дома будет оптимальной с точки зрения «кратчайшего пути» и «минимальной общей длины».

Предметом исследования является поиск оптимальной длины пешеходных дорожек во дворе.

Объектом исследования являются пешеходные дорожки во дворе.

Определение оптимальной конфигурации пешеходных дорожек позволит сэкономить строительные материалы, удешевить строительство пешеходных дорожек во дворах домов, что обусловливает актуальность данной работы.

Целью исследования является определение оптимальной конфигурации пешеходных дорожек двора в районах новостроек.

Для достижения поставленной цели было запланировано выполнение следующих задач:

1) Определить оптимальную схему конфигурации пешеходных дорожек;

2) Получить формулу для вычисления длины пешеходных дорожек во дворе, имеющем форму квадрата и определить параметры, при которых эта длина минимальна;

3) Получить формулу для вычисления длины пешеходных дорожек во дворе, имеющем форму прямоугольника,  определить параметры, при которых эта длина минимальна и вывести формулу для расчета минимальной длины пешеходных дорожек при оптимальной схеме расположения;

3) Проанализировать полученные в ходе работы результаты и сделать выводы.                                          

2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Для выполнения необходимых расчетов нам понадобится знание геометрии [1] (получение формулы для расчета длины дорожек)  и алгебры (оптимальное соотношение длин отдельных дорожек).[2] Так как вычислять производную мы еще не умеем, для этого (по совету научного руководителя) можно воспользоваться онлайн калькулятором.[3]

3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Представим для начала обычный квадратный двор. На первый взгляд, оптимальная конфигурация дорожек выглядит следующим образом (см. рис.1). Но мы предложим иную конфигурацию (см. рис. 2) и докажем, что она более оптимальна.

         Рис. 1                                                              Рис.2

Для этих целей нам потребуется теорема Пифагора. Затем, с помощью онлайн калькулятора[3]. найдем минимальное значение этой длины.

По такой же схеме мы будем действовать при определении оптимальной длины дорожек в случае прямоугольного двора.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЯ

4.1. Определение оптимальной схемы конфигурации дорожек в случае квадратного двора.

Итак, у нас есть две возможные конфигурации дорожек (рис. 1, 2). Разберем случай, когда дорожки являются диагоналями квадрата (рис. 3).

Пусть «а» – длина одного дома, тогда общая протяженность дорожек S вычислим по теореме Пифагора [1]:

Рис. 3

Теперь разберем случай, когда дорожки расположены так, как показано на рис. 4,

        Рис. 4

Обозначим отрезок ОF , как «х», а длину дома обозначим «а». Тогда так же по теореме Пифагора [1] выразим длину всех дорожек через х и а:  

Нетрудно убедиться (например, подставив любые возможные значения), что длина дорожек в первом случае больше, чем во втором. Таким образом, оптимальной схемой прокладки пешеходных дорожек является схема, изображенная на рис. 2.

4.2. Определение условия минимальной протяженности дорожек для двора в форме квадрата.

Теперь нам надо найти такое значение х, при котором протяженность дорожек S будет минимальной. Так как в 8 классе нахождение минимумов функций не проходят, пришлось воспользоваться онлайн калькулятором [3] для вычисления минимума. После введения в калькулятор нашего уравнения получилось, что значение х , при котором длина дорожек минимальна, вычисляется, как:

4.3. Определение условия минимальной протяженности дорожек для двора в форме прямоугольника.

Изобразим дорожки для прямоугольного двора (см. рис. 5). Используя теорему Пифагора [1], выразим длину дорожек S через х:

        Рис. 5

После загрузки полученного выражения в калькулятор [3], мы получим абсолютно такое же значение для х, при котором общая длина дорожек минимальна:

Если мы подставим полученное значение х в выражение для определения длины пешеходных дорожек, то получим:

5. ВЫВОДЫ

В ходе работы была определена схема оптимального расположения пешеходных дорожек во дворе. Кроме этого были определены условия (при каком х), при которых длина дорожек будет оптимальна, а также получена формула для вычисления минимальной длины дорожек при оптимальной схеме. Таким образом, главная цель исследовательской работы была достигнута.

Использование данной формулы позволит строителям сэкономить строительные материалы, т.е. удешевить создание пешеходных дорожек, а городским жителям пересекать двор достаточно быстро.

Представляется, что развитие данного направления (поиск оптимальных вариантов чего-либо) актуально, поскольку позволит хотя бы немного снизить стоимость городских квартир, чья стоимость для многих является слишком большой.

Если бы подобные математические методики использовались постоянно и повсеместно, многие проблемы, связанные с застройкой, удалось бы решить.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. «Геометрия 7-9 классы» учебник / Москва: Просвещение, 2010 г. – 384 с.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений» /Москва: Просвещение, 2007 г. – 272 с.

2. https://umath.ru