Прогрессия в нашей жизни

Частное общеобразовательное учреждение «Школа-интернат №24среднего общего образования открытого акционерного общества

«Российские железные дороги»

Индивидуальный проект

 на тему

«Прогрессия в нашей жизни»

по дисциплине

«алгебра»

Обучающийся

Пулярова Татьяна Евгеньевна

9 Б класс

Руководитель проекта

 ФроловаОксана Николаевна

« » 2020_________

г.Тайшет 2020

Содержание:

Введение……………………………………………………….…………………….3

Глава I………………………………………………….………………......………..5

1.1 История вопроса................................ …………….……………………….....5

Глава II. Теоретические сведенья о прогрессиях…………………………………8

2.1 Арифметическая прогрессия…………………………...……………………....8

2.2 Геометрическая прогрессия………………………………………………….....8

Глава III. Задачи……………………………………………………….…………...10

3.1 Старинныезадачи ……………………………………………….…...………..10

3.2 Задачи с экономическим содержанием………….…………………….……..11

3.3 Задачи по микробиологии и медицине………………….………………..….15

Глава IV. Прогрессия в различных сферах жизни………………………………16

4.1 В спорте……...………………………………………………………...……….16

4.2 В физике……………………………………………………………...……...…16

4.3 О финансовых пирамидах………………………………………………….…16

4.4  Прогрессии в литературе……………………………………………………..17

Глава V. Исследование…………………………………………………….….......18

5.1 Прогрессия в моей жизни……………………………………………………..18

Заключение…………………………………………………………………………21

Использованная литература………………………..……………………………..22

Приложение…………………………………………….……………..……………23

Введение

Законы математики, имеющие какое-либо

отношение к реальному миру, ненадежны,

а надежные математические законы

не имеют отношения к реальному миру.

Альберт Эйнштейн

Актуальность

Математика давно стала частью нашей жизни. На уроках алгебры в 9 классе мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии и сумму первых членов прогрессии. Оказалось, что используя формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии можно найти расстояние, которое пройдет свободно падающее тело за пятую секунду после начала падения.

Я стала обращать внимание, что в средствах массовой информации часто звучат выражения «…увеличивается с геометрической прогрессией…», «…уменьшается по закону арифметической прогрессии…» и др.

Передо мной стал вопрос: в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях? Можно ли увидеть прогрессию в природе, экономике других областях человеческой жизни.

Таким образом, объектом моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

1.   Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

2.   Выяснить:

- когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;

- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

3.  Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?  

4. Найти: задачи на применение прогрессий в нашей жизни. 

Гипотеза исследования: на уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

 Предмет исследования: практическое применение прогрессий.

 Методы исследования:

Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии, и в медицинских справочниках.

Глава I.

1.1 История вопроса

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Прогрессия - последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия».

Сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

Натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. В развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н.Шюке и К. Гаусс.

В трудах  АРХИМЕДА (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию.

По преданию, когда-то очень давно жил на свете индусский царь Шерам. Научился он игре в шахматы, был восхищен ее остроумием и разнообразием  в ней положений.

И приказал он слугам позвать изобретателя игры Сета. Он желал достойно наградить изобретателя за прекрасную игру, которую он придумал. Дал он возможность Сету самому назвать награду, которая его удовлетворит, и он получит ее.

Сета сказал, чтобы повелитель, приказал выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. Шерам удивленно переспросил, что простое пшеничное зерно? Сета сказал, что да. И продолжил, что за вторую клетку 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, и так до 64-й клетки. Царь Шерам рассмеялся.

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться. Но в целом зерен должно было бы получиться18.446.744.073.709.551.615 (Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать).

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.  В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

        1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в).

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».

Пифагор и последовательности

Все когда-то учились умножать (а кто-то, может, и сейчас учится) и наверняка видели таблицу Пифагора. В учебниках её часто рисуют размером 10×10, хотя можно продолжать таблицу до бесконечности.На первый взгляд кажется, что в таблице Пифагора нет ничего интересного — число в строке умножается на число в столбце и результат пишется в соответствующую клетку. Стало быть, нетрудно догадаться, на сколько различаются соседние числа в каждом столбце или строке (ответ: на номер соответственно строки или столбца).

А что, если взять диагонали таблицы? Например, главную диагональ, идущую через клетки 1, 4, 9, 16... (на рисунке они закрашены жёлтым). Видно, что все числа на этой диагонали — квадраты. Оно и понятно, мы же умножаем номер строки на точно такой же номер столбца: N · N = N2. Таким образом, мы можем наперёд предсказать, что N-м числом на диагонали будет число N2.(Приложение 1)

Числа на второй диагонали (соседней сверху к главной) выглядят более хитро: 2, 6, 12, 20, 30, ... (на рисунке они закрашены зелёным). Какой закономерности они подчиняются?

Из построения таблицы Пифагора ясно, что N-е число в этой последовательности равно N · (N + 1), или N2 + N. Иначе говоря, N-е число на второй диагонали больше N-го числа на главной диагонали ровно на N.  (Приложение 2)

Оно и понятно — ведь такие два числа стоят в одной строке.

Числа на следующей (третьей) диагонали (3, 8, 15, 24, ...) что-то напоминают. Да это же квадраты, уменьшенные на единицу: 3 = 22 − 1, 8 = 32 − 1, 15 = 42 − 1 и так далее!Это нетрудно доказать. Ведь N-е число на третьей диагонали равно N · (N + 2), то есть N2 + 2N. Если прибавить 1, получится N2 + 2N + 1, а это как раз (N + 1)2. Вот и получается, что N-е число на третьей диагонали равно (N + 1)2 − 1.

 Общее   правило   для   суммирования   любой конечной   геометрической  прогрессии  встречается  в книге Н.   Шюке  «Наука о числах», увидевшей свет  в 1484 году.                                                        

Величайший немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс (1777-1855) родился в городе Брауншвейг (Германия). Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». Первый успех пришёл к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму целых чисел от 1 до 100. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:

    1+2+3+4+…+98+99+100 =  (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=

                                            =101 · 50 =5050.

Глава II.  Теоретические сведения о прогрессиях

2.1. Арифметическая прогрессия.

Определение.     

 Арифметической прогрессией называется  последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен  предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью  арифметической прогрессии.

Каждая арифметическая прогрессия имеет вид:

a,  a + d,  a + 2d, a + 3d, ... иобозначается  (an)

Свойства.

Общий член арифметической прогрессии: an = an + d(n - 1)

Характеристическое свойство арифметической прогрессии n, т.е. каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предыдущим и последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле  S = (a1+an)*n\2 или  Sn = (2an+(n-1)d)*n\2

2.2. Геометрическая прогрессия.

Определение.   

Числовая последовательность, первый член которой отличен  от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Условия, при которых геометрическая прогрессия будет существовать:

1) Первый член не может быть равен нулю, т.к при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль.

2) Число, на которое умножаются члены прогрессии не должно быть равно нулю, по выше изложенным причинам.

Геометрическая прогрессия имеет вид: b1,b1q,b1q2,b1q3,b1q4,b1q5

Свойства.

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой  q.

 Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т.еq.              

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула: bn+1= b1*(q)n-1

Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:Sn= bn*q-b1/q-1                                      

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что

b1bn = b2bn+1 = ..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Глава III. Задачи

1. Старинные задачи

Задача №1 (из учебника Магнитского):

Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

Решение:  

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7 S14=(7+59)/2*14=462 Ответ: все чарки весят 462 лата.

Задача №2 (из учебника Магнитского):

У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение: 

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего

74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19608.

С точки зрения геометрической прогрессии имеем:

b1 =7

q =7

n=5

S= 

Задача №3 (из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона)

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)

Решение: 

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч) Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч) Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч) За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы. Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч) Ответ: за 64 часа.

Задача №4

10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»

Решение: 

Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.

A + 7d = 6, 5*60/3 = (2A +9d)*10/2,

100/5 = 2A+9d, A= 6-7d. 2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.

Ответ. – 1, 6.

2. Задачи с экономическим содержанием

Задача 1.

31 декабря Дмитрий взял в банке 429 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5 %), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными ежегодными платежами? [n2]

Решение:

Если сумма кредита – , процентная ставка – , ежегодный платеж (транш) – , количество лет за который планируется выплатить кредит ,  тогда сумма выплат, используя формулу (2),   составит:  

 где                           (3)

Подставляем данные задачи в формулу (3):

Ответ: по 262205 рублей в год. 

Задача 2.

10-го марта клиент взял кредит в банке на следующих условиях:

- срок кредита 24 месяца;

- 1-го числа каждого следующего месяца долг возрастает на 1,2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 9-ое число каждого месяца следует погасить часть долга, так чтобы на 10-ое число каждого месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму.

Какая сумма была взята в кредит, если известно, что общая сумму выплат равняется 1,035 млн. рублей? [3].

Решение:

Общую сумму выплат можно разделить на две части: основной долг (сумма, взятая в кредит)  и выплата по процентам. Причем основной долг разбит на 24 равных платежа. Для наглядности составим таблицу, предварительно обозначив за руб.  – сумму, взятую в кредит. Тогда по условию задачи долг каждый месяц должен уменьшаться ровно на   (руб.).

Таблица 1.

Таблица данных

Составим уравнение:

Заметим, что  в скобках – сумма n первых членов арифметической прогрессии:

Формула суммы п членов арифметической прогрессии:

тогда

Ответ: в кредит было взято 900000 рублей. 

Задача №3

Под какие проценты сделан вклад в банк, если сумма на счете каждый месяц увеличивается:

1).в 1,1 раза
2). 1,05 раза, 
3).в 1,5 раза
4). в 1,15 раза?

В каждом случае определить сумму на счете через 4 месяц, считая, что начальный вклад составляет 100000 руб.

Решение:

q1 = 1,1
q2 = 1,05
q3 = 1,5
q4 = 1,15
q = 1 + p/100
p1 = 10%
p2 = 5%
p3 = 50%
p4 = 15%
b1 = 100000 b5=b1.q4
n = 4,

1). b5 = 100000.1,14 = 146410 (руб.)
2). b5 = 100000.1,054 = 121550146410 (руб.)
3). b5 = 100000.1,54 = 506250146410 (руб.)
4). b5 = 100000.1,154 = 174900146410 (руб.)

Вывод: чем больше ставка, тем больше доход.

3.3 Задачи по микробиологии и медицине

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)

Решение. Составим математическую модель задачи:

        5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

   ап=а1+d(n-1),    

  40=5+5(п-1),     

    п=8,            

  Sп=((a1+aп)n)/2,  S8 =(5+40)·8:2=180,

  180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. 

ГлаваIV. Прогрессия в различных сферах жизни

4.1 В спорте

В спорте …Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?[Задача № 471 Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)

Дано: a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

Решение: Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2;            Условию  задачи  удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n;            n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn0)

10000= (2900-100 n) n;                    Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n+10000=0;                  высоту за 4 дня.

 n2-29 n+100=0;  n=25, n=4.                  Ответ: за 4 дня.

4.2 В физике

Задача № 1.При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.

Решение. В первую секунду 5м,

во вторую секунду 15м,

в третью секунду 25м,

в четвертую секунду 35м,

в пятую секунду 45м.

Всего за пять секунд 5+15+25+35+45=125(м). А используя формулу суммы n-ых членов арифметической прогрессии, вычисляем одним действием:

Ответ: глубина шахты 125м.

Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.

4.3 О финансовых пирамидах

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам  по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. 

Решение:

 Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

4.4  Прогрессии в литературе

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

 ...Не мог он ямба от хорея,

 Как мы не бились отличить...

 Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Примеры:

Ямб:

«Мой дЯдясАмыхчЕстныхпрАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...                                          A.С. Пушкин  

Хорей:.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»                    

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...                                           Б.Л.  Пастернак

«бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

прогрессия 1; 3; 5; 7.                        

     А.С. Пушкин.

Работая над этим проектом, мы пришли к выводу, что задач с практическим содержанием на прогрессии образуют  огромное множество.

ГлаваV.Исследование

5.1 Прогрессия в моей жизни

Проведя анкетирование среди учащихся 9 Б класса, я выявила следующие данные:

1 вопрос: « Знаете ли Вы, что такое прогрессия?»

95%  учеников ответили «да»

5% учеников ответили «нет»  

Приложение 3.

2 вопрос заключался в «Где и в каких науках применяют свойства прогрессии?»

Самым популярным ответом было « алгебра и геометрия( математика)» - 53%

Не могут ответить на вопрос 5%, аргументируя « не знаю»

« математические науки и физика» - 32%

10% предположили « химия, биология»

Приложение 4.

3 вопрос «интересно ли вам узнать о прогрессии?»

63% - «да»

37% - «нет»

Приложение  5.

4 вопрос «Где вы встречаете прогрессию в вашей жизни?»

 «На уроках математики» написали – 47%

26% - « не знаю»

27% - предположили «в других сферах (банк, музыка)»

Приложение 6.

Мы очень часто встречаемся с прогрессией, я попытаюсь это доказать на примере моей семьи.

Наш день, как и многих, насчитается с будильника:

I вариант:

В 6:30 подъём, на сборы уходит примерно 30 мин, в 7: 00 мы выезжаем и за 20 мин приезжаем в школу – это с тем расчетом, если нам надо на дежурство и все встанут вовремя.

II вариант:

В 6:40 подъём, на сборы всё те же 30 мин, в 7: 10 мы выезжаем и за 20 мин приезжаем в школу – это с тем расчетом, если нам некуда торопиться и все встанут вовремя.

III вариант:

В 6:50 подъём, на сборы всё те же 30 мин, в 7:20 мы выезжаем и за 20 мин приезжаем в школу – это с тем расчетом, если кто-то проспит или будет медленно собираться.

Таким образом возникает прогрессия, заданная формулой: an=a1+(a+b), где an – конечный результат

a1 – время подъёма

a и b – время сбора и пути до школы.

В школьной жизни очень много арифметических прогрессий, которые мы не замечаем, потому что привыкаем к ним с самого детства, это нумерация страниц учебников и книг, номера кабинетов и даже химические элементы в таблице Менделеева стоят в числовой последовательности.

Купив новые пазлы, мы с моей сестрой решили собирать их вместе, соблюдая последовательность: она собирает  первые 5 пазл, после чего я собираю столько же, но в 2 раза больше. Таким образом у нас вышла следующая последовательность:

5- сестра

10-я

20-сестра

40-я

80-сестра

160-я

320-сестра

640-я, но 640 не получилось собрать, так как  пазл у нас всего было 1000 шт.

Распределить по-честному у нас не вышло, даже с нехваткой пазл(235) , я собрала на 190 пазл больше.

Заключение

В ходе выполнения данного исследования, нами был проведен анализ учебников и задачников по математике для 9 класса, а также другой дополнительной литературы; сделана подборка задач с практическим содержанием по теме «Прогрессии». Помимо усвоения учебного материала мы в полной мере  осознали его практическую значимость, зная формулы арифметической и геометрической прогрессий можно решать различные старинные задачи и современные задачи  по данной теме. 

Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, увидела, что прогрессии встречаются в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

В результате изучения арифметической и геометрической прогрессии ещё раз убедился, что математика является помощником человека на пути познания законов природы и человеческого общества и идеи математики способствуют развитию всех наук.

Основополагающий вопрос, поставленный  мной вначале проекта, получил исчерпывающий ответ в ходе нашей работы.  Действительно,  прогрессии имеют огромное  практическое значение во многих сферах  жизни человека. Отсюда можно сделать вывод, что и арифметическая и геометрическая прогрессии – это мощное орудие для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни.

Кроме этого, я выявила интересные факты о прогрессиях составили презентацию. Мне было интересно этим заниматься. Мой проектный продукт может быть полезен учащимся и учителям.

Выводы

Таким образом, поставленная цель проекта установить картину возникновения  понятия прогрессии; выявление интересных фактов  о прогрессиях; применение прогрессий в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.

Я получили опыт проектной деятельности. В ходе работы над проектом у меня основное развитие  было направлено на мыслительную деятельность, связанную с логическими операциями, развитие творчества,  ответственности.

Кроме знаний по математике, я  расширила свои  навыки  в области информатики. В ходе проектной деятельности развивались общеучебные умения и навыки.

Использованная литература

I. Учебники

      1.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. –

2. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского–М.: Просвещение, 2009.

II. Словарь

1. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.

III. Задачники

1. ЕГЭ 2010, математика сборник заданий. В.В. Качагин, М.М. Качагина. Москва ЭКСМО 2009.

VI. Ссылки на электронные ресурсы

1. Прогрессия в спорте // Что такое прогрессия в спорте и как я её  достиг //https://ru-healthlife.livejournal.com/3569020.html.

          2.  Прогрессия в физике //Практическое применение прогрессии // https://easy-physic.ru/arifmeticheskaya-progressiya-zadachi-na-progressii/.

Приложение 1

Приложение2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6